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高考数学考前冲刺押题预测 幂函数、指数函数、对数函数
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 常州期末）若直线y＝m与函数f（x）＝|log3x|的图象从左至右交于点A，B，直线与f（x）的图象从左至右交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，则当m变化时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 贵阳期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65℃的物体，放到15℃的空气中冷却，1min后物体的温度是35℃，已知lg2≈0.3，则k的值大约为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
3．（2024秋 邯郸期末）“m＞﹣2”是“函数的图象不经过第一象限”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024秋 成都期末）设，b＝log32，c＝log43，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
5．（2024秋 泸州校级期末）已知a，b＝（）3，c＝（）3，则a，b，c的大小顺序正确的是（　　）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
6．（2024秋 湖南期末）已知函数，则f（2x）的定义域为（　　）
A．[﹣4，1） B．[﹣4，1] C． D．[﹣8，2）
7．（2024秋 红桥区期末）若，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
8．（2024秋 城阳区校级期末）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 阜阳期末）如图，圆锥的顶点为V，将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O′与圆锥侧面相切于圆O，平面β与球O'切于点F，A为圆O上一点，V，A，O，F四点共面，且VA∥平面β，平面β截该圆锥所得截口曲线为Γ，M为曲线Γ上一动点，记圆O所在平面为平面α，α∩β＝l，MN⊥l，垂足为N，VM交圆O于点P，∠AVO＝θ，则下列选项正确的有（　　）
A．PM＝MF
B．MN∥VA
C．F是双曲线的一部分
D．若Rtanθ越大，则曲线Γ的开口越大
（多选）10．（2024秋 抚顺期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）xn（m，n∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若n＝m﹣1，则f（x）在（0，+∞）上单调递减
B．若n＝m+1，则f（x）是奇函数
C．函数y＝2f（x﹣1）+1过定点（2，1）
D．若n＝﹣3，则f（5）+f（﹣4）＜0
（多选）11．（2024秋 三明校级期中）以下运算中正确的有（　　）
A．lg5+lg2＝1 B．
C． D．
（多选）12．（2024秋 惠州校级期中）已知正数x，y，z满足5x＝9y＝15z，则（　　）
A．xz+2yz﹣2xy＝0 B．5x＜9y＜15z
C．xy＜2z2 D．9x+2y＜16z
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 金华期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数f（x）＝log2x及g（x）＝log2x+2的图象交于点B，C，点A（m，n）为函数g（x）图象上一点．若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，则m＝ 　 　．
14．（2024秋 成都期末）已知y＝f（x）是函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的反函数，则y＝f（x）的图象经过的定点坐标为 　 　．
15．（2024秋 南阳期末）已知实数a，b满足，则 　 　．
16．（2024秋 松江区期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如：f（x）＝x+ex，f（lnx）＝lnx+elnx＝lnx+x，称x+ex与lnx+x为同构式．已知实数x1、x2满足，则x1+5x2＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 西城区校级期末）已知函数f（x）＝log4（x+2），g（x）＝log2x．
（Ⅰ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围；
（Ⅱ）若函数在[1，8]上的最大值为6，求实数m的值；
（Ⅲ）通过软件作图发现，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜x+1＜g（x+2）．试利用上述结论证明：1.1＜20.2＜1.2．
18．（2024秋 天津期末）已知函数，其中a，k为实数．
（Ⅰ）当k＝2时，若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝1时，若函数f（x）为偶函数，
