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高考数学考前冲刺押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 蛟河市校级期末）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 抚顺期末）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1＝8，，点P满足，其中m，n∈[0，1]．若m2+n2＝1﹣mn，则AP+PC1的最小值为（　　）
A． B． C．14 D．16
3．（2024秋 鸡冠区校级期中）已知向量（3，﹣2，1），，则等于（　　）
A．（14，4，4） B．（6，﹣12，4） C．（6，20，4） D．（6，4，4）
4．（2024秋 台州期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，若，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若点G为△ABC的重心，则
B．若，则D，E，F，M四点不共面
C．若三棱锥P﹣ABC各条棱长均等于2，则相对棱之间的距离均等于
D．若PG与平面DEF交于点M，且，则为定值
5．（2024秋 九龙坡区校级月考）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（　　）
A． B．，，两两垂直
C． D．
6．（2023秋 京口区校级期末）在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．1
7．（2024秋 贵州月考）下列说法错误的是（　　）
A．若为直线l的方向向量，则也是l的方向向量
B．已知为空间的一组基底，若，也是空间的一组基底
C．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面
D．若，，则
8．（2024秋 海淀区校级期中）在四面体P﹣ABC中，点Q是AB靠近B的三等分点，记，，，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 濮阳期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（多选）10．（2024秋 浙江期中）下列选项正确的是（　　）
A．空间向量与垂直
B．已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为
C．已知向量，，，若可作为一组基底，则x可取1
D．若和分别是直线l1和直线l2的方向向量，则两直线所成夹角为
（多选）11．（2023秋 长沙县期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若空间向量，，满足，则
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若空间向量，，则
D．对于任意空间向量，，必有
（多选）12．（2023秋 端州区校级期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成的基底是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 朝阳校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，为A1C1的中点，E为B1C1的中点，BD和AE相交于点P，则CP＝　 　．
14．（2023秋 阜康市校级期末）已知，，则最大值为 　 　
15．（2024秋 白云区校级期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为 　 　．
16．（2024秋 普陀区校级月考）已知四面体O﹣ABC，空间的一点P满足，若P，A，B，C四点共面，则实数λ的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
18．（2024秋 宝山区校级期中）已知空间中三点A（﹣1，0，2），B（0，2，4），C（﹣2，2，0），设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
19．（2024秋 海拉尔区校级月考）n个有次序的实数a1，a2，…an所组成的有序数组（a1，a2，…an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…n）称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量（a1，a2，…an），若|ai|＝1，i＝1，2…n，称为n维信号向量．设（a1，a2，…an），（b1，b2，…bn），则和的内积定义为，且 0．
（1）写出所有3维信号向量；
（2）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（3）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
20．（2024秋 河西区期中）如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1＝4：1，设，用基底{a，b，c}表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
高考数学考前冲刺押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 蛟河市校级期末）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据向量的基底和共面向量基本定理逐一判断即可．
【解答】解：对于A：因为由于，所以，，共面，
所以不能构成空间的另一个基底，故A错误．
对于B：由于，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，故B错误．
对于C：假设存在m，n，使得，
则，无解，所以是空间的另一个基底，故C正确．
对于D：因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2．（2024秋 抚顺期末）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1＝8，，点P满足，其中m，n∈[0，1]．若m2+n2＝1﹣mn，则AP+PC1的最小值为（　　）
A． B． C．14 D．16
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知分析得P在平面A1B1C1D1上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且AP＝10，再由PC1＝A1P+PC1﹣A1P≥A1C1﹣A1P，即可求目标式最值．
【解答】解：直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1＝8，，
点P满足，其中m，n∈[0，1]．m2+n2＝1﹣mn，
由题设，易得点P在平面A1B1C1D1上，且，
则36（m2+n2+mn）＝36，得．
由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的性质，得AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P 平面A1B1C1D1，
∴AA1⊥A1P，则．
∵，
∴AP+PC1的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量线性运算法则、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3．（2024秋 鸡冠区校级期中）已知向量（3，﹣2，1），，则等于（　　）
A．（14，4，4） B．（6，﹣12，4） C．（6，20，4） D．（6，4，4）
