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高考数学高频易错押题预测 圆与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025 山海关区模拟）平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A（﹣2，1），B（4，1），△ABC的垂心为G（3，3），则△ABC的九点圆的标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 南京模拟）已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 广西模拟）过点（2，1）的直线l与圆x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于A，B两点，那么当|AB|取得最小值时，直线l的方程是（　　）
A．x﹣y﹣3＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣3＝0 D．x+y﹣1＝0
4．（2025 海安市模拟）设圆O：x2+y2＝2上两点A（x1，y1）B（x2，y2）满足y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4，则|AB|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．（2025 大庆模拟）已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：akx+ak+2y+ak+5＝0（k∈N*）与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1交于A，B两点，则∠ACB的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 连云港模拟）直线l：mx﹣y+2﹣2m＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8相交所形成的长度为整数的弦的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025 顺德区模拟）已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y﹣）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
8．（2025 江苏模拟）已知点P（﹣m，0），Q（m，0），若圆（x﹣5）2+（y﹣12）2＝4上存在点R，使得∠PRQ＝90°，则正数m的取值范围是（　　）
A．[11，15] B．[11，17] C．[9，15] D．[9，17]
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 安顺模拟）在同一平面直角坐标系中，直线mx﹣y+1＝0与圆x2+y2＝2的位置可能为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2025 郑州模拟）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（　　）
A．AO长度的最大值为
B．线段BD长度的最小值为
C．点M的轨迹是一个圆
D．四边形ABCD面积的取值范围为
（多选）11．（2025 深圳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝4，直线12x﹣5y+c＝0，c∈（﹣13，13），则下列说法成立的是（　　）
A．圆上有两个点到直线的距离为2
B．圆上有三个点到直线的距离为2
C．圆上有三个点到直线的距离为1
D．圆上有四个点到直线的距离为1
（多选）12．（2025 深圳一模）已知点A（3，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，则（　　）
A．直线AB与圆C相离
B．△PAB的面积的最小值为2
C．|PA|的最大值为6
D．当∠PBA最小时，
三．填空题（共4小题）
13．（2025 景德镇模拟）已知与，若存在实数a的值使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为　 　．
14．（2025 永州二模）在平面直角坐标系xOy中，射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圆C：y＝．现从点A（1，0）向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1，l2时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 　 　．
15．（2025 江西模拟）已知圆C的圆心在直线l：x﹣y+1＝0上，圆C与y轴相切，且圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为 　 　．
16．（2025 东兴区模拟）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 广东一模）已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2＝0截得的弦长为．
（1）求圆F的方程；
（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；
（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且 ＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
18．（2025 福建模拟）已知椭圆的左顶点为A，过点（1，0）的直线l交C于P，Q两点，记△APQ的外接圆为圆N．
（1）当l与x轴垂直时，求圆N的方程；
（2）求圆N面积的最大值．
19．（2025 周口一模）圆x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
20．（2025 淮北一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x﹣a）2+（y+2a﹣4）2＝1（a∈R），点P（0，﹣3）．
（1）若圆心C在直线x+y﹣3＝0上，过点P作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点Q，使|PQ|＝2|OQ|，求a的取值范围．
高考数学高频易错押题预测 圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 山海关区模拟）平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A（﹣2，1），B（4，1），△ABC的垂心为G（3，3），则△ABC的九点圆的标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类．
