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高考数学考前冲刺押题预测 复数
一．选择题（共8小题）
1．（2024 如皋市开学）若虚数z满足，不等常实数m，n满足为定值，则下列说法一定错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 普陀区校级期末）z1，z2都是复数，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，则z1＝z2＝0
B．
C．|z1 z2|＝|z1| |z2|
D．|z1|＜1，则﹣1＜z1＜1
3．（2024秋 崂山区校级月考）已知为纯虚数，则|z+zi|＝（　　）
A． B．2 C．1 D．
4．（2024春 宝山区校级期末）已知复数z满足|z﹣1|＝1，|z|的取值范围为（　　）
A．[0，2] B．（0，2） C．[0，4] D．（0，4）
5．（2024 下陆区校级三模）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝1，（k∈R），则k＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 新郑市校级一模）复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝4，则|z|的取值范围是（　　）
A．[，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，]
7．（2024春 莱西市期末）若z是复数，|z+2﹣2i|＝2，则|z+1﹣i|+|z|的最大值是（　　）
A． B．5 C．22 D．34
8．（2024 安庆模拟）复数z满足（4+3i+z）i＝2﹣i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 济阳区校级期中）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．|z1 z2|＝|z1| |z2|
C．若，则z1＝z2＝0
D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
（多选）10．（2024春 渠县校级期中）已知复数z1，z2，下列结论正确的有（　　）
A．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2
B．若，则|z1|＝|z2|
C．|z1 z2|＝|z1| |z2|
D．若|z1|＝1，则|z1+2i|的最大值为3
（多选）11．（2024秋 河南月考）已知复数z满足（|z+2|﹣|z﹣2|）2＝4，则下列说法正确的是（　　）
A．|z|≥1 B．|z﹣2|≥2
C．若z∈R，则|z|＝1 D．若z2∈R，则|z|＝1
（多选）12．（2024春 朝阳区校级期中）若关于x的方程x2+px+q＝0（p，q是实数）有两个不等复数根α和β，其中（i是虚数单位），下面四个选项正确的有（　　）
A．α×β＝1 B． C． D．α3+β3＝2
三．填空题（共4小题）
13．（2024春 浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z＝（1+mi）n，其中m＞0，n为正偶数，z＞0．则当n取到最小值时，m的值为 　 　．
14．（2024春 杨浦区校级期末）已知a＞0，如果有且仅有四个不同的复数z，同时满足|（z﹣1）（z+1）2|＝a和|z|＝1，则a的取值范围是 　 　．
15．（2024秋 湖北期中）复数z满足|z﹣3+4i|＝1，则|z|max＝ 　 　．
16．（2024秋 桦南县校级月考）若，则x+2y＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024春 滨州期中）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2024春 浦城县校级期中）已知复数z1＝1+i，z2＝x+yi，其中x，y为非零实数．
（1）若z1 z2是实数，求的值；
（2）若，复数为纯虚数，求实数m的值；
19．（2024春 邗江区校级期中）已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．
（1）设，求ω2024；
（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；
（3）复数，求（z﹣1）（z2﹣1）…（z2023﹣1）．
20．（2024秋 周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合．
（1）设a是方程的一个根，试用列举法表示集合Ma；
（2）若复数ω∈Mz，求证Mω Mz．
高考数学考前冲刺押题预测 复数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 如皋市开学）若虚数z满足，不等常实数m，n满足为定值，则下列说法一定错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】先设z＝a+bi，a，b∈R，代入，得，再结合复数乘除运算和模长公式求出，对于ACD，一一举例检验即可得解，对于B，将即代入所得模长公式得解．
【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，
则
，
因为，故，
所以
，
