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高考数学考前冲刺押题预测 函数应用
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 绵阳期末）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C．（1，+∞） D．[1，+∞）
2．（2024秋 湖北期末）已知函数f（a＞0且a≠1）， x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[3，+∞） C．（2，3） D．（2，3]
3．（2024秋 闵行区期末）已知m、n都是实数，，若函数y＝f（x）的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程f（x）+t＝0有且只有一个实数解，则满足题意的实数对（m，n）的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无数
4．（2024秋 重庆期末）已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 新余校级模拟）下列对于函数f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）的说法正确的是：（　　）
A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
6．（2024秋 四川校级期末）存在函数f（x）满足对于任意x∈R都有（　　）
A．f（|x﹣1|）＝|x|+1
B．f（cos2x）＝x2+x4
C．f（cos2x）＝sin2x+sinx
D．f（|x+1|）＝x2+2x+2
7．（2024秋 泰州期末）已知m是函数f（x）＝ln（x﹣4）+2x﹣9的零点，n是函数g（x）＝ln（﹣x）﹣2x﹣1的零点，则m+n的值所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 浦东新区校级期末）已知函数，则下列命题中正确个数有（　　）
①y（x）的定义域为（0，+∞）；
②f（x）的值域为R；
③；
④f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 陕西期末）对任意两个实数a，b，定义max{a，b}，若f（x）＝1﹣x2，g（x）＝log2|x|，函数F（x）＝max{f（x），g（x）}﹣k，则下列说法正确的有（　　）
A．函数F（x）是偶函数
B．函数F（x）可能有5个零点
C．若函数F（x）只有3个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x3＝﹣4
D．若k＝0，则函数F（F（x））有3个零点
（多选）10．（2024秋 邯郸期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x+3，且f（0）＝﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的解析式是f（x）＝x2+2x﹣1
B． x1，x2∈R，总有
C．方程f（f（x））+1＝0有3个不等的实根
D．若g（x）＝（x﹣2）f（x）+2x﹣1，则函数g（x）在（﹣1，2）内不存在零点
（多选）11．（2024秋 新乡期末）纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数g（x）＝Asinωx．我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的函数是f（x）＝4sinx+sin3x，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的最大值为5
C．f（x）的图象关于直线对称
D．方程f（x）＝3在[﹣2π，2π]内的所有实根之和为﹣3π
（多选）12．（2024秋 包河区校级期末）已知函数f（x）＝|cos2x﹣sinx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）关于直线对称
C．f（x）的值域为[0，2]
D．f（x）＝1在区间[0，2π]上恰有7个不同的实数根
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 石景山区期末）已知函数，若a＝1，则f（f（0））＝ 　 　；若对任意的正数k，方程f（x）＝k都恰有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是 　 　．
14．（2024秋 大兴区期末）已知函数若a＝﹣1，则函数f（x）的减区间为 　 　；若存在b，使函数f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，则a的取值范围是 　 　．
15．（2024秋 天津期末）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为　 　．
16．（2024秋 乐山期末）根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中N为饱和度，y0为初始值，此后第x年底新能源汽车的保有量为y（单位：万辆），p为年增长率．若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为10%，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约为　 　万辆．（结果四舍五入保留到整数；参考数据：ln0.61≈﹣0.5，ln0.55≈﹣0.6，ln0.49≈﹣0.7）
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 贵阳期末）双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质．给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数sinh（x），双曲余弦函数：cosh（x）．
根据定义，解决下列问题：
（1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质；
①[cosh（x）]2﹣[sinh（x）]2＝1
②sinh（2x）＝2 sinh（x） cosh（x）