【答案】C
【分析】根据题意，设△ABC的九点圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，求出AB中点为D、AG中点为E和BG中点为F的坐标，由于△ABC的九点圆过D，E，F，由此可得关于a、b、r的方程组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设△ABC的九点圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由于A（﹣2，1），B（4，1），G（3，3），
可得AB中点为D，其坐标为（1，1），AG中点为E，其坐标为（，2），BG中点为F，其坐标为（，2），
由△ABC的九点圆过D，E，F，
则有，解可得，
故△ABC的九点圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查圆的标准方程，注意“九点圆的”定义，属于中档题．
2．（2025 南京模拟）已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】求解圆的圆心与半径，利用 cos∠PCA的最大值，转化求解点到直线的距离，推出结果．
【解答】解：圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的圆心C（﹣1，﹣1），半径为r＝1，
点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，
cos∠PCA＝＝，cos∠PCA取得最大值，只有|PC|取得最小值，
当PC与直线x+y﹣2＝0垂直时，满足题意，此时|PC|＝＝2，
所以cos∠PCA的最大值为：＝．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
3．（2025 广西模拟）过点（2，1）的直线l与圆x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于A，B两点，那么当|AB|取得最小值时，直线l的方程是（　　）
A．x﹣y﹣3＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣3＝0 D．x+y﹣1＝0
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】由点与圆的位置关系，结合斜率公式及直线方程的求法求解．
【解答】解：因为22+12﹣2×2﹣3＜0，
所以点（2，1）在圆x2+y2﹣2x﹣3＝0内，
又x2+y2﹣2x﹣3＝0可化为（x﹣1）2+y2＝4，
则圆的圆心坐标为（1，0），
当|AB|取得最小值时，直线l与过点（1，0）和（2，1）的直线垂直，
则，
即直线l的方程是y﹣2＝（﹣1）×（x﹣1），
即x+y﹣3＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，重点考查了斜率公式及直线方程的求法，属中档题．
4．（2025 海安市模拟）设圆O：x2+y2＝2上两点A（x1，y1）B（x2，y2）满足y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4，则|AB|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】设，，，，α、β∈[0，2π），根据y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4利用三角恒等变换公式化简得2cos（α+）﹣2cos（β+）＝4，结合余弦函数的性质算出cos（α+）＝1，cos（β+）＝﹣1，可得α＝，β＝，从而得到A、B的坐标，利用两点间的距离公式算出|AB|．
【解答】解：根据题意，可得+＝2，+＝2，
设，，，，α、β∈[0，2π），
因为y1﹣y2＝x1﹣x2﹣4，即x1﹣x2﹣y1+y2＝4，所以cosα﹣cosβ﹣sinα+sinβ＝4，
即（cosα﹣sinα）﹣（cosβ﹣sinβ）＝4，可得2cos（α+）﹣2cos（β+）＝4．
因为cos（α+）∈[﹣1，1]，cos（β+）∈[﹣1，1]，
所以2cos（α+）﹣2cos（β+）最大值为4，此时cos（α+）＝1，cos（β+）＝﹣1，
结合α∈[0，2π），β∈[0，2π），可得α+＝2π，β+＝π，即α＝，β＝．
所以x1＝cos＝1，y1＝sin＝﹣1，x2＝cos＝﹣1，y2＝sin＝1．
即A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得|AB|＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、两角和与差的三角函数公式、余弦函数的性质、两点间的距离公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
5．（2025 大庆模拟）已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：akx+ak+2y+ak+5＝0（k∈N*）与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1交于A，B两点，则∠ACB的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】设出数列的公差，化简直线系方程，推出直线经过的定点，判断∠ACB的最小值的位置，求解三角形，推出结果．
【解答】解：设数列{an}公差为d，则直线anx+an+2y+an+5＝0，可化为anx+（an+2d）y+an+5d＝0，
即（x+y+1）an+（2y+5）d＝0，
∴直线过定点，当CD⊥AB时，弦长|AB|最小，此时∠ACB最小，
∵C（1，﹣2），∴，又半径r＝1，
∴，∴，∴．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，数列的应用，是中档题．
6．（2025 连云港模拟）直线l：mx﹣y+2﹣2m＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8相交所形成的长度为整数的弦的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】由直线的方程可得直线恒过的定点P的坐标，求出圆心C到直线的距离的范围，进而求出弦长的取值范围，进而可得弦长为整数的值，进而求出条数．
【解答】解：直线l：mx﹣y+2﹣2m＝0整理可得：m（x﹣2）﹣y+2＝0，可得直线恒过定点P（2，2），
圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8的圆心C（2，4），半径r＝2，
当CP⊥l时，可得圆心到直线的距离dmax＝＝2，dmin＝0，