（i）求实数k的值；
（ii）若函数g（x）＝2f（2x）+m 2f（x）的最小值为﹣3，求实数m的值．
19．（2024秋 新乡期末）已知函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣4，+∞）上的单调性并根据定义加以证明；
（3）若函数g（x）＝logaf（x）在[﹣1，2]上的最小值是﹣1，求a的值．
20．（2024秋 盐津县期末）已知函数．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．
高考数学考前冲刺押题预测 幂函数、指数函数、对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 常州期末）若直线y＝m与函数f（x）＝|log3x|的图象从左至右交于点A，B，直线与f（x）的图象从左至右交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，则当m变化时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】对数函数的图象；函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】写出各点坐标，根据坐标写出的表达式，化简求导即可求解．
【解答】解：根据题意可得A（3﹣m，m），B（3m，m），，
故，
令g（m），m＞0，
令0，当m时，，
故．
故答案为：D．
【点评】本题考查函数的最值和对数函数的性质，属于较难题．
2．（2024秋 贵阳期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65℃的物体，放到15℃的空气中冷却，1min后物体的温度是35℃，已知lg2≈0.3，则k的值大约为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【考点】对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意可得，35＝15+（65﹣15） 10﹣k，然后结合对数运算性质即可求解．
【解答】解：由题意可得，35＝15+（65﹣15） 10﹣k，
即10﹣k，
所以﹣k＝lglg2﹣lg5＝lg2﹣（1﹣lg2）＝2lg2﹣1＝﹣0.4，
所以k＝0.4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
3．（2024秋 邯郸期末）“m＞﹣2”是“函数的图象不经过第一象限”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由题中条件图象不经过第一象限，解出m的范围，根据此范围来确定与m＞﹣2两者关系确定充分必要条件．
【解答】解：∵图象是由指数函数经过平移得到的．
∴x＝0，，图象不经过第一象限，
∴f（0）≤0，即，
解得：m≥﹣1，而[﹣1，+∞） （﹣2，+∞），
故m＞﹣2是图象不经过第一象限的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查指数型函数图象及性质及充分必要条件，属于基础题．
4．（2024秋 成都期末）设，b＝log32，c＝log43，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性和对数的运算可得出，从而得出，并可得出，最后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：，，，
∴，即b＜a，
∴，
∴a＜c，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式，不等式的性质，是中档题．
5．（2024秋 泸州校级期末）已知a，b＝（）3，c＝（）3，则a，b，c的大小顺序正确的是（　　）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【考点】指数函数的图象．
【专题】综合题；函数思想；函数的性质及应用．
【答案】D
【分析】把各个数都转化为x3的形式即可
【解答】解：∵a（3，
又y＝x3在R上是增函数，
因为，
所以a＞c＞b，
故选：D．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题
6．（2024秋 湖南期末）已知函数，则f（2x）的定义域为（　　）
A．[﹣4，1） B．[﹣4，1] C． D．[﹣8，2）
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】求出函数f（x）的定义域，再求出复合函数定义域即得．
【解答】解：函数中，，解得﹣4≤x＜1，即函数f（x）的定义域为[﹣4，1），
因此在f（2x）中，﹣4≤2x＜1，解得，
所以f（2x）的定义域为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
7．（2024秋 红桥区期末）若，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算性质即可得出：，然后可得解．
【解答】解：∵，，，且，
∴b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，是中档题．