③cosh（2x）＝[cosh（x）]2+[sinh（x）]2
请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____（填入其中一个序号，多选只按第一个计分）．
（2）已知函数f（x）＝cosh（2x）﹣m sinh（x）+m2﹣3在区间[ln（1），ln（1）]上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
18．（2024秋 五华区校级期末）在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）和对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）互为反函数，它们的函数图象关于直线y＝x对称．一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，把x用y表示出，得到x＝φ（y）．若对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ（y），x在A中都有唯一的值与之对应，那么，x＝φ（y）就表示y是自变量，x是因变量的函数，这样的函数x＝φ（y）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作x＝f﹣1（y）．习惯上，我们用x表示自变量，y表示因变量，所以函数y＝f（x）的反函数通常写为y＝f﹣1（x）．
反函数的主要性质有：
①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域．
（1）试判断F（x）＝x2，G（x）＝x3是否有反函数（直接写出答案）；
（2）试求出函数的反函数f﹣1（x），并指明函数f﹣1（x）的定义域和值域，然后判断函数f﹣1（x）的单调性；
（3）若关于x的方程（12﹣x）（x+4）＝t（t为常数）恰有两个根x1，x2，且x1，x2分别满足和3a，试求2（x1+x2）+a的值．
（注：若A（m1，n1），B（m2，n2）关于直线y＝x对称，则直线y＝﹣x关于直线y＝x对称）
19．（2024秋 渭南期末）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：kW h）与速度v（单位：km/h）的数据，如表所示：
v 60 70 80 90 100
P 8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现有以下两种函数模型供选择：①P1（v）＝av2+bv+c（a，b，c∈R）；②P2（v）＝kv+m（k，m∈R）．
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式．
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为65kW h，汽车到达B地后至少要保留5kW h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上有一功率为16kW的充电桩（充电量＝充电功率×充电时间）．
（i）求出行驶过程中，耗电量f（v）的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）．
（ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值．
20．（2024秋 五华区校级期末）昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为n（单位：m2），此后每月月底测量一次．通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快．记2024年元旦最初测量时间x的值为0，部分测量数据统计如表：
第x月月底 2 3
水葫芦生长面积y（m2） 24 64
（1）水葫芦生长的面积y（单位：m2）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①y＝nax（n＞0，a＞1）；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
（2）根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）．
高考数学考前冲刺押题预测 函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 绵阳期末）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】令t＝|2x﹣1|＞0，由题意可得t2﹣（m+1）t+2m﹣1＝0有两个不同根，t1，t2，且0＜t1＜1＜t2，再根据二次函数的根的分布求解即可．
【解答】解：令t＝|2x﹣1|＞0，
则有g（t）＝tm﹣1有两个不同零点，
即t2﹣（m+1）t+2m﹣1＝0有两个不同根，t1，t2，
不妨设t1＜t2，
则有0＜t1＜1＜t2，
令h（t）＝t2﹣（m+1）t+2m﹣1，t＞0，
则y＝h（t）的两根分布在（0，1）和（1，+∞）内，
所以，
解得m＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点、一元二次函数根的分布，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
2．（2024秋 湖北期末）已知函数f（a＞0且a≠1）， x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[3，+∞） C．（2，3） D．（2，3]
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】令函数，由题意可得F（x）为（0，+∞）上的单调递增函数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：因为 x1，x2∈（0，+∞）且x1，
不妨设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，
则，
所以 ，
令函数，
则F（x）为（0，+∞）上的单调递增函数，
则，
解得2＜a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数、一次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