对于A，假设成立，不妨令，
则代入，
整理得为定值，
故可成立；
对于B，假设，则，
则代入，
常数，故不成立；
对于C，假设成立，不妨令，n＝1，
则代入，
为定值，故可成立；
对于D，假设成立，不妨令，
则代入，
整理得为定值，故可成立．
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，属于难题．
2．（2024春 普陀区校级期末）z1，z2都是复数，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，则z1＝z2＝0
B．
C．|z1 z2|＝|z1| |z2|
D．|z1|＜1，则﹣1＜z1＜1
【考点】复数的运算；复数的模．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】举反例即可判断选项A，由复数的模的运算与复数的乘法运算可判断选项B，C；由复数的模的几何意义可判断选项D．
【解答】解：对于A，取z1＝i，z2＝1，有1+1＝0，故A错误；
对于B，设z1＝a+bi （a，b∈R），
当a，b均不为0时，（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi为虚数，
而|z1|2＝a2+b2为实数，所以|z1|2不成立，故B错误；
对于C，取z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），有z1 z2＝ac﹣bd+（ad+bc）i，
|z1 z2|，
而|z1| |z2| ，
即|z1 z2|＝|z1| |z2|，故C正确；
对于D，根据复数的模可以比较大小，复数一般不可比较大小，只有复数是实数时才可比较大小，由|z1|＜1，可得z1不一定是实数，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的模，考查转化能力，属于中档题．
3．（2024秋 崂山区校级月考）已知为纯虚数，则|z+zi|＝（　　）
A． B．2 C．1 D．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】利用复数运算法则、纯虚数定义、复数的模求解．
【解答】解：∵z，
∵为纯虚数，
∴，解得a＝﹣1，
∴z＝i，z+zi＝i+i2＝﹣1+i，
∴|z+zi|＝|﹣1+i|．
故选：A．
【点评】本题考查复数运算法则、纯虚数定义、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2024春 宝山区校级期末）已知复数z满足|z﹣1|＝1，|z|的取值范围为（　　）
A．[0，2] B．（0，2） C．[0，4] D．（0，4）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解．
【解答】解：因为|z﹣1|＝1，所以z在复平面对应的轨迹是以A（1，0）为圆心，r＝1为半径的圆，
且|z|表示圆上的点到原点O（0，0）的距离，
则|z|max＝|AO|+r＝1+1＝2，|z|min＝|AO|﹣r＝1﹣1＝0，
所以|z|的取值范围为[0，2]．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题．
5．（2024 下陆区校级三模）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝1，（k∈R），则k＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算；共轭复数．
【答案】C
【分析】由已知结合复数的四则运算及复数相等的条件即可求解．
【解答】解：因为z＝a+bi（a，b∈R），|z|＝1，
所以a2+b2＝1，
因为
bi，
则b，a，
当b，a时，k，
当当b，a时，k．
故选：C．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，属于中档题．
6．（2024 新郑市校级一模）复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝4，则|z|的取值范围是（　　）
A．[，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，]
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件可得，复数z对应的点的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，两条坐标轴为对称轴，长轴长为4的椭圆，再结合椭圆的性质，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝4，
∴复数z对应的点的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，两条坐标轴为对称轴，长轴长为4的椭圆，即2a＝4，解得a＝2，
∴该椭圆的短轴长b，
|z|表示椭圆上的点到原点的距离，
则|z|的最大值为椭圆的长半轴a，最小值为短半轴b，
故|z|的取值范围为[，2]．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于中档题．
7．（2024春 莱西市期末）若z是复数，|z+2﹣2i|＝2，则|z+1﹣i|+|z|的最大值是（　　）
A． B．5 C．22 D．34
【考点】复数的模．
【专题】计算题；运算求解．
【答案】D