8．（2024秋 城阳区校级期末）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】指数函数与对数函数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则y1，y2，
22，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
又（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，
故，
两边同时取对数可得，log2．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数与不等式的综合，考查转化能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 阜阳期末）如图，圆锥的顶点为V，将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O′与圆锥侧面相切于圆O，平面β与球O'切于点F，A为圆O上一点，V，A，O，F四点共面，且VA∥平面β，平面β截该圆锥所得截口曲线为Γ，M为曲线Γ上一动点，记圆O所在平面为平面α，α∩β＝l，MN⊥l，垂足为N，VM交圆O于点P，∠AVO＝θ，则下列选项正确的有（　　）
A．PM＝MF
B．MN∥VA
C．F是双曲线的一部分
D．若Rtanθ越大，则曲线Γ的开口越大
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据圆的切线性质判定A；根据面面垂直、线面垂直的性质得到l⊥FG，再利用线性平行得结论判断B；作MH⊥平面α于H，结合等角定理得到∠NMH＝∠AVO＝θ＝∠PMH，进而得到Rt△PMH≌Rt△NMH，最后P，F均为球的切点，得MF＝MP，得到MN＝MF，进而得到M的轨迹为抛物线，判断C；圆锥过VOF的轴截面，画出图，计算出FG＝2FQ＝2Rtanθ，得到方程y2＝4Rxtanθ，可得该抛物线的开口随着Rtanθ的增大而增大，判断D．
【解答】解：∵P，F均为球的切点，∴MF＝MP，故A正确；
设平面β∩平面VFO＝FG，垂直FG交l于G，
∵VA∥β，∴VA∥FG，
∵O′F⊥β，l β，∴l⊥O′F，
VO′⊥α，l α，∴l⊥VO′，
∵VO’，O′F 平面VOF，∴l⊥平面VOF，
FG 平面VOF，∴l⊥FG，
∵MN⊥l，∴MN∥VA，故B正确；
作MH⊥平面α于H，
∵VO′⊥α，∴MH∥VO′，
由等角定理得∠NMH＝∠AVO＝θ＝∠PMH，
MH⊥平面α，∴Rt△PMH≌Rt△NMH，
MN＝MP，
又P，F均为球的切点，则MF＝MP，
∴恒有MN＝MF，
即|MF|＝d，其中F为定点，d为M到定直线l的距离，
∴M的轨迹为抛物线，故C错误；
圆锥过VOF的轴截面，如图，
取FG中点Q，由题意知O′为AF中点，
∴O′Q∥OG，∴O′Q⊥VO′，
FG＝2FQ＝2Rtanθ，
在平面β内，若以Q为坐标原点，QF为x轴正方向，可得方程为y2＝4Rxtanθ，
可得该抛物线的开口随着Rtanθ的增大而增大，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查涉及旋转体的组合体、轴截面、平面几何知识等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）10．（2024秋 抚顺期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）xn（m，n∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若n＝m﹣1，则f（x）在（0，+∞）上单调递减
B．若n＝m+1，则f（x）是奇函数
C．函数y＝2f（x﹣1）+1过定点（2，1）
D．若n＝﹣3，则f（5）+f（﹣4）＜0
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】由幂函数的定义先求m，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断．
【解答】解：f（x）＝（m2﹣3）xn为幂函数，
故m2﹣3＝1，即m＝2或m＝﹣2，
A：当m＝2时，n＝1，f（x）＝x在（0，+∞）上单调递增，A显然错误；
B：由题意得f（x）＝x3或f（x）＝x﹣1为奇函数，B正确；
C：因为幂函数f（x）恒过（1，1），则y＝2f（x﹣1）+1＝2（x﹣1）n+1恒过（2，3），C错误；
D：若n＝﹣3，则f（x）＝x﹣3，
所以f（5）+f（﹣4）＝5﹣3﹣4﹣3＜0，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了幂函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 三明校级期中）以下运算中正确的有（　　）
A．lg5+lg2＝1 B．
C． D．
【考点】对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据对数运算判断A；根据根式性质以及指数运算判断B；指数和对数的运算判断C；对数的运算性质和换底公式判断D．
【解答】解：对于A，lg5+lg2＝lg（5×2）＝lg10＝1，故A正确；
对于B，a≠0，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 惠州校级期中）已知正数x，y，z满足5x＝9y＝15z，则（　　）
A．xz+2yz﹣2xy＝0 B．5x＜9y＜15z
C．xy＜2z2 D．9x+2y＜16z
