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高考数学考前冲刺押题预测 常用逻辑用语
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 贵阳期末）声音是由于物体的振动产生的波．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数是，n∈N*．下列关于函数f（x）的命题：
①当n＝1时，f（x）的图象关于直线x＝π对称
②当n＝2时，若x∈（0，π），则f（x）＞0
③当n＝3时，2π是f（x）的周期
④f（x）为奇函数
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024秋 静安区校级期末）已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根．现有四个命题
①若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切x∈R成立；
②若a＜0，则必存在实数x0使不等式f[f（x0）]＞x0成立；
③方程f[f（x）]＝x一定没有实数根；
④若a+b+c＝0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x∈R成立．
其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024秋 青海期末）“m＝1”是“f（x）＝6mx为指数函数”的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024秋 深圳校级期中）若a，b，c∈R，则“ac＝bc”是“a＝b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2024 黄浦区校级模拟）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为严格增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个是严格增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
6．（2024秋 湖北期中）已知P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，下列说法①若A∩B＝ ，则P（A∪B）＝0.7；②若A∩B≠ ，则P（A∪B）＝0.58；③若A B，则P（AB）＝0.12；④若事件A，B相互独立，则P（AB）＝0.12；⑤若事件A，B相互独立，则P（A∪B）＝0.58；正确的有（　　）
A．①②④ B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤
7．（2024春 长沙期末）“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2024 新高考Ⅱ）已知命题p： x∈R，|x+1|＞1，命题q： x＞0，x3＝x，则（　　）
A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题
C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 泸州校级期末）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（　　）
A．“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”
B．“a＞1”是“”的充分不必要条件
C．“a＜1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“ab＜0”是“无最小值”的既不充分也不必要条件
（多选）10．（2024秋 渭南期末）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ x∈R，”是真命题
B．命题“ x∈R，使得x2+1＝0”是假命题
C．A B是A∩B＝A的充要条件
D．是集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素的充要条件
（多选）11．（2024秋 桂林期末）下列说法正确的是（　　）
A．“a＝0”是“ab＝0”的充要条件
B．“a∈N”是“a∈Z”的充分不必要条件
C．“x2＝9”是“x＝3”的必要不充分条件
D．“a+c＞b+d”是“a＞b，c＞d”的既不充分也不必要条件
（多选）12．（2024秋 贵池区校级期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作versinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作coversinθ，则下列命题中正确的是（　　）
A．函数y＝coversinx﹣versinx在上是减函数
B．若2，则coversin2x﹣versin2x
C．函数，则f（x）的最大值2
D．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 上海校级期中）设p：1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 　 　．
14．（2024秋 四川校级期中）给出下列结论：
①y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；
②幂函数图象一定不过第四象限；
③函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；
④若loga1，则a的取值范围是（，1）；
⑤若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
其中正确的序号是　 　．
15．（2024 延庆区一模）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数a，使得函数f（x）的最小值为0
②存在实数a＜0，使得函数f（x）的最小值为﹣1
③存在实数a，使得函数f（x）恰有2个零点
④存在实数a，使得函数f（x）恰有4个零点
其中所有正确结论的序号是 　 　．
16．（2024 浙江学业考试）若“ x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2023秋 萍乡期末）已知a∈R，集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣3≤x≤3}．
（1）若a＝2，求（ RA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（2024秋 淄博校级期中）设命题p：实数x满足M＝{x|﹣2≤x≤5}，命题q：实数x满足N＝{x|1﹣2m≤x≤2+m}．
（1）若命题“ x∈M，x∈N”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．（2024秋 湖北校级期中）已知集合A＝{x|6≤x≤20}，集合B＝{x|x≤2a}，命题p： x∈A，x∈B，命题q： x∈R，x2+2x﹣a＞0．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