【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），由|z+2﹣2i|＝2知，动点P（x，y）的轨迹可看作以C（﹣2，2）为圆心，2为半径的圆，|z+1﹣i|+|z|可看作点P到A（﹣1，1）和O（0，0）的距离之和，可知当|z+1﹣i|+|z|取得最大值时P、A、O共线．
【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），
由|z+2﹣2i|＝2知，动点P（x，y）的轨迹可看作以C（﹣2，2）为圆心，2为半径的圆，
|z+1﹣i|+|z|可看作点P到A（﹣1，1）和O（0，0）的距离之和，
而|CO|＝2，|CA|，
当|z+1﹣i|+|z|取得最大值时P、A、O共线，最大值为|PA|+|PO|＝（|CA|+2）+（|CO|+2）＝34，
故选：D．
【点评】本题考查复数求模及模的几何意义，属中档题．
8．（2024 安庆模拟）复数z满足（4+3i+z）i＝2﹣i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】利用复数的运算性质以及模的求解公式即可求解．
【解答】解：由已知可得z5﹣5i，
所以|z|5．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算性质以及模的求解，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 济阳区校级期中）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．|z1 z2|＝|z1| |z2|
C．若，则z1＝z2＝0
D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
【考点】复数的运算；复数的模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用复数运算性质判断ABD，举反例判断C．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），因为，
，所以，故A正确；
又|z1 z2|＝|（a+bi）（c+di）|＝|ac﹣bd+（ad+bc）i|，
，
所以|z1 z2|＝|z1| |z2|，故B正确；
取z1＝1，z2＝i，可得，故C错误；
若z1z2＝0，由B选项知|z1z2|＝|z1| |z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了共轭复数的定义及求法，复数模的求法，复数的运算，是中档题．
（多选）10．（2024春 渠县校级期中）已知复数z1，z2，下列结论正确的有（　　）
A．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2
B．若，则|z1|＝|z2|
C．|z1 z2|＝|z1| |z2|
D．若|z1|＝1，则|z1+2i|的最大值为3
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD．
【解答】解：若复数z1＝2+i，z2＝1+i，满足z1﹣z2＞0，但这两个虚数不能比大小，A错误；
若，则，即（z1+z2）（z1﹣z2）＝0，
得z1＝z2或z1＝﹣z2，所以|z1|＝|z2|，B正确；
设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R），
则z1 z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+a2b1）i，
，
，
所以|z1 z2|＝|z1| |z2|，C正确；
若|z1|＝1，则z1对应的点为单位圆上点，
则|z1+2i|的最大值为圆心（0，0）到点（0，﹣2）的距离加上半径，即为3，
则|z1+2i|的最大值为3，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 河南月考）已知复数z满足（|z+2|﹣|z﹣2|）2＝4，则下列说法正确的是（　　）
A．|z|≥1 B．|z﹣2|≥2
C．若z∈R，则|z|＝1 D．若z2∈R，则|z|＝1
【考点】复数与复平面中的轨迹问题；复数的模．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据题意，设复数Z对应的点为P，且P（x，y），F1（2，0），F2（﹣2，0），由复数的几何意义分析可得|PF2|﹣|PF1|＝±2，由双曲线的定义可得点P的轨迹为以F1（2，0），F2（﹣2，0）为焦点的双曲线，求出该双曲线的标准方程，结合双曲线的几何性质和复数的几何意义，依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，设复数Z对应的点为P，且P（x，y），F1（2，0），F2（﹣2，0），
（|z+2|﹣|z﹣2|）2＝4，则|z+2|﹣|z﹣2|＝±2，故|PF2|﹣|PF1|＝±2，
则点P的轨迹为以F1（2，0），F2（﹣2，0）为焦点的双曲线，
其中c＝2，a＝1，则该双曲线的标准方程为1，
依次分析选项：
对于A，该双曲线的标准方程为1，有a＝1，则有|PO|≥a＝1，即|z|≥1，A正确；
对于B，有双曲线的几何性质，|PF1|≥c﹣a＝1，即|z﹣2|≥2，B错误；
对于C，若z∈R，此时P是双曲线与x轴的交点，此时P的坐标为（1，0）和（﹣1，0），有|z|＝1，C正确；