3．（2024秋 闵行区期末）已知m、n都是实数，，若函数y＝f（x）的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程f（x）+t＝0有且只有一个实数解，则满足题意的实数对（m，n）的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】分类讨论；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】在同一坐标系内画出和的图象，数形结合得到，m＝﹣3且n＝2时满足题目中的两个条件，其他情况不合要求，得到答案．
【解答】解：因为定义域为（﹣3，+∞），其在定义域内单调递减，
定义域为R，且g（﹣x）＝g（x），
故为偶函数，
当x∈（0，+∞）时，y＝x2+1单调递增，
由复合函数单调性得单调递减，
在同一坐标系内，画出和的图象，如下：
又因为关于x的方程f（x）+t＝0有且只有一个实数解，
所以的值域为R，
显然m＝﹣3，若n∈（﹣3，﹣2），此时不满足值域为R，
若n∈[﹣2，2），此时y＝f（x）图象如下：
满足值域为R，但不满足关于x的方程f（x）＝﹣t有且只有一个实数解，不合要求；
若n＝2，此时y＝f（x）图象如下：
满足值域为R，也满足关于x的方程f（x）＝﹣t 有且只有一个实数解，满足要求；
若n＞2，此时y＝f（x）的值域不为R，舍去；
综上，n＝2满足要求，
即满足要求的（m，n）只有1个，即（﹣3，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数的性质、复合函数的单调性及奇偶性，考查了数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
4．（2024秋 重庆期末）已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；转化思想；分析法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】构造g（x）＝（x+1）ex，画出图像求解本题．
【解答】解：由题知方程f（x）＝0有两个实数根，即（x+1）ex＝2m﹣1，
所以y＝（x+1）ex，（x≠﹣1），y＝2m﹣1图像有两个交点，
设g（x）＝（x+1）ex，则g'（x）＝（x+2）ex，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，
当x∈（﹣∞，﹣2），g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞），g（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x＝﹣2，g（x）有极小值．
当x→﹣∞0时，g（x）→0且g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）→+∞，
所以可以作出g（x）函数图象，
故，解得．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于较难题．
5．（2025 新余校级模拟）下列对于函数f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）的说法正确的是：（　　）
A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
【考点】函数与方程的综合运用；三角函数应用．
【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】令f（x）＝0，利用方程法求出函数的零点，若f（x）存在对称中心或对称轴，则其横坐标为x＝﹣a，进而，k∈Z，分别验证f（x）+f（﹣2a﹣x）＝0、f（x）≠f（﹣2a﹣x），即可得答案．
【解答】解：令f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）＝0，
得x+a＝0或cos2x﹣sinx＝0，即2sin2x+sinx﹣1＝0，
当x+a＝0时，解得x＝﹣a；
当2sin2x+sinx﹣1＝0时，即（2sinx﹣1）（sinx+1）＝0，
解得或sinx＝﹣1，
从而得或或，
即或或，
即．
所以f（x）有定零点和动零点x＝﹣a，
所以若f（x）存在对称中心或对称轴，则其横坐标只能为x＝﹣a，
而定零点也应具有对称性，所以，k∈Z，
此时，k∈Z，
，k∈Z，
①当k＝3m（m∈Z）时，f（x）+f（﹣2a﹣x）＝0，
此时f（x）存在对称中心（﹣a，0）；
②当k＝3m+1（m∈Z）或k＝3m+2（m∈Z）时，
或，
此时f（x）≠f（﹣2a﹣x），所以f（x）不存在对称轴．
综上，f（x）存在对称中心（﹣a，0），不存在对称轴．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的对称性及分类讨论思想，属于中档题．
6．（2024秋 四川校级期末）存在函数f（x）满足对于任意x∈R都有（　　）
A．f（|x﹣1|）＝|x|+1
B．f（cos2x）＝x2+x4
C．f（cos2x）＝sin2x+sinx
D．f（|x+1|）＝x2+2x+2
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：对于选项A：f（1）＝f（|0﹣1|）＝|0|+1＝1，f（1）＝f（|2﹣1|）＝|2|+1＝3，一个x对应两个y，
所以选项A错误；
对于选项B：，
，一个x对应两个y，所以选项B错误；
对于选项C：，
，一个x对应两个y，所以选项C错误；
对于选项D：f（|x+1|）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，所以函数f（x）＝x2+2x+2＝x2+1，所以选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，关键是对题意的理解，是中档题．
7．（2024秋 泰州期末）已知m是函数f（x）＝ln（x﹣4）+2x﹣9的零点，n是函数g（x）＝ln（﹣x）﹣2x﹣1的零点，则m+n的值所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求解函数零点所在区间．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】C
【分析】根据函数对称性解答即可．