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由向量的坐标运算即可求解．
【解答】解：由题意可得：，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（2024秋 台州期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，若，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若点G为△ABC的重心，则
B．若，则D，E，F，M四点不共面
C．若三棱锥P﹣ABC各条棱长均等于2，则相对棱之间的距离均等于
D．若PG与平面DEF交于点M，且，则为定值
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】对于A，利用空间向量的线性运算即可判断；对于B，利用空间向量共面的充要条件证明四点共面即可判断，对于C，将三棱锥P﹣ABC放到正方体中，由三棱锥P﹣ABC的棱长为2，可得正方体的棱长为，即可判断，对于D，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值．
【解答】解：对于A，连接AG并延长，交BC于点H，
由题意，可令作为空间向量的一组基底，
则
，故A错误；
对于B，由，
可得，
因此可得D，E，F，M四点共面，故B错误；
对于C，若三棱锥P﹣ABC各条棱长均等于2，
如图，将三棱锥P﹣ABC放到正方体中，
由三棱锥P﹣ABC的棱长为2，可得正方体的棱长为，
所以相对棱之间的距离即为正方体的棱长，等于，故C错误；
对于D，由，
连接DM．因为点D，E，F，M共面，
所以存在唯一的实数对（λ，μ），使得，
即，
所以，
由空间向量基本定理，可得，
所以，为定值，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量基本定理，考查利用空间向量求解几何问题，属中档题．
5．（2024秋 九龙坡区校级月考）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（　　）
A． B．，，两两垂直
C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用构成空间基底的定义求出结果．
【解答】解：可使，，构成空间的一个基底的条件，，，不共面．
根据选项A、C、D都不符合要求，只有B选项符合．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底，主要考查学生对基础知识点的理解，属于基础题．
6．（2023秋 京口区校级期末）在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．1
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；高考数学专题；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利向量的线性运算求出结果．
【解答】解：在四面体ABCD中，由于点M，N满足，，
如图所示：
故，
故x+y+z．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7．（2024秋 贵州月考）下列说法错误的是（　　）
A．若为直线l的方向向量，则也是l的方向向量
B．已知为空间的一组基底，若，也是空间的一组基底
C．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面
D．若，，则
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】利用共线的非零向量可作方向向量可判断A，利用共面向量定理可判断B，利用空间几何体可以判断C，利用向量的线性运算可判断D．
【解答】解：对于A，若为直线l的方向向量，则也是l的方向向量，故A正确；
对于B，已知为空间的一组基底，则，，不共面，
若，则，，也不共面，则也是空间的基底，故B正确；
对于C，考虑三棱柱ABC﹣A1B1C1，，，，满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2024秋 海淀区校级期中）在四面体P﹣ABC中，点Q是AB靠近B的三等分点，记，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：如图所示：在四面体P﹣ABC中，点Q是AB靠近B的三等分点，故，
整理得：，
故．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 濮阳期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理逐项判断即得．
【解答】解：由构成空间的一个基底，得向量不共面，
对于A，若向量，，共面，则存在实数对λ，μ使得，
即，则向量共面，矛盾，，，不共面，故A错误；
对于C，由，得，，共面，故B正确；
对于C，若，，共面，则存在实数对x，y使得，
于是，此方程组无解，
向量，，不共面，故C错误；
对于D，由，得向量，，共面，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 浙江期中）下列选项正确的是（　　）
A．空间向量与垂直
B．已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为
C．已知向量，，，若可作为一组基底，则x可取1
D．若和分别是直线l1和直线l2的方向向量，则两直线所成夹角为
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量的夹角公式，判断A、B、C、D的结论．
【解答】BC解：对于A：由于向量与，故，故A错误；
对于B：空间向量，，则在上的投影向量的模为，故B正确；
对于C：向量，，，若可作为一组基底，故，当x＝1时，，故B正确；
对于D：若和分别是直线l1和直线l2的方向向量，，所以，故两直线所成夹角为，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量的夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2023秋 长沙县期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若空间向量，，满足，则
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若空间向量，，则
D．对于任意空间向量，，必有
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】令为零向量即可判断A、C；由基底的概念判断B；应用向量数量积的运算律、定义判断D．
【解答】解：对于A：若为零向量，有，但不一定成立，故A错误；
对于B：三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，故B正确；
对于C：若为零向量，，，但不一定成立，故C错误；
对于D：，，
而，所以，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的共线，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）12．（2023秋 端州区校级期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成的基底是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由平面向量基本定理可知，空间中不共面的三个向量可构成一组基底，由平面向量基本定理逐项判断即可．
【解答】解：对于A 中，，所以，，共面，不能构成基底，故A正确；
对于B中，，所以，，共面，不能构成基底，故B正确；
对于C中，假设，，共面，则存在非零实数x，y满足，整理可得，
故x﹣1＝x+1＝y＝0，不存在满足条件的实数x，故假设不成立，
