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高考数学考前冲刺押题预测 二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南京月考）在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
2．（2024 济南二模）二项式的展开式的常数项是（　　）
A．﹣112 B．112 C．﹣122 D．122
3．（2024 芗城区校级模拟）若，则a2+a4＝（　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
4．（2024秋 白银校级期末）的展开式中含x3项的系数为（　　）
A．8 B．12 C．﹣12 D．﹣64
5．（2024春 唐山期中）在（x+1）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数n＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2024 山东模拟）从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是（　　）
A．（1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）
B．（1+x）（1+2x）（1+3x） （1+10x）
C．（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2
D．（1+x）2（1+x+x2）2（1+x+x2+x3）2 （1+x+x2+ +x10）2
7．（2024秋 歙县校级期中）在的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当时，S等于（　　）
A．23035 B．﹣23035 C．23036 D．﹣23036
8．（2024春 正定县校级期中）的展开式中含x3项的二项式系数为（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 泗阳县期中）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．x的系数为10
B．第4项的二项式系数为10
C．没有常数项
D．各项系数的和为32
（多选）10．（2024秋 岳麓区校级月考）若，则下列正确的是（　　）
A．a0＝2024
B．
C．a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2024＝1
D．a1﹣2a2+3a3﹣ ﹣2024a2024＝﹣2024
（多选）11．（2024春 大通县校级期中）在的展开式中，下列命题正确的是（　　）
A．二项式系数之和为64
B．所有项系数之和为﹣1
C．常数项为60
D．第3项的二项式系数最大
（多选）12．（2024春 绥棱县校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则|a0|+|a1|+ +|a6|＝729
B．若，则
C．0.988精确到0.01的近似值为0.85
D．22024除以15的余数为1
三．填空题（共4小题）
13．（2024 射阳县校级一模）已知（2﹣x）2023＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2023（x﹣1）2023，则　 　．
14．（2024秋 昌平区期末）在（x）5的展开式中x的系数为　 　．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）平面向量为2维向量，可由2元有序实数组（x1，x2）表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组（x1，x2，x3）表示．n维向量可由n（n为正整数）元有序实数组（x1，x2，…，xn）表示．已知n维向量，我们称|x1|+|x2|+…+|xn|为该向量的范数，其中xi∈{﹣1，0，1}（i＝1，2，…，n），记范数为奇数的的个数为An.设NZ＝521，则NZ （797+A7）＝　 　．
16．（2024秋 天心区校级期末）已知的展开式中各项系数的和是2，则展开式中x的系数为 　 　（用数字作答）．
四．解答题（共4小题）
17．（2024春 琼海校级期中）（1）若，求a1+a2+a3+a4的值；
（2）在的展开式中：
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项？
18．（2024秋 白银校级期末）已知二项式．
（1）写出当n＝5时的展开式；
（2）写出当n＝12时所有的有理项．
19．（2024秋 浦东新区校级期中）已知二项式（2x﹣1）n展开式中，前二项的二项式系数和是11．
（1）求n的值；
（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
（3）设（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，求a1+a3+a5+a7+a9的值．
20．（2024秋 浦东新区校级期中）已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于512．求：
（1）n的值；
（2）展开式中的常数项；
（3）展开式中系数最大的项．
高考数学考前冲刺押题预测 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南京月考）在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用二项式展开式的通项求x2的系数．
【解答】解：由题得（2x﹣1）5的展开式为（r＝0，1，2，3，4，5），
令5﹣r＝2，则r＝3，所以x2的系数为T4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2024 济南二模）二项式的展开式的常数项是（　　）
A．﹣112 B．112 C．﹣122 D．122
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8），