20．（2024秋 上海校级期中）命题甲：集合M＝{x|kx2﹣2kx+1＝0}为空集；命题乙：关于x的不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R．
（1）求命题甲为真命题时k取值范围；
（2）若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数k的取值范围．
高考数学考前冲刺押题预测 常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 贵阳期末）声音是由于物体的振动产生的波．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数是，n∈N*．下列关于函数f（x）的命题：
①当n＝1时，f（x）的图象关于直线x＝π对称
②当n＝2时，若x∈（0，π），则f（x）＞0
③当n＝3时，2π是f（x）的周期
④f（x）为奇函数
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用；函数的奇偶性；函数周期性的判断与求解．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析①，将函数解析式变形，结合三角函数的性质分析②，由三角函数的周期性分析③，由函数奇偶性的定义分析④，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，当n＝1时，f（x）＝sinx，其对称轴不是x＝π，①错误；
对于②，当n＝2时，f（x）＝sinxsin2x＝sinx+sinxcosx＝sinx（1+cosx），
若x∈（0，π），sinx＞0，1+cosx＞0，则f（x）＞0，②正确；
对于③，当n＝3时，f（x）＝sinxsin2xsin3x，f（x+2π）＝sinx（x+2π）sin[2（x+2π）]sin[3（x+2π）]＝sinxsin2xsin3x＝f（x），
则2π是f（x）的周期，③正确；
对于④，f（x）＝sinxsin2xsin3xsinnx，其定义域为R，
有f（﹣x）＝﹣（sinxsin2xsin3xsinnx）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，④正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及正弦函数的性质，属于中档题．
2．（2024秋 静安区校级期末）已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根．现有四个命题
①若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切x∈R成立；
②若a＜0，则必存在实数x0使不等式f[f（x0）]＞x0成立；
③方程f[f（x）]＝x一定没有实数根；
④若a+b+c＝0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x∈R成立．
其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断f[f（x）]与x的关系．
【解答】解：方程f（x）＝x无实根，∴f（x）﹣x＞0或f（x）﹣x＜0．
∵a＞0，∴f（x）﹣x＞0对一切x∈R成立，
∴f（x）＞x，用f（x）代入，
∴f[f（x）]＞f（x）＞x，∴命题①正确；
同理若a＜0，则有f[f（x）]＜x，∴命题②错误；命题③正确；
∵a+b+c＝0，∴f（1）﹣1＜0，
∴必然归为a＜0，有f[f（x）]＜x，∴命题④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用，综合性较强，难度较大．
3．（2024秋 青海期末）“m＝1”是“f（x）＝6mx为指数函数”的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解．
【解答】解：当m＝1时，f（x）＝6x为指数函数，即充分性成立；
当f（x）＝6mx为指数函数时，只需m≠0；
所以“m＝1”是“f（x）＝6mx为指数函数”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了指数函数定义的应用，属于基础题．
4．（2024秋 深圳校级期中）若a，b，c∈R，则“ac＝bc”是“a＝b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件必要条件的判断．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义求解．
【解答】解：当c＝0，a＝2，b＝1，满足ac＝bc，但不能得出a＝b；
当a＝b时，一定有ac＝bc成立；
“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
5．（2024 黄浦区校级模拟）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为严格增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个是严格增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意可得为f（x），进而要可得f（x+T）＝f（x），故②正确；
由增函数加减函数也可能为增函数，判断①不正确．
【解答】解：因为f（x），
所以f（x+T），
又f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，
所以f（x+T）f（x），
所以f（x）是周期为T的函数，
同理可得g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，②正确；
增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等．本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等，属于中档题．
6．（2024秋 湖北期中）已知P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，下列说法①若A∩B＝ ，则P（A∪B）＝0.7；②若A∩B≠ ，则P（A∪B）＝0.58；③若A B，则P（AB）＝0.12；④若事件A，B相互独立，则P（AB）＝0.12；⑤若事件A，B相互独立，则P（A∪B）＝0.58；正确的有（　　）
A．①②④ B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤
【考点】命题的真假判断与应用；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据互斥事件的概率加法计算公式可知①对，②错；又因为若A B，则P（AB）＝P（A），所以③错；④若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），正确；⑤根据P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）可求解．