因为弦长的最小值为2＝2＝4，
弦长的最大值为2r＝4，
即弦长的范围为[4，4]．
可得弦长为整数的为4，5，
而弦长为4的有1条，弦长为5的只有2条，
所以共3条．
故选：A．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及弦长公式的应用，属于中档题．
7．（2025 顺德区模拟）已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y﹣）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【考点】过圆上一点的圆的切线方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】利用切线长最小时即是面积最小时，求出最小弦长即可求出面积的最小值．
【解答】解：已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y﹣）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，
如图，，
因为当M，O，P三点共线时，，
此时|OP|min＝|MP|﹣|OM|＝5﹣2＝3，
所以四边形OAPB面积的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线长的计算，属于中档题．
8．（2025 江苏模拟）已知点P（﹣m，0），Q（m，0），若圆（x﹣5）2+（y﹣12）2＝4上存在点R，使得∠PRQ＝90°，则正数m的取值范围是（　　）
A．[11，15] B．[11，17] C．[9，15] D．[9，17]
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据∠PRQ＝90°，可知点R在以PQ为直径的圆上，结合题意可得该圆与圆（x﹣5）2+（y﹣12）2＝4有公共点，由此建立关于m的不等式，解之可得m的取值范围．
【解答】解：由题意，圆（x﹣5）2+（y﹣12）2＝4的圆心为C（5，12），半径r＝2．
若∠PRQ＝90°，则点R在以PQ为直径的圆上，
该圆的圆心为原点O，半径R＝m，方程为x2+y2＝m2．
若圆（x﹣5）2+（y﹣12）2＝4上存在点R，使得∠PRQ＝90°，
则两圆有公共点，即|R﹣r|≤|OC|≤R+r，
可得|m﹣2|≤≤m+2，解得11≤m≤15，即m∈[11，15]．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、两圆的位置关系等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 安顺模拟）在同一平面直角坐标系中，直线mx﹣y+1＝0与圆x2+y2＝2的位置可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求出直线过的定点坐标，判断定点在圆内，可得结论．
【解答】解：直线mx﹣y+1＝0恒过定点（0，1），
又02+12＜2，∴点（0，1）在圆x2+y2＝2的内部，
又直线的斜率存在，故A，B，D符合题意．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属基础题．
（多选）10．（2025 郑州模拟）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（　　）
A．AO长度的最大值为
B．线段BD长度的最小值为
C．点M的轨迹是一个圆
D．四边形ABCD面积的取值范围为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意求出圆心坐标和半径r，并求出圆心到原点的距离，利用圆的性质与弦长公式判断出A、B两项的正误；顺次连接四边形ABCD的各边中点，得到四边形MFGH，可证出四边形MFGH为矩形，根据垂径定理与勾股定理算出矩形MFGH的对角线长为定值，进而判断出点M的轨迹是一个圆，由此判断出C项的正误；设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，根据SABCD＝，结合圆的弦长公式推导出SABCD关于d1、d2的表达式，利用二次函数的性质求出SABCD的取值范围，即可判断出D项的正误．
【解答】解：根据题意，圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心为N（1，1），半径r＝2，|ON|＝＝．
对于A，由圆的性质，可知N、A、O三点共线，且N在线段AO上时，
线段AO的长达到最大值，此时|AO|＝r+，故A项错误；
对于B，当圆心N满足ON⊥BD时，圆心到直线BD的距离d＝，达最大值，
此时弦BD的长度最小，所以|BD|min＝2，故B项正确；
对于C，若M、H、G、F分别是AB、BC、CD、AD的中点，
则MF∥HG∥BD且|MF|＝|HG|＝，MH∥FG∥AC且|MH|＝|FG|＝，
结合AC⊥BD，可得四边形MHGF为矩形，|FH|2＝|MF|2+|MH|2＝（|BD|2+|AC|2），
设圆心N（1，1）到直线AC、BD的距离分别为d1、d2，则．
由|BD|2+＝|AC|2+＝r2＝4，可得2+ 2＝8，
所以|FH|2＝（|BD|2+|AC|2）＝8﹣＝6，可得，
因此，点M在以为直径，HF、MG的交点为圆心的圆上，故C项正确；
对于D，由前面的分析，可知|AC|＝2 ，|BD|＝2 ，
所以SABCD＝＝2 ．
令t＝ ，则SABCD＝2，
当t＝1时，即d1＝d2＝1时，SABCD取得最大值等于6；
当t＝0或2，即或时，SABCD取得最小值等于．
综上所述，四边形ABCD面积的取值范围为，故D项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、解三角形及其应用、直线与圆的位置关系、二次函数的性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
（多选）11．（2025 深圳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝4，直线12x﹣5y+c＝0，c∈（﹣13，13），则下列说法成立的是（　　）
A．圆上有两个点到直线的距离为2
B．圆上有三个点到直线的距离为2
C．圆上有三个点到直线的距离为1
D．圆上有四个点到直线的距离为1
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AD
【分析】依题意，圆心（0，0），半径为2，圆心到直线的距离为，结合选项逐项判断即可．
【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心（0，0），半径为2，
圆心到直线12x﹣5y+c＝0，c∈（﹣13，13）的距离为，
又圆的半径为2，得圆上有两个点到直线的距离为2，
圆上有4个点到直线的距离为1，
所以AD成立．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