对于D，复数Z对应的点为P，且P（x，y），则z＝x+yi，
则有z2＝（x+yi）2＝x2﹣y2+2xyi，
若z2∈R，即x2﹣y2+2xyi∈R，必有xy＝0，即x＝0或y＝0，
此时P为双曲线1与坐标轴的交点，
故P的坐标为（1，0）和（﹣1，0），有|z|＝1，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查复数的几何意义，涉及双曲线的定义和性质，属于中档题．
（多选）12．（2024春 朝阳区校级期中）若关于x的方程x2+px+q＝0（p，q是实数）有两个不等复数根α和β，其中（i是虚数单位），下面四个选项正确的有（　　）
A．α×β＝1 B． C． D．α3+β3＝2
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】首先设β＝x+yi，利用韦达定理，即可求得β，再根据复数的运算，分别判断选项即可．
【解答】解：由题意得α+β＝﹣p，αβ＝q，
令β＝x+yi，则由 为实数p，
则 ，，
又 为实数q，
则 ，
故
对于A，，故A正确；
对于B，1，故B正确；
对于C，|i|1，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查复数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024春 浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z＝（1+mi）n，其中m＞0，n为正偶数，z＞0．则当n取到最小值时，m的值为 　　．
【考点】复数对应复平面中的点．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】利用二项式定理将z展开，然后根据z＞0得到z为实数，即可得到，最后计算n＝2，4，6的情况即可．
【解答】解：，
因为z＞0，则，
当n＝2时，，m＝0不成立；
当n＝4时，，解得m＝1或0或﹣1，
又m＞0，则m＝1，此时z＝﹣4，不成立；
当n＝6时，，解得或或0，
又m＞0，则或，
当时，z＝64＞0，成立，当时，，不成立；
所以当n最小时，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．
14．（2024春 杨浦区校级期末）已知a＞0，如果有且仅有四个不同的复数z，同时满足|（z﹣1）（z+1）2|＝a和|z|＝1，则a的取值范围是 　（0，）　．
【考点】复数的混合运算．
【专题】数形结合；转化思想；定义法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可．
【解答】解：由|（z﹣1）（z+1）2|＝a，可得|z﹣1||z+1|2＝a，
又由|z|＝1可得，复数z在复平面上对应的点在单位圆上，
设单位圆上动点P，A（﹣1，0），B（1，0），
则|z﹣1|表示PB长度，|z+1|表示PA长度，即a＝PB PA2，
又因为PB2+PA2＝4，所以a＝PB （4﹣PB2），
令PB＝x，可设f（x）＝x （4﹣x2）＝﹣x3+4x，x∈（0，2），
则f'（x）＝﹣3x2+4，令f'（x）＝0，可得，
当 时，f'（x）＝﹣3x2+4＞0，所以f（x）＝﹣x3+4x在上单调递增；
当时，f'（x）＝﹣3x2+4＜0，所以f（x）＝﹣x3+4x在 上单调递减；
由，f（2）＝﹣23+4×2＝0，f（0）＝0，
所以，当时，x在（0，2）上有两解，
即在x轴上方一定存在两个复数z对应的点满足条件，
根据圆关于x轴对称知，在x轴下方也一定存在两个复数z对应的点满足条件，
综上，此时有四个不同的复数z满足题意．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了数学运算核心素养，是难题．
15．（2024秋 湖北期中）复数z满足|z﹣3+4i|＝1，则|z|max＝ 　6　．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】6．
【分析】结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：|z﹣3+4i|＝1，表示以（3，﹣4）为圆心，1为半径的圆，
|z|表示圆上的点到原点的距离，
故|z|max＝ ．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
16．（2024秋 桦南县校级月考）若，则x+2y＝ 　2100　．
【考点】复数的混合运算．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用复数的运算法则求解．
【解答】解：∵，
∴
299i32 i＝299i，
已知，∴x＝0，y＝299，
则x+2y＝2×299＝2100．
故答案为：2100．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024春 滨州期中）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明：
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】复数的除法运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）设复数z1＝a+bi，z2＝c+di，由共轭复数的定义求解即可证明；
（2）因为|z|＝||，故|z1+A||z2+A|＝|z1+A|||，展开与已知式子比较可得解题思路．