当r＝6时，常数项为．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2024 芗城区校级模拟）若，则a2+a4＝（　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
【考点】二项式定理的应用．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】利用二项式定理分别求出a2，a4即可计算得解．
【解答】解：因为在中，
则展开式的通项公式为Tr+1（﹣2）rxr，
则，，
所以a2+a4＝120．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
4．（2024秋 白银校级期末）的展开式中含x3项的系数为（　　）
A．8 B．12 C．﹣12 D．﹣64
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出（1﹣x）10展开式的通项公式，分别求出x3、x5项的系数，即可求解展开式中含x3项的系数．
【解答】解：（1﹣x）10的展开式的通项公式为，（r＝0，1，2，3，....，10）
令r＝3，可得二项式（1﹣x）10的展开式中x3的系数为120；
令r＝5，可得二项式（1﹣x）10的展开式中x5的系数为．
∴的展开式中x3的系数为．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2024春 唐山期中）在（x+1）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数n＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用二项式的展开式的项数与指数n的关系求出结果．
【解答】解：由于（x+1）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，
故该展开式有9项，故正整数n＝8．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（2024 山东模拟）从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是（　　）
A．（1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）
B．（1+x）（1+2x）（1+3x） （1+10x）
C．（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2
D．（1+x）2（1+x+x2）2（1+x+x2+x3）2 （1+x+x2+ +x10）2
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m，再分析各个选项x9的系数，即可求解．
【解答】解：从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克，可以分为五种情况：
只取一个砝码有，9一种情况，种情况，
只取两个砝码有1，8，2，7，3，6，4，5几种情况种
只取三个砝码有，1，1，7，1，2，6，1，3，5，1，4，4，2，2，5，2，3，4几种情况种
只取四个砝码有，1，1，2，5，1，1，3，4，1，2，2，4，1，2，3，3，种，
只取五个砝码有，1，1，2，2，3，种，总计m＝66种．
对于选项A，（1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）中x9系数为8，故不符合，故选项A错误；
对于选项B，x9的系数是选9个带x的，其他的1个括号选常数项，可得66，故选项B错误；
对于选项C，（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2＝（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x4） （1+x10）（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x4） （1+x10），
x9系数为x9单独组成，其他为常数，则有种，系数为2，
x9有两项组成，系数为x与x8组成，其他为常数，，系数为4，
x9系数为x2与x7组成，其他为常数，，系数为4，
x9系数为x3与x6组成，其他为常数，，系数为4，
x9系数为x4与x5组成，其他为常数，，系数为4，
同理x9由三项组成x，x，x7，x，x2，x6，x，x3，x5，x，x4，x4，x2，x2，x5，x2，x3，x4几种情况，其他项为常数，则系数为，
同理x9由四项组成x，x，x2，x5，x，x，x3，x4，x，x2，x2，x4，x，x2，x3，x3几种情况，其他为常数，则系数，
同理x9由五项组成x，x，x2，x2，x3其他项为常数，则系数为，
综上x9系数为m＝66，故选项C正确；
对于选项D，（1+x）2（1+x+x2）2（1+x+x2+x3）2 （1+x+x2+ +x10）2＝（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10）×（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10），
x9系数直接有x9一项，其他是常数项，可有4种情况，系数为4，
x9由x8与x组成，其他是常数项，可有114＞60，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用、排列组合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（2024秋 歙县校级期中）在的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当时，S等于（　　）
A．23035 B．﹣23035 C．23036 D．﹣23036
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】利用二项式定理得的二项展开式，令x分别取、得到两等式，令两等式相减即可得解．
【解答】解：由题得，
所以当时有①，
当时有②，
所以①﹣②得，
故．
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
8．（2024春 正定县校级期中）的展开式中含x3项的二项式系数为（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用二次项定理展开式的通项公式求解即可．