【解答】解：因为P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，
对①，若A∩B＝ ，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.4＝0.7，所以①正确；
对②，若A∩B≠ ，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
因为P（AB）的值不确定，所以P（A∪B）的值无法确定，所以②错误；
对③，若A B，则P（AB）＝P（A）＝0.3，所以③错误；
对④，若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，所以④正确；
对⑤，若事件A，B相互独立，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.58，所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查概率的性质，属中档题．
7．（2024春 长沙期末）“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件必要条件的判断；二次函数的单调性与单调区间．
【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质分析可知若函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减，等价于a≥1，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解．
【解答】解：因为函数y＝x2﹣2ax+1的图象开口向上，对称轴为x＝a，
若函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减，等价于a≥1，显然（1，+∞）是[1，+∞）的真子集，
所以“a＞1”是“函数y＝x2﹣2ax+1在（﹣∞，1]上单调递减”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
8．（2024 新高考Ⅱ）已知命题p： x∈R，|x+1|＞1，命题q： x＞0，x3＝x，则（　　）
A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题
C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
【解答】解：命题：p： x∈R，|x+1|＞1，x＝﹣1时，不成立，所以命题：p是假命题；则￢p是真命题．
命题q： x＞0，x3＝x，x＝1时成立，所以命题q是真命题，￢q是假命题；
所以￢p和q都是真命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 泸州校级期末）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（　　）
A．“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”
B．“a＞1”是“”的充分不必要条件
C．“a＜1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“ab＜0”是“无最小值”的既不充分也不必要条件
【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式及其应用；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次不等式的解法，不等式的性质，二次方程的根的分布结合充分条件，必要条件的定义逐项分析即得．
【解答】解：因为当b2﹣4ac≤0，a＜0时，推不出ax2+bx+c≥0，故A错误；
由a＞1可推出，而由，可得a＜0或a＞1，推不出a＞1，
所以“a＞1”是“”的充分不必要条件，故B正确；
由方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，可得a＜0，可推出a＜1，
由a＜1推不出a＜0，
故“a＜1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；
由ab＜0，，可得（当且仅当a＝b取等号），无最小值，
所以“ab＜0”是“无最小值”的充分条件，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，不等式的性质，二次方程的根和系数的关系，充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 渭南期末）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ x∈R，”是真命题
B．命题“ x∈R，使得x2+1＝0”是假命题
C．A B是A∩B＝A的充要条件
D．是集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素的充要条件
【考点】全称量词命题的真假判断；集合的包含关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；数学抽象．
【答案】BC
【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假，集合的交集运算及元素与集合关系检验各选项即可判断．
【解答】解：当x时，A显然错误；
因为x2+1＞0恒成立，即 x∈R，使得x2+1≠0，B正确；
A B A∩B＝A，C正确；
当a时，A＝{x|x2+x+1＝0}＝{﹣2}，充分性成立，
当a＝0时，A＝{x|ax2+x+1＝0}＝{﹣1}，必要性不成立，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了命题真假关系的判断，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 桂林期末）下列说法正确的是（　　）
A．“a＝0”是“ab＝0”的充要条件
B．“a∈N”是“a∈Z”的充分不必要条件
C．“x2＝9”是“x＝3”的必要不充分条件
D．“a+c＞b+d”是“a＞b，c＞d”的既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】BC
【分析】由充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由a＝0，可得ab＝0，反正不一定成立，则“a＝0”是“ab＝0”的充分不必要条件，故A错误；
由a∈N，可得a∈Z，反之不一定成立，故“a∈N”是“a∈Z”的充分不必要条件，故B正确；
由x＝3可得x2＝9，由x2＝9可得x＝±3，则“x2＝9”是“x＝3”的必要不充分条件，故C正确；
由a+c＞b+d，不一定有a＞b，c＞d，反之成立，则“a+c＞b+d”是“a＞b，c＞d”的必要不充分条件，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查充分必要的判定，是基础题．