（3）利用复数的除法运算的算法和（2）中的结论可证．
【解答】证明：（1）设复数z1＝a+bi，z2＝c+di，
a﹣bi，c﹣di，z1+z2＝（a+c）+（b+d）i，
（a+c）﹣（b+d）i，（a+c）﹣（b+d）i，
即；
（2）∵||＝|A|＝||A|2|＝|A|2，
所以|z1+A||z2+A|＝|A|2；
（3）∵A≠0，由此得z1+A≠0，z2+A≠0，
||．
【点评】本题考查复数的运算、复数的模等知识，是中档题．
18．（2024春 浦城县校级期中）已知复数z1＝1+i，z2＝x+yi，其中x，y为非零实数．
（1）若z1 z2是实数，求的值；
（2）若，复数为纯虚数，求实数m的值；
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）﹣1；
（2）m＝2．
【分析】（1）运用复数乘法及若z＝a+bi为实数则b＝0，计算可得结果．
（2）运用共轭复数及复数除法及若z＝a+bi为纯虚数则，计算可得结果．
【解答】解：（1）∵z1 z2＝（1+i）（x+yi）＝x﹣y+（x+y）i为实数，
∴x+y＝0，
又∵x，y为非零实数，
∴．
（2）∵，
∴，
∴为纯虚数，
∴，
∴m的值为2．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
19．（2024春 邗江区校级期中）已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．
（1）设，求ω2024；
（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；
（3）复数，求（z﹣1）（z2﹣1）…（z2023﹣1）．
【考点】复数的三角表示；虚数单位i、复数；复数的运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）i；
（2）{﹣1，1，i，i，i，i}；
（3）﹣2024．
【分析】（1）利用欧拉公式及ω3＝1可求得ω2024；
（2）设x＝cosθ+isinθ，依题意，可求得cos6θ＝1 6θ＝2kπ，k∈Z，对k赋值可求得复数x的值所组成的集合；
（3）依题意，可得（2n）2024＝1 x2024﹣1＝0的根为1，z，z2 …，z2023，分析可得（x﹣z）（x﹣z2） （x﹣z2023）＝1+x+ +x2023，再令x＝1可求得答案．
【解答】解：（1）由ωi＝cosisin，
则ω3ei2π＝cos2π+isin2π＝1，
则；
（2）设x＝cosθ+isinθ，则x6＝（cosθ+isinθ）6＝（eiθ）6＝ei6θ＝cos6θ+isin6θ＝1，
故cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，
则当k＝0，1，2，3，4，5时，分别对应的，，
故相应的，，
故由所有的复数x所组成的集合为{﹣1，1，i，i，i，i}；
（3）若z＝cosx+isinx，则zn＝（cosx+isinx）n＝（eix）n＝einx＝cosnx+isinnx，
因为，
则，
易知，关于x的方程x2024﹣1＝0的根为1，z，z2 …，z2023，
故x2024﹣1＝（x﹣1）（x﹣z）（x﹣z2） （x﹣z2023），
又x2024﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+x2023），
故（x﹣z）（x﹣z2） （x﹣z2023）＝1+x+ +x2023，
令x＝1，可得（1﹣z）（1﹣z2） （1﹣z2023）＝1+1+ +12023＝2024，且2023为奇数，
所以（z﹣1）（z2﹣1） （z2022﹣1）＝﹣2024．
【点评】本题考查复数的三角形式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于难题．
20．（2024秋 周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合．
（1）设a是方程的一个根，试用列举法表示集合Ma；
（2）若复数ω∈Mz，求证Mω Mz．
【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及i的运算性质可得{}＝{}；同理求得{}．则Ma可求；
（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，则对任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），结合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω MZ．
【解答】（1）解：由，得，
∴，，
当时，∵，，
∴{}＝{}；
当时，∵，
∴{}．
∴Ma＝{}；
（2）证明：∵ω∈MZ，
∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．
于是对任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），
由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，ω2n﹣1∈Mz，
∴Mω MZ．
【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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