所以，，不共面，则能构成基底，故C错误；
对于D中，，所以，，共面，不能构成基底，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底的定义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 朝阳校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，为A1C1的中点，E为B1C1的中点，BD和AE相交于点P，则CP＝　　．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量的基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解即得．
【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接DE，由D，E分别为A1C1，B1C1的中点，
得DE∥A1B1∥AB，且，则AP＝2PE，
，
，而，
所以
．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2023秋 阜康市校级期末）已知，，则最大值为 　　
【考点】空间向量数量积的坐标表示；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据数量积的夹角公式，即可结合基本不等式求解最值．
【解答】解：，
当y＝0时，，
当0＜y≤1时，，
由y＞0，所以，当且仅当，即y＝1时等号成立，
故，
故的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量的夹角公式，属于中档题．
15．（2024秋 白云区校级期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为 　5　．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】5．
【分析】直接利用向量的坐标运算和共面向量基本定理的应用求出结果．
【解答】解：向量，因为不能构成空间的一个基底，
向量共面，
故存在λ，μ使得，即λ（﹣1，3，﹣2）+μ（2，﹣1，3）＝（4，3，m），
建立方程组，故，
解得．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2024秋 普陀区校级月考）已知四面体O﹣ABC，空间的一点P满足，若P，A，B，C四点共面，则实数λ的值为 　　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由空间向量的线性运算结合空间向量基本定理可知即可得解．
【解答】解：因为P，A，B，C四点共面，故，，共面．
故存在唯一实数对（s，t），使．
故．
整理得到：．
空间的一点P满足，若P，A，B，C四点共面，
由四面体O﹣ABC可得为空间向量的一组基底．
故，相加即得，故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【考点】空间向量基底表示空间向量；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间角；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知，根据向量的线性运算即可求得；
（2）利用向量的夹角公式求得和夹角的余弦值，即可得异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由2，
可得
，
由，
可得，
则；
（2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
可得，，，
则1，
，
则，
则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，属中档题．
18．（2024秋 宝山区校级期中）已知空间中三点A（﹣1，0，2），B（0，2，4），C（﹣2，2，0），设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；
（2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
【解答】解：（1）由题意可知，，，
所以，
即向量与向量的夹角的余弦值为；
（2）因为，
又与互相垂直，所以，
解得．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于中档题．
19．（2024秋 海拉尔区校级月考）n个有次序的实数a1，a2，…an所组成的有序数组（a1，a2，…an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…n）称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量（a1，a2，…an），若|ai|＝1，i＝1，2…n，称为n维信号向量．设（a1，a2，…an），（b1，b2，…bn），则和的内积定义为，且 0．
（1）写出所有3维信号向量；
（2）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（3）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析（答案不唯一，符合题意即可）；（3）证明见解析．
【分析】（1）根据n维向量的定义写出所有3维信号向量；
（2）根据写出符合题意的4维信号向量；
（3）先假设存在14个两两垂直的14维信号向量，然后推出矛盾，从而证得原命题正确．
【解答】解：（1）个有次序的实数a1，a2，…an所组成的有序数组（a1，a2，…an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…n）称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量（a1，a2，…an），所有3维信号向量如下：
（1，1，1），（1，1，﹣1），（1，﹣1，1），（﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1），（﹣1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
（2）设4维信号向量为，|ai|＝1，|bi|＝1，i＝1，2，.......，n，
可知|aibi|＝1，
若，等价于，
可知aibi中有2个1，2个﹣1，
代入可知：（1，1，1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1）符合上式，
两两垂直的4维信号向量可以为：（1，1，1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1）．
证明：（3）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，；
因为，所以有7个分量为﹣1，
设的前7个分量中有r个﹣1，则后7个分量中有7﹣r个﹣1，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．
【点评】本题考查的知识点：构造法和反证法，主要考查学生的运算能力，主语中档题．
20．（2024秋 河西区期中）如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1＝4：1，设，用基底{a，b，c}表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用向量的平行四边形法则和向量的共线定理即可得出．
【解答】解：如图所示，
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【点评】熟练掌握向量的平行四边形法则和向量的共线定理是解题的关键．
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