【解答】解：f（4﹣x）＝ln（﹣x）+（﹣2x﹣1）＝g（x），故f（x）与g（x）关于直线x＝2对称，故2，即m+n＝4．
故选：C．
【点评】本题考查函数的对称性与零点，属于中档题．
8．（2024秋 浦东新区校级期末）已知函数，则下列命题中正确个数有（　　）
①y（x）的定义域为（0，+∞）；
②f（x）的值域为R；
③；
④f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】函数的零点与方程根的关系；简单函数的定义域．
【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域，判断①；
作出函数的图象，结合图象判断②；
通过计算得f（）＝﹣f（x），从而判断③；
结合图象及③，即可判断④．
【解答】解：对于①，由题意可得，
解得x＞0且x≠1，
所以函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故错误；
对于②，因为lnx1，
作出函数的图象，如图所示：、
易知函数的值域为R，故正确；
对于③，因为f（）＝lnlnxlnxf（x），
所以，故正确；
对于④，易得f（x）在区间（0，1）和（1，+∞） 上单调增，
因为，
，
所以，使得，
又，
则，
由③可知，
所以也是f（x）的零点，
则x1＝x0，，故x1x2＝1，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数、反比例型函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 陕西期末）对任意两个实数a，b，定义max{a，b}，若f（x）＝1﹣x2，g（x）＝log2|x|，函数F（x）＝max{f（x），g（x）}﹣k，则下列说法正确的有（　　）
A．函数F（x）是偶函数
B．函数F（x）可能有5个零点
C．若函数F（x）只有3个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x3＝﹣4
D．若k＝0，则函数F（F（x））有3个零点
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】ACD
【分析】令h（x）＝max{f（x），g（x）}，求出h（x）的解析式，可得F（x）解析式，根据f（x）与g（x）的奇偶性判断A；
将问题转化为直线y＝k与y＝h（x）的图象交点个数，从而判断B；
结合图象，可求得x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2，从而判断C；
结合图象，利用换元法判断D．
【解答】解：因为f（x）＝1﹣x2，g（x）＝log2|x|，均为偶函数，
当x＞0时，令1﹣x2≥log2x，易得0＜x≤1，
令h（x）＝max{f（x），g（x）}，
作出函数y＝h（x）的图象，如图所示：
将y＝h（x）的图象向下（k＜0）或向上（k≥0）平移|k|个单位，即可得y＝F（x）的图象，
对于A，因为h（x）的偶函数，所以F（x）为偶函数，故A正确；
对于B，令F（x）＝h（x）﹣k＝0，
则有h（x）＝k，
由图象可知直线y＝k与y＝h（x）的图象至多4个交点，
所以函数F（x）至多4个零点，故B错误；
对于C，当F（x）有3个零点，
即直线y＝k与y＝h（x）的图象有3个交点，
所以k＝1，
令log2|x|＝1，
解得x＝﹣2或x＝2，
令1﹣x2＝1，解得x＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2，
所以x1x3＝﹣4，故C正确；
对于D，当k＝0时，
F（x）＝h（x），
令F（x）＝t，
则有F（t）＝0，
所以t＝1或t＝﹣1，
因为F（x）＝1有3个解：x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2，
F（﹣x）＝﹣1无解；
所以函数F（F（x））有3个零点，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 邯郸期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝f（x）+2x+3，且f（0）＝﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的解析式是f（x）＝x2+2x﹣1
B． x1，x2∈R，总有
C．方程f（f（x））+1＝0有3个不等的实根
D．若g（x）＝（x﹣2）f（x）+2x﹣1，则函数g（x）在（﹣1，2）内不存在零点
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】用待定系数法，求出f（x）的解析式，从而判断A；
用作差法判断B；
用换元法，求出函数的根，从而判断C；
化简得g（x）＝x3﹣3x+1，转化为y＝x3与y＝3x﹣1的图象在（﹣1，2）上是否存在交点，作出图象，结合图象求解即可．
【解答】解：对于A，设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（x+1）＝f（x）+2x+3，
可得f（x+1）﹣f（x）＝2x+3，
a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x+3，
所以，解得，
所以f（x）＝x2+2x+c，
又因为f（0）＝﹣1，
所以c＝﹣1，
所以f（x）＝x2+2x﹣1，故A正确；
对于B，因为x1+x2﹣1，
1x1+x2﹣1，
所以0，
所以，故B错误；
对于C，令f（x）＝t，
由f（t）+1＝0，得t2+2t＝0，
解得t1＝0，t2＝﹣2，
由f（x）＝0，可得x2+2x﹣1＝0，
此时Δ＝8＞0，有两个不等根；
由f（x）＝﹣2，可得x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，
所以方程f（f（x））+1＝0有3个不等的实根，故C正确；
对于D，g（x）＝（x﹣2）f（x）+2x﹣1＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）+2x﹣1＝x3﹣3x+1，
函数在（﹣1，2）上连续，
令g（x）＝0，则有x3＝3x﹣1，
作出函数y＝x3与y＝3x﹣1的图象，如图所示：
由此可得两函数在（﹣1，2）内有2个交点，