【解答】解：二项式展开式的通项为（r＝0，1，2，3，4，5），
令5﹣2r＝3，解得r＝1，∴含x3项的二项式系数为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 泗阳县期中）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．x的系数为10
B．第4项的二项式系数为10
C．没有常数项
D．各项系数的和为32
【考点】二项展开式的通项与项的系数；二项式系数与二项式系数的和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数和赋值法的应用求出结果．
【解答】解：根据二项式的展开式：（r＝0，1，2，3，4，5），
对于A：当r＝2时，x的系数为，故A错误；
对于B：当r＝3时，第4项的二项式系数为，故B正确；
对于C：由于r为整数，故5﹣2r＝0，r，故C正确；
对于D：当x＝1时，各项的系数和为，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 岳麓区校级月考）若，则下列正确的是（　　）
A．a0＝2024
B．
C．a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2024＝1
D．a1﹣2a2+3a3﹣ ﹣2024a2024＝﹣2024
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令x＝﹣1计算可判断D错误．
【解答】解：若，
令x＝0，可得a0＝1，A错误；
令x＝1，则，B正确；
令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2024＝1，C正确；
由，
两边同时求导得，
令x＝﹣1，则a1﹣2a2+3a3+ ﹣2024a2024＝﹣4048，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
（多选）11．（2024春 大通县校级期中）在的展开式中，下列命题正确的是（　　）
A．二项式系数之和为64
B．所有项系数之和为﹣1
C．常数项为60
D．第3项的二项式系数最大
【考点】二项式定理．
【专题】方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A：根据二项式系数之和为2n分析判断；对于B：令x＝1，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解．
【解答】解：对于选项A：因为n＝6，可知二项式系数之和为26＝64，故A正确；
对于选项B：令x＝1，可得所有项系数之和为（2﹣1）6＝1，故B错误；
对于选项C：因为展开式的通项为，
令，可得r＝4，所以常数项为，故C正确；
对于选项D：因为n＝6，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二项式定理及其应用，属于中档题．
（多选）12．（2024春 绥棱县校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则|a0|+|a1|+ +|a6|＝729
B．若，则
C．0.988精确到0.01的近似值为0.85
D．22024除以15的余数为1
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值x＝﹣1判断A，逆用二项式定理判断B，由0.988＝（1﹣0.02）8展开判断C，22024＝（24）506＝（15+1）506展开判断D．
【解答】解：在中|a0|+|a1|+ +|a6|＝a0﹣a1+a2﹣a3+ +a6，
所以令x＝﹣1，则，故A正确；
因为，所以n＝9，
所以，故B错误；
，
取展开式前3项，则0.988精确到0.01的近似值为1﹣0.16+0.0112＝0.8512≈0.85，故C正确；
，
其中，所以能被15整除，
所以22024除以15的余数为1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 射阳县校级一模）已知（2﹣x）2023＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2023（x﹣1）2023，则　﹣1　．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】由（2﹣x）2023＝（1+1﹣x）2023，利用二项式的展开式与通项公式可得ai＝﹣a2023﹣i，i＝0，1，2， ，2023，可求．
【解答】解：由题意可得（2﹣x）2023＝（1+1﹣x）2023＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2023（x﹣1）2023，
当x＝1时，a0＝1；由通项公式可得Tr+1 12023﹣r （1﹣x）r （﹣1）r （x﹣1）r，
故由组合数性质可得ai＝﹣a2023﹣i，i＝0，1，2， ，2023，
∴0，0， ，
∴1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二项式的展开式与通项公式，考查运算求解能力，属中档题．
14．（2024秋 昌平区期末）在（x）5的展开式中x的系数为　40　．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；定义法；二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1＝C5r （﹣2）r x5﹣2r，
令5﹣2r＝1，求得 r＝2，
∴二项式的展开式中x的系数为C52 （﹣2）2＝40，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）平面向量为2维向量，可由2元有序实数组（x1，x2）表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组（x1，x2，x3）表示．n维向量可由n（n为正整数）元有序实数组（x1，x2，…，xn）表示．已知n维向量，我们称|x1|+|x2|+…+|xn|为该向量的范数，其中xi∈{﹣1，0，1}（i＝1，2，…，n），记范数为奇数的的个数为An.设NZ＝521，则NZ （797+A7）＝　985211　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】985211．
