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高考数学考前冲刺押题预测 空间向量及其运算
一．选择题（共12小题）
1．（2024秋 紫金县校级期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PD的中点，则可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 四川校级期中）如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 西宁校级期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，记，，，点P满足，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 锡山区校级期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．150° C．60° D．120°
5．（2024秋 重庆校级期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 香河县校级期中）已知（﹣2，2，1），（1，2，﹣2），则与（　　）
A．垂直 B．既不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
7．（2024秋 淄博校级期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 哈尔滨校级期中）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
9．（2024秋 涪城区校级期中）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
10．（2023秋 湛江期末）已知空间向量（λ，1，2），（2，λ+1，λ），若∥，则实数λ＝（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2
11．（2024秋 佛山校级期中）已知向量，，c＝（m，4，0），若，，共面，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣5
12．（2024秋 衡阳县校级期中）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
13．（2024秋 渭南校级期中）已知向量，，则　 　．
14．（2024秋 上海校级期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则线段AC1的长为 　 　．
15．（2024秋 化州市期中）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上，且异于点A，C1，记．当∠BPD为锐角时，λ的取值范围是 　 　．
16．（2024秋 古蔺县校级期中）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点（不包括端点），且EN⊥FM，则线段MN的长度的最小值为 　 　．
三．解答题（共4小题）
17．（2024秋 珠海月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，，．
（1）求；
（2）求AC1的长度．
18．（2024秋 古冶区校级期中）如图，在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设．若，求：
（1）试用向量表示，并求的值；
（2）求．
19．（2024秋 徐汇区校级月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝∠BAP＝60°，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．
（1）求PM的长度；
（2）求异面直线PM与AC所成角的余弦值．
20．（2024秋 思明区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于60°，M在棱PD上，，设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）求与的夹角．
高考数学考前冲刺押题预测 空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2024秋 紫金县校级期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PD的中点，则可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PD的中点，
依题意可得
．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2．（2024秋 四川校级期中）如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出．
【解答】解：．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
3．（2024秋 西宁校级期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，记，，，点P满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，记，，，
如图所示：
故．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2024秋 锡山区校级期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．150° C．60° D．120°
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角．
【解答】解：空间向量，，满足，，，，
设与的夹角为θ，由，
得，
两边同时平方得，
所以1﹣2×1×2cosθ+4＝7，解得，
又0°≤θ≤180°，
所以θ＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2024秋 重庆校级期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义求解即可．
【解答】解：由题意可知：，，
则向量在向量上的投影向量为：．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2024秋 香河县校级期中）已知（﹣2，2，1），（1，2，﹣2），则与（　　）
A．垂直 B．既不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：由于（﹣2，2，1），（1，2，﹣2），则；
故．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2024秋 淄博校级期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果．
【解答】解：由已知条件得：
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2024秋 哈尔滨校级期中）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9．（2024秋 涪城区校级期中）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】由求解即可．
【解答】解：，所以2×1×cos120°＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2023秋 湛江期末）已知空间向量（λ，1，2），（2，λ+1，λ），若∥，则实数λ＝（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．
【解答】解：空间向量（λ，1，2），（2，λ+1，λ），且∥，
故，解得λ＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11．（2024秋 佛山校级期中）已知向量，，c＝（m，4，0），若，，共面，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣5
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意设，然后坐标代入列方程组可求得结果．
【解答】解：因为共面，所以，
即（m，4，0）＝x（﹣3，2，1）+y（2，2，﹣1）＝（﹣3x+2y，2x+2y，x﹣y），
所以，解得x＝1，y＝1，m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：共线向量和共面向量，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12．（2024秋 衡阳县校级期中）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本运算求解即可．
【解答】解：在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，
由题意，
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
13．（2024秋 渭南校级期中）已知向量，，则　（﹣3，2，﹣5）　．
【考点】空间向量及其线性运算；空间向量运算的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得．
【解答】解：∵，∴．
故答案为：（﹣3，2，﹣5）．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14．（2024秋 上海校级期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则线段AC1的长为 　5　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可．
【解答】解：如图，
由题意知，则，
所以，
所以，
即，所以AC1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 化州市期中）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上，且异于点A，C1，记．当∠BPD为锐角时，λ的取值范围是 　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（0，）．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求解即可．
【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（1，0，0），C1（0，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0）
∴，
由可得，
∴，
，
由图可知，不共线，
所以当∠BPD为锐角时，
即（1﹣λ）（﹣λ）+λ（λ﹣1）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，
解得或λ＞1，又0＜λ＜1，
所以．
所以λ的取值范围是．
故答案为：（）．
【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，空间直角坐标系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2024秋 古蔺县校级期中）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点（不包括端点），且EN⊥FM，则线段MN的长度的最小值为 　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】首先建立空间直角坐标系，设M（x，0，4），N（4，y，4），根据EN⊥FM可得x＝2y，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为点E，F分别为棱DA，BB1的中点，所以E（2，0，0），F（4，4，2），
设M（x，0，4），N（4，y，4），其中0＜x＜4，0＜y＜4，
则，．
因为，则，解得x＝2y，
又因为0＜x＜4，0＜y＜4，则0＜y＜2，
可得，
所以，此时，即线段MN的长度的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．解答题（共4小题）
17．（2024秋 珠海月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，，．
（1）求；
（2）求AC1的长度．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得；
（2）由两边平方后可得．
【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，，．
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，．
因为，AB＝AD＝1，AA1＝2，，，
所以，，
，
则
．
（2）因为，
所以
＝1+1+4+2×0+2×1+2×1＝10，
则．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，向量的模的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（2024秋 古冶区校级期中）如图，在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设．若，求：
（1）试用向量表示，并求的值；
（2）求．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出，再利用数量积的运算律求出值．
（2）由表示，再利用数量积的运算律求出向量的模．
【解答】解：（1）令正六边形ABCDEF的中心为O，连接OB，OF，AD，AC，
则四边形ABOF为菱形，，所以；
；
由，得，，
所以
＝4×22+2×22+42﹣6×2﹣4×2﹣3×2＝14．
（2）由（1）知，，
．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 徐汇区校级月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝∠BAP＝60°，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．
（1）求PM的长度；
（2）求异面直线PM与AC所成角的余弦值．
【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间角；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可；
（2）根据向量数量积公式和运算律求解即可．
【解答】解：（1）因为M为线段AD的中点，CD＝2BD，
所以，，
所以
，
又AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝∠BAP＝60°，
则，，
所以
；
（2）由（1）得
，
所以，
即异面直线PM与AC所成角的余弦值为．
【点评】本题考查理由空间向量求解空间距离及空间角，属中档题．
20．（2024秋 思明区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于60°，M在棱PD上，，设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）求与的夹角．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；转化法；向量与圆锥曲线；运算求解．
【答案】（1）；（2）45°．
【分析】（1）由题设条件，利用空间向量的线性运算表示向量即可；
（2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案．
【解答】解：（1）
；
（2）因为，，
．
所以
，
所以，
因为，
所以与的夹角为45°．
【点评】本题考查向量的线性运算，属于中档题．
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