（多选）12．（2024秋 贵池区校级期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作versinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作coversinθ，则下列命题中正确的是（　　）
A．函数y＝coversinx﹣versinx在上是减函数
B．若2，则coversin2x﹣versin2x
C．函数，则f（x）的最大值2
D．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】新定义；转化思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】根据题中给出的新定义，利用辅助角公式以余弦函数的单调性判断选项A，利用二倍角公式以及同角三角函数判断选项B，利用正弦函数的有界性判断选项C，利用诱导公式判断选项D，即可得到答案．
【解答】解：函数y＝coversinx﹣versinx＝cosx﹣sinx，在上单调递减，故选项A错误；
因为，所以，即，故选项B正确；
函数，
所以f（x）的最大值为2﹣（﹣2）＝4，故选项C错误；
因为，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的是三角函数的新定义问题，试题以三角函数的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解三角函数的运算公式，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 上海校级期中）设p：1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 　　．
【考点】充分条件与必要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】首先利用分式不等式和一元二次不等式的解法求出A和B，进一步利用B A，求出实数a的取值范围．
【解答】解：命题p：，整理得，解得：，
即A＝{x|}；
命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，解得：a＜x＜a+1；
即B＝{x|a＜x＜a+1}，
由于p是q的必要非充分条件，
故B A，
所以或，
故．
故实数a的取值范围为．
【点评】本题考查的知识要点：分式不等式和一元二次不等式的解法，充分条件和必要条件，集合间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
14．（2024秋 四川校级期中）给出下列结论：
①y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；
②幂函数图象一定不过第四象限；
③函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；
④若loga1，则a的取值范围是（，1）；
⑤若2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
其中正确的序号是　②④⑤　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；简易逻辑．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接求出二次函数的值域判断①；由幂函数的性质判断②；利用代值验证法判断③；分类求解对数不等式判断④；构造函数f（x）＝2﹣x﹣lnx，由此函数为（0，+∞）上的减函数，结合2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0）求得x+y＜0判断⑤．
【解答】解：①∵x∈[﹣1，2]，y＝x2+1，∴当x＝0时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝5，则y的值域是[1，5]，①错误；
②幂函数图象一定不过第四象限，②正确；
③∵当x＝1时，f（1）＝﹣1，∴函数f（x）＝loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故③错误；
④由loga1，当a＞1时，可得a，此时a∈ ；当0＜a＜1时，解得a，此时．则a的取值范围是（，1），故④正确；
⑤令f（x）＝2﹣x﹣lnx，此函数为（0，+∞）上的减函数，
由2﹣x﹣2y＞lnx﹣ln（﹣y）（x＞0，y＜0），得2﹣x﹣lnx＞2y﹣ln（﹣y），则x＜﹣y，即x+y＜0，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数值域的求法，训练了函数图象的平移方法，考查对数不等式的解法，构造函数判断⑤是该题的难点所在，该题是中档题．
15．（2024 延庆区一模）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数a，使得函数f（x）的最小值为0
②存在实数a＜0，使得函数f（x）的最小值为﹣1
③存在实数a，使得函数f（x）恰有2个零点
④存在实数a，使得函数f（x）恰有4个零点
其中所有正确结论的序号是 　①③　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】取特殊值判断①，当a＜0时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④．
【解答】解：当a＝0时，f（x），显然函数的最小值为0，故①正确；
当a＜0时，，，
当1＜x＜e时，f′（x）＜0，当e＜x时，f′（x）＞0，
所以f（x）在[1，e）上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
所以x＝e时，f（x）有最小值，由，可得a＝﹣e，
此时，x＜1时，f（x）＝x2﹣2ex，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，所以f（x）＞f（1）＝1﹣2e，
与最小值为﹣1矛盾，
若x＜1时，f（x）＝x2+2ax的对称轴方程为x＝﹣a＞0，
当x＝﹣a＜1时，即a＞﹣1时，，
若﹣a2＝﹣1，则a＝﹣1与a＞﹣1矛盾，
当x＝﹣a≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，无最小值，
综上，当a＜0时，函数f（x）的最小值不为﹣1，故②错误；
由②知，a＜﹣1时，x＜1时，f（x）单调递减且f（0）＝0，当x≥1时，f（x）≤0且f（1）＝0，
所以函数恰有2个零点，故③正确；
当a＞0时，且仅有f（1）＝0，
即有且只有1个零点，
当a＜0时，且仅有f（1）＝0，
即有且只有1个零点，
综上，a≠0时，有且只有1个零点，
而f（x）＝x2+2ax＝x（x+2a）在x＜1上至多有2个零点，
所以a≠0时，函数没有4个零点，当a＝0时，函数有无数个零点，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，函数最值的求法及函数零点个数的判断，属于中档题．
16．（2024 浙江学业考试）若“ x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为　（﹣∞，2]　．