【分析】由|xi|＝0或1可知x1，x2，…，x7中有偶数个0，计算每种情况下的个数，求和即能得到结果．
【解答】解：当n＝7时，．
∵xi∈{﹣1，0，1}（i＝1，2，…，7），∴|xi|＝0或1．
要使|x1|+|x2|+…+|x7|为奇数，则需x1，x2，…，x7中有偶数个0．
当x1，x2，…，x7中有6个0时，|x1|+|x2|+…+|x7|＝1，的个数为，
当x1，x2，…，x7中有4个0时，|x1|+|x2|+…+|x7|＝3，的个数为，
当x1，x2，…，x7中有2个0时，|x1|+|x2|+…+|x7|＝5，的个数为，
当x1，x2，…，x7均不为0时，|x1|+|x2|+…+|x7|＝7，的个数为27＝128，
∴A7＝128+672+280+14＝1094，
∴NZ （797+A7）＝521×（797+1094）＝985211．
故答案为：985211．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
16．（2024秋 天心区校级期末）已知的展开式中各项系数的和是2，则展开式中x的系数为 　﹣200　（用数字作答）．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】﹣200．
【分析】代入x＝1，解出a＝﹣2，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可．
【解答】解：令x＝1，得的展开式中各项系数的和为（﹣2）×（a+1）5＝2，
解得a＝﹣2，
故该展开式的通项为，
分别令k＝3，k＝1，可得展开式中x的系数为．
故答案为：﹣200．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024春 琼海校级期中）（1）若，求a1+a2+a3+a4的值；
（2）在的展开式中：
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项？
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）①1120x﹣6；②第6项和第7项．
【分析】（1）对x进行赋值，x＝1与x＝0时即可求得．
（2）利用二项式定理写出通项公式，二项式系数最大项即为展式中的中间项，设第k+1项系数最大，则有不等式组可求得k值．
【解答】解：（1）∵，
令x＝1，可得，令x＝0，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第k+1项系数的绝对值最大，
则所以解得5≤k≤6；（k∈N），
故k＝5或6．
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（2024秋 白银校级期末）已知二项式．
（1）写出当n＝5时的展开式；
（2）写出当n＝12时所有的有理项．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2），，．
【分析】（1）根据二项式定理展开即可；
（2）写出通项，依次列出有理项即可．
【解答】解：（1）
；
（2）二项式，因为当n＝12时，二项式的通项为，
所以当r＝0时，；当r＝6时，；当r＝12时，．
所以当n＝12时，所有的有理项为，，．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 浦东新区校级期中）已知二项式（2x﹣1）n展开式中，前二项的二项式系数和是11．
（1）求n的值；
（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
（3）设（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，求a1+a3+a5+a7+a9的值．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）n＝10；（2）1；1023；（3）．
【分析】（1）直接利用组合数的应用求出结果；
（2）利用赋值法求出二项式和与系数的和；
（3）利用赋值法的应用建立方程组，进一步求出结果．
【解答】解：（1）二项式（2x﹣1）n展开式中，前二项的二项式系数和是11，
所以，所以1+n＝11，
解得：n＝10．
（2）二项式系数之和为210＝1024，
令x＝1，可得各项系数之和为（2﹣1）10＝1，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为1024﹣1＝1023，
（3）设f（x）＝（2x﹣1）10，则f（1）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝1，①，
所以，②，
①﹣②得：．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，二项式的系数和，系数的和的求法，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 浦东新区校级期中）已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于512．求：
（1）n的值；
（2）展开式中的常数项；
（3）展开式中系数最大的项．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）n＝9；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据二项式系数和2n＝512，可解方程求得n的值；
（2）由二项式定理可得二项展开式通项，将r＝3代入通项中即可得到常数项；
（3）设第r+1项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得r的值，代入通项即可求得系数最大的项．
【解答】解：（1）∵展开式的二项式系数和为512，
∴2n＝512，
解得：n＝9．
（2）展开式通项为：，
令，解得：r＝3，
则展开式常数项为．
（3）设展开式第r+1项的系数最大，
则，即，
解得：，
又r∈N，
∴r＝3，
∴展开式中系数最大的项为．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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