所以函数g（x）在（﹣1，2）内有2个零点，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了二次函数的性质、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 新乡期末）纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数g（x）＝Asinωx．我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的函数是f（x）＝4sinx+sin3x，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的最大值为5
C．f（x）的图象关于直线对称
D．方程f（x）＝3在[﹣2π，2π]内的所有实根之和为﹣3π
【考点】函数的零点与方程根的关系；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由正弦函数的周期判断A；
由，解出x的值，判断B；
通过判断f（π﹣x）＝f（x）是否成立，从而判断C；
化简得f（x）＝7sinx﹣4sin3x，利用换元法，求出方程f（x）＝3在[﹣2π，2π]内的所有实根，从而判断D．
【解答】解：因为 y＝4sinx的最小正周期为2π，y＝sin3x的最小正周期为，
所以f（x）的最小正周期为2π，故A正确；
若f（x）的最大值为5，则，解得x∈ ，故B错误；
因为f（π﹣x）＝4sin（π﹣x）+sin3（π﹣x）＝4sinx+sin3x＝f（x），
所以f（x）的图象关于直线对称，故C正确；
f（x）＝4sinx+sinxcos2x+cosxsin2x
＝4sinx+sinx（1﹣2sin2x）+2sinx（1﹣sin2x）
＝7sinx﹣4sin3x．
设t＝sinx，
则7t﹣4t3＝3，即4t3﹣7t+3＝ 0，
所以（2t﹣1）（2t+3）（t﹣1）＝0，
解得或或t＝1．
当，即时，
因为x∈[﹣2π，2π]，
所以或或或；
当，即sinx＝ 时，x∈ ；
当t＝1，即sinx＝1 时，
因为x∈[﹣2π，2π]，
所以x或，
所以方程f（x）＝3在[﹣2π，2π]内的所有实根之和为：
3π，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及转化思想，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 包河区校级期末）已知函数f（x）＝|cos2x﹣sinx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）关于直线对称
C．f（x）的值域为[0，2]
D．f（x）＝1在区间[0，2π]上恰有7个不同的实数根
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用；三角函数的周期性；二倍角的三角函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据周期的定义判断A；
根据函数对称性的定义判断B；
将函数写成分段函数，求出函数的值域，从而判断C；
求出函数在[0，2π]上零点个数，从而判断D．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）＝|cos2（π+x）﹣sin（π+x）|＝|cos2x+sinx|≠f（x），故A错误；
对于B，因为 ，
，故B正确；
对于C，因为f（x）＝|cos2x﹣sinx|＝|1﹣2sin2x﹣sinx|，
当时，
，
当时，
，
所以f（x）的值域为[0，2]，故C正确；
对于D，当 时，
令f（x）＝﹣2sin2x﹣sinx+1＝1，解得sinx＝0或，
当sinx＝0，解得x1＝0，x2＝π，x3＝2π，
当，解得；
当时，
令f（x）＝2sin2x+sinx﹣1＝1，
解得1（舍）或 ，
此时在[0，2π]上有两个解x6，x7，
综上，f（x）＝1在区间[0，2π]上恰有7个不同的实数根，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了函数的零点，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 石景山区期末）已知函数，若a＝1，则f（f（0））＝ 　3　；若对任意的正数k，方程f（x）＝k都恰有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是 　{1}　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；数形结合；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】3；{﹣1}．
【分析】得出f（x）解析式分类讨论求解本题．
【解答】解：因为a＝1，所以，
所以f（0）＝2，所以f（f（0））＝f（2）＝3，
若a＝0，则，
如图，
当0＜k＜2时，f（x）＝k有且只有一个根，故舍去，
若a＞0，，
x≤a时，，对称轴为直线，
x＞a时，f（x）＝x+a，
如图，
要使对任意的正数k，方程f（x）＝k恰有两个不等的实数根，即y＝f（x）与直线y＝k恰有两个交点，
则，所以无解，
若a＜0，x＞a时，，
如图，
f（a）＝|a+a|，要满足题意则a2﹣a a+2＝|2a|，因为a＜0，所以a＝﹣1，
综上：a＝﹣1．
故答案为：3；{﹣1}．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
14．（2024秋 大兴区期末）已知函数若a＝﹣1，则函数f（x）的减区间为 　（﹣1，0）　；若存在b，使函数f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，则a的取值范围是 　（﹣∞，0）∪（1，+∞）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣1，0）；（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
【分析】结合函数的单调性、奇偶性、图象来求得正确答案．
【解答】解：当a＝﹣1时，，画出f（x）的图象如下图所示，
由图可知，f（x）的减区间为（﹣1，0），y＝x2是偶函数，图象关于y轴对称，
且在（﹣∞，0）单调递减，（0，+∞）单调递增，y＝x3是奇函数，图象关于原点对称，且在R上单调递增，
，解得或，
要使函数f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，则需a＜0，f（x）图象如下图所示，
若a＞1，f（x）图象如下图所示，