【考点】对数的运算性质；指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】设5x＝9y＝15z＝t，t＞1，求出x，y，z，利用对数的运算及换底公式计算判断A；利用作商法计算判断B；利用作差法计算判断CD．
【解答】解：设5x＝9y＝15z＝t，t＞1，则xlogt5＝ylogt9＝zlogt15＝1，，
对于A，，A正确；
对于B，，而，即有，则5x＜9y，
又，，即有，则9y＜15z，
所以5x＜9y＜15z，B正确；
对于C，由选项A知，，得，
则，C错误；
对于D，，
因此9x+2y＞16z，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 金华期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数f（x）＝log2x及g（x）＝log2x+2的图象交于点B，C，点A（m，n）为函数g（x）图象上一点．若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，则m＝ 　　．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】
【分析】将坐标代入函数图像消元即可求解本题．
【解答】解：根据题意可知AB＝BC＝2．
由A（m，n），代入g（x）＝log2x+2，可得m＝2n﹣2，
点B的纵坐标和点A相同，均为n，易得B（2n，n），
故2n﹣2n﹣2＝2，
即2n﹣2（22﹣1）＝2，
故m＝2n﹣2．
故答案为：．
【点评】本题考查对数函数的图像与性质，属于中档题．
14．（2024秋 成都期末）已知y＝f（x）是函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的反函数，则y＝f（x）的图象经过的定点坐标为 　（0，1）　．
【考点】反函数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（0，1）．
【分析】结合反函数的定义，以及指数函数定点的性质，即可求解．
【解答】解：y＝f（x）是函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的反函数，
则y＝ax，
当x＝0时，y＝1，
故y＝f（x）的图象经过的定点坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查反函数的定义，以及指数函数定点的性质，是基础题．
15．（2024秋 南阳期末）已知实数a，b满足，则 　　．
【考点】对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知结合指数与对数的转化关系，指数运算性质即可求解．
【解答】解：设x＝log3a，y＝log2b，
则a＝3x，b＝2y，
因为，
所以a＝3x＝（）x﹣2x，b＝2y＝（）y﹣3y，
所以2x+3x＝（）x，2y+3y＝（）y，
则x＝y，
由a＝3x＝（）x﹣2x可得（）x＝（）x﹣1，
解得（）x，
所以（）x．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数与对数的转化关系及对数运算性质，指数运算性质的应用，属于中档题．
16．（2024秋 松江区期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如：f（x）＝x+ex，f（lnx）＝lnx+elnx＝lnx+x，称x+ex与lnx+x为同构式．已知实数x1、x2满足，则x1+5x2＝ 　3　．
【考点】对数函数的单调性与最值；指数式与对数式的互化．
【专题】整体思想；构造法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】将化为f（ln（5x2+3））＝6，再利用同构式及函数单调性求得答案．
【解答】解：函数f（x）＝x+ex在R上单调递增，且，
由，得ln（5x2+3）+5x2＝3，则ln（5x2+3）+5x2+3＝6，
即f（ln（5x2+3））＝6，因此f（ln（5x2+3））＝6＝f（x1），
则x1＝ln（5x2+3），
所以x1+5x2＝ln（5x2+3）+5x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了函数单调性与函数性质的综合应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 西城区校级期末）已知函数f（x）＝log4（x+2），g（x）＝log2x．
（Ⅰ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围；
（Ⅱ）若函数在[1，8]上的最大值为6，求实数m的值；
（Ⅲ）通过软件作图发现，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜x+1＜g（x+2）．试利用上述结论证明：1.1＜20.2＜1.2．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值；指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）x的取值范围为（0，2）；
（Ⅱ）实数m的值为或1；
（Ⅲ）证明见解析．
【分析】（Ⅰ）根据对数函数的单调性求解不等式；
（Ⅱ）代入函数表达式后分类讨论；
（Ⅲ）根据题目已知结论证明．
