资源简介

高考数学考前冲刺押题预测 集合
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 普陀区校级期末）对任意实数a和正整数k，定义集合M＝{a 2π}，集合N＝{t|t＝sinα，α∈M}．当N中的元素个数为4个时，k的值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024 河南模拟）已知集合M＝{x∈Z|a≤x≤2a﹣1}，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为（　　）
A．[4，6） B．
C． D．[，5）∪（5，）∪{4}
3．（2024秋 闵行区期中）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则满足（A∩B） S （A∪B）的集合S共有（　　）个．
A．3 B．4 C．7 D．8
4．（2024秋 沧县期中）定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合{1，2，3，4，5}的“和睦数”是5+4﹣3+2﹣1＝7，{2，4}的“和睦数”是4+2＝6，{1}的“和睦数”是1．对于集合A＝{n|∈N，n∈N}，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（　　）
A．82 B．74 C．12 D．70
5．（2023秋 怀柔区期末）设A、B是非空集合，定义：A×B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}．已知A，B，则A×B等于（　　）
A．[0，1]∪[2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1]∪[4，+∞） D．[0，1）∪（4，+∞）
6．（2024春 腾冲市校级期中）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的真子集的个数为（　　）
A．6 B．8 C．3 D．7
7．（2024 湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B的所有元素之和为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．0
8．（2024秋 新沂市校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x3﹣2x＜4}，则A∩B的真子集的个数为（　　）
A．8 B．7 C．16 D．15
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 蒲城县校级期中）定义集合A与B的运算：A B＝{x|x∈R，且x （A∪B）}，A B＝{x|x∈R，且x （A∩B）}．已知A＝（﹣1，4]，B＝[0，7），则（　　）
A．A B＝（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）
B．A B＝（﹣∞，0）∪（4，+∞）
C．A （ RB）＝[4，7]
D．（ RA） B＝（﹣∞，4]∪[7，+∞）
（多选）10．（2024秋 广州期中）已知集合A＝{a1，a2，…，an}是由n（n＞3）个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（　　）
A．{1，2，3，4}不是“可分集合”
B．{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”
C．四个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4}可能是“可分集合”
D．五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不是“可分集合”
（多选）11．（2024秋 安徽期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割．下列结论正确的是（　　）
A．若M＝{x∈Q|x＜1}，N＝{x∈Q|x＞1}，则（M，N）是一个戴德金分割
B．若M＝{x∈Q|x＜π}，N＝{x∈Q|x＞π}，则（M，N）是一个戴德金分割
C．若M中有最大元素，N中没有最小元素，则（M，N）可能是一个戴德金分割
D．若M中没有最大元素，N中没有最小元素，则（M，N）可能是一个戴德金分割
（多选）12．（2024秋 启东市期中）用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数，例如，A＝{a，b，c}，则Card（A）＝3．已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，Card（U）＝24．（　　）
A．若Card（A）＝18，则Card（ UA）＝6
B．若Card（B）＝18，Card（A∩B）＝8，则Card[（ UA）∩B]＝10
C．若Card（A）＝12，Card（B）＝16，Card（A∪B）＝20，则Card[（ UA）∩（ UB）]＝8
D．若，则
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 浦东新区期末）已知集合A＝[t，t+1]∪[t+3，t+6]，其中t＞0．若存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是 　 　．
14．（2024秋 东城区期末）已知非空数集I，P满足：
（i） x∈I，有x∈P；
（ii） x，y∈I，有x+y∈I；
（iii） x∈I且 y∈P，有xy∈I，
则称I是P的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若I＝{2k|k∈Z}，则I是Z的“理想子集”；
②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，则I＝R；
③若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∪I2也是P的“理想子集”；
④若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”．
其中正确结论的序号是 　 　．
15．（2024秋 衡阳县校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，且A∩B＝B，则实数a的取值集合是 　 　．
16．（2024秋 上海校级期中）若不等式组的解集为M，且M∩Z中有2023个元素，则实数k的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 新疆校级期末）对非空数集A及实数k，定义A⊙k＝{x|x＝a2﹣k，a∈A}，A k＝{x|x＝k﹣a，a∈A}，已知A⊙k＝A k．
（1）当k＝1时，若集合A为单元素集，求A；
（2）当k＝3时，若集合A＝{a，b}，求ab的所有取值构成的集合；
（3）若A中有3个元素，求实数k的取值范围．
18．（2024秋 梅河口市校级期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}．
（1）求A∩B；
（2）若定义集合A B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，求A B中元素的个数．
19．（2024秋 松江区期末）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（1）求图中阴影部分表示的集合M；
（2）在①B∩C＝C；②B∪C＝B；③ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
20．（2024秋 东城区期末）已知集合A，B，A Z，B Z，A，B中都至少有3个元素，且A，B满足：