综上所述，a的取值范围是 （﹣∞，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣1，0）；（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
15．（2024秋 天津期末）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为　或﹣1　．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，结合分段函数的性质进行转化求解即可．
【解答】解：函数0，
得|x+a|a＝3，
设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，
则函数g（x），
不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，
得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，
解得x＝﹣1，或x＝4；
若 ①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时 x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，
由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．
若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，
所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．
得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，
又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，
解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．
③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，a，或﹣1．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点个数，转化为分段函数，利用分段函数零点个数进行讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．
16．（2024秋 乐山期末）根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中N为饱和度，y0为初始值，此后第x年底新能源汽车的保有量为y（单位：万辆），p为年增长率．若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为10%，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约为　36　万辆．（结果四舍五入保留到整数；参考数据：ln0.61≈﹣0.5，ln0.55≈﹣0.6，ln0.49≈﹣0.7）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】36．
【分析】先阅读题意，然后结合对数及指数的运算求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
又ln0.55≈﹣0.6，
则e﹣0.6≈0.55，
则．
故2030年底该地区新能源汽车的保有量约为36万辆．
故答案为：36．
【点评】本题考查了对数及指数的运算，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 贵阳期末）双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质．给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数sinh（x），双曲余弦函数：cosh（x）．
根据定义，解决下列问题：
（1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质；
①[cosh（x）]2﹣[sinh（x）]2＝1
②sinh（2x）＝2 sinh（x） cosh（x）
③cosh（2x）＝[cosh（x）]2+[sinh（x）]2
请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____（填入其中一个序号，多选只按第一个计分）．
（2）已知函数f（x）＝cosh（2x）﹣m sinh（x）+m2﹣3在区间[ln（1），ln（1）]上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；新定义；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）m的取值范围为或或m＝0}．
【分析】（1）根据双曲函数定义代入计算证明；
（2）使用换元法构造函数求解．
【解答】解（1）证明：①；
②；
③．
（2）由（1）知，令t＝sinh（x），，]，
则t∈[﹣1，1]，进而f（x）＝cosh（2x）﹣msinh（x）+m2﹣3，可转化成g（t）＝2t2﹣mt+m2﹣2，
故原问题等价于g（t）在[﹣1，1]上有两个不同的零点，
于是，进而，解得
即或或m＝0，
所以实数m的取值范围为或或m＝0}．
【点评】本题考查函数零点问题，函数新定义，属于较难题．
18．（2024秋 五华区校级期末）在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）和对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）互为反函数，它们的函数图象关于直线y＝x对称．一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，把x用y表示出，得到x＝φ（y）．若对于y在C中的任何一个值，通过x＝φ（y），x在A中都有唯一的值与之对应，那么，x＝φ（y）就表示y是自变量，x是因变量的函数，这样的函数x＝φ（y）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作x＝f﹣1（y）．习惯上，我们用x表示自变量，y表示因变量，所以函数y＝f（x）的反函数通常写为y＝f﹣1（x）．