（多选）12．（2025 深圳一模）已知点A（3，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，则（　　）
A．直线AB与圆C相离
B．△PAB的面积的最小值为2
C．|PA|的最大值为6
D．当∠PBA最小时，
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由已知，圆心为C（3，4），半径为2，直线AB的方程为即4x+3y﹣12＝0，利用点到直线的距离公式可判断A；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断B；利用圆的性质可判断C；根据直线PB与圆C相切和勾股定理可判断D．
【解答】解：已知点A（3，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上运动，
则圆心为C（3，4），半径为2，直线AB的方程为即4x+3y﹣12＝0，
则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，A正确；
因为|AB|＝5，点P到直线AB的距离的最小值为，则△PAB面积的最小值为，B错误；
|PA|max＝|AC|+2＝6，C正确；
当∠PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 景德镇模拟）已知与，若存在实数a的值使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为　2　．
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】2．
【分析】先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果．
【解答】解：∵，
∴C2（1，﹣1），半径为r，
∵，
∴C1（a，0），半径为1，
若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，
∴|C1C2|＝|r﹣1|，
由于，故|r﹣1|≥1，
解得r≥2，即r的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
14．（2025 永州二模）在平面直角坐标系xOy中，射线l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圆C：y＝．现从点A（1，0）向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1，l2时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是 　　．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】求出光线与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0），（x+4）2+y2＝1（y≥0），x2+（y﹣4）2＝1相切时的斜率，数形结合即可得解．
【解答】解：将半圆依次沿着y＝x，x＝0，y＝﹣x作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，
当光线与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切时，光线所在直线斜率为，
由对称性可知当光线遇射线l1时反射光线若与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切，
则入射光线所在直线为x＝1与圆x2+（y﹣4）2＝1相切，
当光线与圆x2+（y﹣4）2＝1相切但遇射线l1时反射光线不与（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切时，
此时，所以光线斜率为，
当光线与（x+4）2+y2＝1（y≥0）相切时，光线斜率为，
所以由图可知k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．（2025 江西模拟）已知圆C的圆心在直线l：x﹣y+1＝0上，圆C与y轴相切，且圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为 　（x+3）2+（y+2）2＝9　．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（x+3）2+（y+2）2＝9．
【分析】设出圆心，根据已知条件求得圆心和半径，进而求解结论．
【解答】解：圆C的圆心在直线l：x﹣y+1＝0上，圆C与y轴相切，且圆C截x轴所得的弦长为2，
设圆心为（a，b），则a﹣b+1＝0且半径r＝|a|，
所以（）2+b2＝a2，即5+（a+1）2＝a2，解得a＝﹣3，故b＝﹣2．
所以圆C的方程为（x+3）2+（y+2）2＝9．
故答案为：（x+3）2+（y+2）2＝9．
【点评】本题主要考查圆的方程求解，考查计算能力，属于基础题．
16．（2025 东兴区模拟）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 　2x﹣y+1＝0　．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】2x﹣y+1＝0．
【分析】将两圆的方程相减可得，即可求解．
【解答】解：圆与圆，
两圆相减可得，2x﹣y+1＝0，
故两圆公共弦AB所在直线的方程为2x﹣y+1＝0．
故答案为：2x﹣y+1＝0．
【点评】本题主要考查两圆公共弦所在直线的方程，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 广东一模）已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2＝0截得的弦长为．
（1）求圆F的方程；
（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；
（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且 ＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】方程思想；定义法；转化法；直线与圆．
【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝1；
（2）y2＝4x；
（3）证明：设l：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b，
∴ ＝x1x2+y1y2＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2
＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2
＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b
令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．
∴直线l过定点（2，0）．
【分析】（1）设圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝r2，r＞0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到半径r，可得圆F的方程；
（2）由题意可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，即为M到点F的距离比它到直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可得抛物线的方程；
（3）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
【解答】解：（1）设圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝r2，r＞0，
由圆心到直线x+y﹣2＝0的距离为d＝＝，
由弦长公式可得＝2，解得r＝1，
可得圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝1；
（2）设M的坐标为（x，y），由动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，
可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，
即为M到点F的距离比它到直线x＝﹣1的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x；
（3）证明：设l：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b，
∴ ＝x1x2+y1y2＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2
＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2
＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b
令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．
∴直线l过定点（2，0）．
【点评】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和定义法，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
18．（2025 福建模拟）已知椭圆的左顶点为A，过点（1，0）的直线l交C于P，Q两点，记△APQ的外接圆为圆N．
（1）当l与x轴垂直时，求圆N的方程；
（2）求圆N面积的最大值．
【考点】根据圆的几何属性求圆的一般式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先联立求出，再设圆心列式求解圆心进而得出圆的方程；
（2）根据垂直平分线交点求出圆心，再应用两点间距离公式求出半径，进而结合二次函数最值求出最大值．
【解答】解：（1）当直线l与x轴垂直时，联立直线x＝1与C的方程，
即，解得，不妨设，．
圆心N在x轴上，A（﹣3，0），设N（t，0），
∴△APQ的外接圆半径R＝|AN|＝|PN|．
∴，解得，∴，
∴圆N的方程为．
（2）当直线l与x轴重合时无法构成三角形；
设P（x1，y1），Q（x2，y2），lPQ：x＝my+1（m≠0），
联立l与C的方程，
∴，
则AP的中垂线，
又∵x1＝my1+1，得，
同理，AQ的中垂线．
联立直线l1，l2，
由①﹣②可得，，
将代入①+②可得，，
∴，
∴，
令m2+3＝t∈[3，+∞），
∴，
当t＝22，即时，△APQ的外接圆半径最大，为．
此时，△APQ的外接圆面积最大，为．
【点评】本题主要考查待定系数法的应用，待定系数法求解圆的方程或者应用垂直平分线交点得出圆心或根据边长结合正弦定理计算半径，进而求解结论，本题属于中档题．
19．（2025 周口一模）圆x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）；
（2）x﹣2y+5＝0．
【分析】（1）根据倾斜角以及P（﹣1，2），由点斜式方程可得直线AB的方程，再由弦长公式可得弦长|AB|的大小；
（2）根据条件判断出OP⊥AB，结合kAB和点P坐标可求直线AB的方程．
【解答】解：（1）圆x2+y2＝8的圆心O（0，0），半径，
因为，所以直线AB的斜率，
所以AB：y﹣2＝（﹣1）×[x﹣（﹣1）]，即AB：x+y﹣1＝0，
所以圆心O到AB的距离d＝＝，
所以；
（2）因为弦AB被P平分，所以OP⊥AB，P（﹣1，2），
又因为kOP＝﹣2，所以kAB＝﹣＝，
所以弦AB所在的直线方程为：y﹣2＝[x﹣（x﹣1）]，
即x﹣2y+5＝0．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及直线与圆的综合应用，点斜式方程的应用，属于基础题．
20．（2025 淮北一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x﹣a）2+（y+2a﹣4）2＝1（a∈R），点P（0，﹣3）．
（1）若圆心C在直线x+y﹣3＝0上，过点P作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点Q，使|PQ|＝2|OQ|，求a的取值范围．
【考点】直线和圆的方程的应用；过圆外一点的圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x＝0或12x﹣5y﹣15＝0．
（2）a∈[0，]．
【分析】（1）利用圆心在直线上，求解a，通过直线的斜率是否存在，求解切线方程．
（2）求解Q的轨迹方程，利用两个圆的位置关系，求解a的范围即可．
【解答】解：（1）因为圆心C（a，﹣2a+4）在直线x+y﹣3＝0上，所以a﹣2a+4﹣3＝0，即a＝1，所以圆心C的坐标为（1，2）．
（i）当过P点的切线斜率存在时，方程可设为y＝kx﹣3，即 kx﹣y﹣3＝0，则，解得，
得切线方程为．
（ii）当过A点切线斜率不存在时，直线x＝0也满足．
综上，所求直线方程为x＝0或12x﹣5y﹣15＝0．
（2）设点Q（x，y），C（a，﹣2a+4），由|PQ|＝2|OQ|，化简得：x2+（y﹣1）2＝4．
点Q的轨迹为以C′（0，1）为圆心，2为半径的圆，又点Q在圆C上，所以圆C与圆C'的关系为相交或相切，因此1≤|CC'|≤3．
即，解得：．即a∈[0，]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
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