① x，y∈A，且x≠y，总有|x+y|∈B；
② x，y∈B，且x≠y，总有|x﹣y|∈A．
（1）若集合B＝{1，2，3}，直接写出所有满足条件的集合A；
（2）已知﹣1∈A，
（ⅰ）若x，y∈A，且y＞x＞0，求证：y﹣x∈A．
（ⅱ）求证：N* A．
高考数学考前冲刺押题预测 集合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 普陀区校级期末）对任意实数a和正整数k，定义集合M＝{a 2π}，集合N＝{t|t＝sinα，α∈M}．当N中的元素个数为4个时，k的值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，三角函数的性质，分类讨论，即可求解．
【解答】解：由题意得：集合M中的元素为，
即在区间[a，a+2π]上等间隔地取k个点，
集合N中的元素为t＝sinα，α∈M，即函数y＝sinx在区间[a，a+2π]上等间隔地取k个点所得的函数值．
因为N中的元素个数为4个，即函数y＝sinx在区间[a，a+2π]上等间隔地取k个点所得的函数值有4个，
所以k＞4，所以k的最小值为5，
当k＝5时，在[a，a+2π]上等间隔地取5个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为5，排除A：
当k＝6时，在[a，a+2π]上等间隔地取6个点，此时N中的元素个数为5个，故k不可能为6，B正确；
当k＝7时，在[a，a+2π]上等间隔地取7个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为7，排除C；
当k＝8时，在[a，a+2π]上等间隔地取8个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为8，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查元素与集合的关系，三角函数的性质，分类讨论思想，属中档题．
2．（2024 河南模拟）已知集合M＝{x∈Z|a≤x≤2a﹣1}，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为（　　）
A．[4，6） B．
C． D．[，5）∪（5，）∪{4}
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题；转化思想；综合法．
【答案】D
【分析】根据真子集的定义，推断出集合M含有4个元素，即不等式a≤x≤2a﹣1的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数a的取值范围．
【解答】解：若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素，
结合M＝{x∈Z|a≤x≤2a﹣1}，可知a＜2a﹣1，即a＞1，且区间[a，2a﹣1]中含有4个整数，
①当1＜a＜4时，[a，2a﹣1]的区间长度2a﹣1﹣a＝a﹣1＜3，此时[a，2a﹣1]中不可能含有4个整数；
②当a＝4时，[a，2a﹣1]＝[4，7]，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当a＞4时，[a，2a﹣1]的区间长度大于3，
（i）若[a，2a﹣1]的区间长度a﹣1∈（3，4），即4＜a＜5．
若2a﹣1是整数，则区间[a，2a﹣1]中含有4个整数，根据2a﹣1∈（7，9），可知2a﹣1＝8，a，
此时[a，2a﹣1]＝[，8]，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若2a﹣1不是整数，则区间[a，2a﹣1]中含有5、6、7、8这4个整数，则必须4＜a＜5且8＜2a﹣1＜9，解得；
（ii）若a＝5时，[a，2a﹣1]＝[5，9]，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
（iii）当a＞5时，[a，2a﹣1]的区间长度a﹣1＞4，此时[a，2a﹣1]中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故2a﹣1＜10，即a，结合a＞5可得．
综上所述，a＝4或a＜5或，即实数a的取值范围是[，5）∪（5，）∪{4}．
故选：D．
【点评】本题主要考查真子集的定义与性质、不等式的整数解的个数问题等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
3．（2024秋 闵行区期中）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则满足（A∩B） S （A∪B）的集合S共有（　　）个．
A．3 B．4 C．7 D．8
【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．
【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．
【解答】解：因为集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，
所以B＝{1，4}，
所以A∩B＝{1}，A∪B＝{﹣1，1，2，4}，
因为（A∩B） S （A∪B），
所以S可以为{1}，{1，﹣1}，{1，2}，{1，4}，{1，﹣1，2}，{1，﹣1，4}，{1，2，4}，{﹣1，1，2，4}，共8个．
故选：D．
【点评】本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
4．（2024秋 沧县期中）定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合{1，2，3，4，5}的“和睦数”是5+4﹣3+2﹣1＝7，{2，4}的“和睦数”是4+2＝6，{1}的“和睦数”是1．对于集合A＝{n|∈N，n∈N}，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（　　）
A．82 B．74 C．12 D．70
【考点】子集的判断与求解；元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】A
【分析】由新定义通过列举即可求解．
【解答】解：A＝{n|∈N，n∈N}＝{1，2，3，6}，非空子集有15个．
当子集M为单元素集{1}，{2}，{3}，{6}时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
当子集M为双元素集{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}时，“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
当子集M为三元素集{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，6}，{2，3，6}时，“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
当子集M为四元素集{1，2，3，6}时，“和睦数”为6+3﹣2+1＝8．
故“和睦数”的总和为12+36+26+8＝82．
故选：A．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力，属于中档题．
5．（2023秋 怀柔区期末）设A、B是非空集合，定义：A×B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}．已知A，B，则A×B等于（　　）
A．[0，1]∪[2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1]∪[4，+∞） D．[0，1）∪（4，+∞）
【考点】集合交并补混合关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】B