反函数的主要性质有：
①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域．
（1）试判断F（x）＝x2，G（x）＝x3是否有反函数（直接写出答案）；
（2）试求出函数的反函数f﹣1（x），并指明函数f﹣1（x）的定义域和值域，然后判断函数f﹣1（x）的单调性；
（3）若关于x的方程（12﹣x）（x+4）＝t（t为常数）恰有两个根x1，x2，且x1，x2分别满足和3a，试求2（x1+x2）+a的值．
（注：若A（m1，n1），B（m2，n2）关于直线y＝x对称，则直线y＝﹣x关于直线y＝x对称）
【考点】函数与方程的综合运用；反函数．
【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）函数F（x）＝x2没有反函数，函数G（x）＝x3有反函数；
（2），其定义域为x≠﹣2，值域为y≠﹣1．函数f﹣1（x）在其定义域上单调递减；
（3）2（x1+x2）+a＝19．
【分析】根据反函数的定义求解即可．
【解答】解：（1）函数F（x）＝x2没有反函数，因为对于同一个y值，存在两个不同的x值．函数G（x）＝x3有反函数，因为对于每个y值，都存在唯一的x值．
（2）根据反函数定义可得函数的反函数为，其定义域为x≠﹣2，值域为y≠﹣1．函数f﹣1（x）在其定义域上单调递减．
（3）因为（12﹣x）（x+4）＝t，展开有﹣x2+8x+48﹣t＝0，故x1+x2＝8，x1x2＝t﹣48，
由，可得log3（x1+1）＝（3a+1）﹣（x1+1），
由，可得，
所以t1＝x1+1和t1＝x2+1分别是y＝log3t与y＝3t和y＝3a+1﹣t两交点的横坐标，
因为y＝3a+1﹣t关于y＝x对称，
所以t1和t2中点为，
故，
所以x1+x2＝3a﹣1＝8，所以a＝3，
所以2（x1+x2）+a＝19．
【点评】本题考查函数新定义与函数的性质，属于中档题．
19．（2024秋 渭南期末）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：kW h）与速度v（单位：km/h）的数据，如表所示：
v 60 70 80 90 100
P 8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现有以下两种函数模型供选择：①P1（v）＝av2+bv+c（a，b，c∈R）；②P2（v）＝kv+m（k，m∈R）．
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式．
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为65kW h，汽车到达B地后至少要保留5kW h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上有一功率为16kW的充电桩（充电量＝充电功率×充电时间）．
（i）求出行驶过程中，耗电量f（v）的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）．
（ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）选择函数模型①，；
（2）（i），单调递增；
（ii）不能，最少用时为小时．
【分析】（1）选择函数模型①，把前3组数据代入解析式，求出a，b，c的值即可；
（2）（i）根据总耗电量等于求出每小时耗电量P（v）乘以时长即可得解；
（ii）求出f（v）的最小值，进而可判断该车不在服务区充电不能到达B地，再结合基本不等式求行驶时间与充电时间之和的最小值即可．
【解答】解：（1）选择函数模型①，
由题意可知：，解得，
所以；
（2）（i）设耗电量为f（v），
则
由对勾函数的性质可知，f（v）在区间[60，120]单调递增；
（ii）由（i）知，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达B地；
又设行驶时间与充电时间分别为t1，t2，总和为t，若能到达B地，
则65+16t2﹣f（v） 5，
解得，
所以总时间
，
当且仅当，即v＝100时等号成立，
所以该汽车到达B地的最少用时为小时．
【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
20．（2024秋 五华区校级期末）昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为n（单位：m2），此后每月月底测量一次．通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快．记2024年元旦最初测量时间x的值为0，部分测量数据统计如表：
第x月月底 2 3
水葫芦生长面积y（m2） 24 64
（1）水葫芦生长的面积y（单位：m2）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①y＝nax（n＞0，a＞1）；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
（2）根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）选择模型y＝nax（n＞0，a＞1），理由见解析，；
（2）7月份．
【分析】（1）由随着x的增大，y＝nax（n＞0，a＞1）的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢即可选择；
（2）根据题意，由运算求解．
【解答】解：（1）选择模型y＝nax（n＞0，a＞1），
因两个函数模型为y＝nax，y＝pn在（0，+∞）上都是增函数，
随着x的增大，y＝nax的函数值增加得越来越快，
而y＝pn的函数值增加得越来越慢，
由题意和表格数据知，随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
所以第一个函数模型y＝nax（n＞0，a＞1）满足要求．
由题意知，，解得，
所以y ．
（2）由 240，
解得x240，
又，
故x≥6，
即该水域中水葫芦生长的面积在7月份起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上．
【点评】本题考查了指数的运算，重点考查了对数的运算及阅读理解能力，属中档题．
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