【考点】存在量词和存在量词命题．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“ x∈[，2]，不等式2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，求出“ x∈[，2]，使得λ＞2x成立”是假命题时λ的最小值，即可求出实数λ的取值范围．
【解答】解：若“ x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，
即“ x∈[，2]，使得λ＞2x成立”是假命题，
由x∈[，2]，当x时，函数y＝2x22，当且仅当2x，即x时取“＝”，
所以y的最小值为2；
所以实数λ的取值范围为（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查了特称命题，不等式恒成立问题以及函数的图象和性质的应用问题，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2023秋 萍乡期末）已知a∈R，集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣3≤x≤3}．
（1）若a＝2，求（ RA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分不必要条件的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；数学抽象．
【答案】（1）（ RA）∩B＝{x|﹣3≤x＜1}；
（2）[﹣2，1]．
【分析】（1）由已知求得集合A， RA，由交集运算即可得出结果．
（2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤5}，可得 RA＝{x|x＜1或x＞5}，
所以（ RA）∩B＝{x|﹣3≤x＜1}；
（2）由题知，集合A是集合B的真子集，
由题意得，A≠ ，则2a+1≥a﹣1，即a≥﹣2，且满足，两式不能同时取等号，解得﹣2≤a≤1，
综上，实数a的取值范围为[﹣2，1]．
【点评】本题主要考查了集合交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题．
18．（2024秋 淄博校级期中）设命题p：实数x满足M＝{x|﹣2≤x≤5}，命题q：实数x满足N＝{x|1﹣2m≤x≤2+m}．
（1）若命题“ x∈M，x∈N”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）[3，+∞）．
（2）（﹣∞，]．
【分析】（1）根据集合的包含关系求解；
（2）将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解．
【解答】解：（1）因为命题“ x∈M，x∈N”是真命题，所以M N，
所以，即，解得m≥3，即实数m的取值范围是[3，+∞）．
（2）命题p是命题q的必要不充分条件，所以N是M的真子集，
若N＝ ，满足条件，此时1﹣2m＞2+m，即．
若N≠ ，则1﹣2m≤2+m，即，
因为N是M的真子集，所以，即，解得，
经检验时，满足N是M的真子集，
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，]．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为集合关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．
19．（2024秋 湖北校级期中）已知集合A＝{x|6≤x≤20}，集合B＝{x|x≤2a}，命题p： x∈A，x∈B，命题q： x∈R，x2+2x﹣a＞0．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【考点】全称量词命题真假的应用；存在量词命题真假的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）{a|a＜3}；
（2）{a|a＜﹣1或a≥3}．
【分析】（1）先根据p为真命题分析出A∩B≠ ，由此求解出a的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果；
（2）考虑命题p，q均为假命题时a的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果．
【解答】解：（1）集合A＝{x|6≤x≤20}，集合B＝{x|x≤2a}，命题p： x∈A，x∈B，
若p为真命题，则A∩B≠ ，
所以2a≥6，所以a≥3，
所以命题p为假命题时，a的取值范围为{a|a＜3}．
（2）当q为假命题时，即“ x∈R，x2+2x﹣a≤0”为真命题，
所以Δ＝4+4a≥0，所以a的取值范围为{a|a≥﹣1}，
所以当p，q均为假命题时a的取值范围为{a|a＜3}∩{a|a≥﹣1}＝{a|﹣1≤a＜3}，
所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时a的取值范围为{a|a＜﹣1或a≥3}．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，属于中档题．
20．（2024秋 上海校级期中）命题甲：集合M＝{x|kx2﹣2kx+1＝0}为空集；命题乙：关于x的不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R．
（1）求命题甲为真命题时k取值范围；
（2）若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数k的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】（1）[0，1）．
（2）（﹣3，0）∪[1，5）．
【分析】（1）对k分类讨论，根据方程无解的解法即可求解k的取值范围；
（2）求出命题乙为真命题时k的取值范围，再由题意分甲真乙假和甲假乙真两种情况列关于k的不等式组，即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）命题甲：集合M＝{x|kx2﹣2kx+1＝0}为空集，
①当k＝0时，集合M为空集．
②当，解得0＜k＜1，
故命题甲为真命题时k取值范围是[0，1）．
（2）命题乙：关于x的不等式x2+（k﹣1）x+4＞0的解集为R．
若命题乙为真命题，则Δ＝（k﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜k＜5，
故k的取值范围为（﹣3，5）．
若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，
当甲真乙假：，解集为 ；
当甲假乙真：，解得k∈（﹣3，0）∪[1，5）．
综上所述：k∈（﹣3，0）∪[1，5）．
【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，真值表，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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