【解答】解：（Ⅰ）由题意函数f（x）的定义域为（﹣2，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）＞g（x）得，
故x+2＞x2，得﹣1＜x＜2，又x＞0，
故x的取值范围为（0，2）．
（Ⅱ），
设t＝log2x，因x∈[1，8]，故0≤t≤3，
则，
当，即时，当t＝3时，取得最大值6，故（log2m+3）（3﹣1）＝6，得m＝1，
当即时，当t＝0时，取得最大值6，故（log2m+0）（0﹣1）＝6，得，
故实数m的值为或1．
（Ⅲ）证明：当x＝﹣0.9时，由f（x）＜x+1可得log41.1＜0.1，故1.1＜40.1＝20.2，
当x＝﹣0.8时，由x+1＜g（x+2）可得0.2＜log21.2，故20.2＜1.2，故1.1＜20.2＜1.2．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质及其对数不等式的解法，属于较难题．
18．（2024秋 天津期末）已知函数，其中a，k为实数．
（Ⅰ）当k＝2时，若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝1时，若函数f（x）为偶函数，
（i）求实数k的值；
（ii）若函数g（x）＝2f（2x）+m 2f（x）的最小值为﹣3，求实数m的值．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；奇函数偶函数的性质．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）（i）；
（ii）m的值为．
【分析】（Ⅰ）将k代入，结合换元法求解．
（Ⅱ）（i）根据偶函数定义求解；
（ii）将f（x）代入，分类讨论求解本题．
【解答】解：（Ⅰ）当k＝2时，，
令f（x）＝0，得，
即，
所以，令，
则t+a＝t2，即a＝t2﹣t在（0，+∞）上只有一解，
所以．
（Ⅱ）（i）当a＝1时，函数f（x）的定义域为R，若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）恒成立，
即，
所以，即，
从而x＝2kx，所以．
（ii）由（i）可知，
所以，
所以g（x）＝2f（2x）+m 2f（x）．
令，则s≥2，且2x+2﹣x＝s2﹣2，
所以h（s）＝s2+ms﹣2在[2，+∞）上的最小值为﹣3，
①当，即m≥﹣4时，h（s）min＝h（2）＝2+2m＝﹣3，解得．
②当，即m＜﹣4时，，解得m＝±2（舍），
综上所述，实数m的值为．
【点评】本题考查奇偶函数的性质及函数的最值，属于较难题．
19．（2024秋 新乡期末）已知函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（﹣4，+∞）上的单调性并根据定义加以证明；
（3）若函数g（x）＝logaf（x）在[﹣1，2]上的最小值是﹣1，求a的值．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）．
（2）单调递减，详见解答过程；
（3）或a＝3．
【分析】（1）由已知利用换元法即可求解函数解析式；
（2）x1，x2∈（﹣4，+∞），且x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断函数的单调性；
（3）由已知结合函数的单调性即可求解a．
【解答】解：（1）设t＝2x﹣1，得，
则，
故．
（2）f（x）在（﹣4，+∞）上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈（﹣4，+∞），且x1＜x2，所以4+x1＞0，4+x2＞0，x2﹣x1＞0，
则0，
所以f（x1）＞f（x2），
则f（x）在（﹣4，+∞）上单调递减．
（3）当0＜a＜1时，y＝logax是（0，+∞）上的减函数，
由（2）可知函数f（x）是[﹣1，2]上的减函数，
所以g（x）是[﹣1，2]上的增函数，
所以，解得．
当a＞1时，y＝logx是（0，+∞）上的增函数，
由（2）可知函数f（x）是[﹣1，2]上的减函数，
则g（x）是[﹣1，2]上的减函数，
所以，解得a＝3．
综上，或a＝3．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
20．（2024秋 盐津县期末）已知函数．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．
【考点】求对数函数的定义域；求对数型复合函数的值域．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）[0，4）；
（2）[4，+∞）．
【分析】（1）根据题意得出：ax2﹣2ax+4＞0的解集为R，然后讨论a＝0和a≠0即可得出a的取值范围；
（2）根据题意得出（0，+∞）是函数y＝ax2﹣2ax+4的值域的子集，然后即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，则：ax2﹣2ax+4＞0的解集为R，
a＝0时，4＞0恒成立，满足题意；
a≠0时，，解得0＜a＜4，
∴a的取值范围为[0，4）；
（2）f（x）的值域为R，则（0，+∞）是函数y＝ax2﹣2ax+4值域的子集，
∴，解得a≥4，
∴a的取值范围为：[4，+∞）．
【点评】本题考查了对数函数的定义域和值域，一元二次不等式的解集为R时的充要条件，是中档题．
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