【分析】先分别求出集合A，B，然后结合集合的基本运算及已知定义即可求解．
【解答】解：A[0，2]，
因为x＞﹣1时，y＝xx+111＝1，当且仅当x+1＝1，即x＝0时取等号，
所以B＝[1，+∞），A∩B＝[1，2]，A∪B＝[0，+∞），
则A×B＝[0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
6．（2024春 腾冲市校级期中）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}的真子集的个数为（　　）
A．6 B．8 C．3 D．7
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据题意，先得集合C中有3个元素，由集合的元素数目与其真子集数目的关系，可得答案．
【解答】解：集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}＝{﹣1，1，3}
集合{﹣1，1，3}中有3个元素，则其真子集有23﹣1＝7个，
故选：D．
【点评】本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集，有2n﹣1个真子集．
7．（2024 湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B的所有元素之和为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．0
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据A*B的定义即可求出A*B的元素，从而得解．
【解答】解：因为A*B＝{0，2，4}，所以集合A*B的所有元素之和为6．
故选：A．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，A*B的定义，是基础题．
8．（2024秋 新沂市校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x3﹣2x＜4}，则A∩B的真子集的个数为（　　）
A．8 B．7 C．16 D．15
【考点】子集的个数；求集合的交集．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据立方差公式可求出集合B，然后求出A∩B的元素个数，然后根据真子集个数的计算公式即可得解．
【解答】解：B＝{x|x3﹣2x＜4}＝{x|x3﹣8﹣2x+4＜0}＝{x|（x﹣2）（x2+2x+2）＜0}＝{x|x＜2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
∴A∩B的真子集的个数为：23﹣1＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了立方差公式，高次不等式的解法，交集的运算，真子集个数的计算公式，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 蒲城县校级期中）定义集合A与B的运算：A B＝{x|x∈R，且x （A∪B）}，A B＝{x|x∈R，且x （A∩B）}．已知A＝（﹣1，4]，B＝[0，7），则（　　）
A．A B＝（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）
B．A B＝（﹣∞，0）∪（4，+∞）
C．A （ RB）＝[4，7]
D．（ RA） B＝（﹣∞，4]∪[7，+∞）
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】ABD
【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可．
【解答】解：集合A与B的运算：A B＝{x|x∈R，且x （A∪B）}，A B＝{x|x∈R，且x （A∩B）}．
由A＝（﹣1，4]，B＝[0，7）以及定义运算可知，A∪B＝（﹣1，7），所以A B＝（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞），A正确；
又A∩B＝[0，4]，所以A B＝（﹣∞，0）∪（4，+∞），B正确；
又 RB＝（﹣∞，0）∪[7，+∞），则A∪（ RB）＝（﹣∞，4]∪[7，+∞），所以A （ RB）＝（4，7），C错误；
又 RA＝（﹣∞，﹣1]∪（4，+∞），则（ RA）∩B＝（4，7），
所以（ RA） B＝（﹣∞，4]∪[7，+∞），D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力和理解能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 广州期中）已知集合A＝{a1，a2，…，an}是由n（n＞3）个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（　　）
A．{1，2，3，4}不是“可分集合”
B．{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”
C．四个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4}可能是“可分集合”
D．五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不是“可分集合”
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得．
【解答】解：对于A，去掉3后，{1，2，4}不满足定义，{1，2，3，4}不是“可分集合”，A正确；
对于B，集合{1，3，5，7，9，11，13}所有元素之和为49，
当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合{3，5，7，9}与{11，13}的元素和相等，符合题意；
当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合{1，9，13}与{5，7，11}的元素和相等，符合题意；
当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合{1，3，7，11}与{9，13}的元素和相等，符合题意；
当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合{1，9，11}与{3，5，13}的元素和相等，符合题意；
当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合{1，3，5，11}与{7，13}的元素和相等，符合题意；
当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合{3，7，9}与{1，5，13}的元素和相等，符合题意；
当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合{1，3，5，9}与{7，11}的元素和相等，符合题意；
因此集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”，B正确；
对于C，不妨设a1＜a2＜a3＜a4，去掉a1，则a2+a3＝a4，去掉a2，则a1+a3＝a4，
于是a1＝a2，与a1＜a2矛盾，
因此A＝{a1，a2，a3，a4}一定不是“可分集合”，C错误；
对于D，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
若去掉元素a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，或者a5＝a2+a3+a4②，
若去掉元素a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4③，或者a5＝a1+a3+a4④，
由①③或②④得a1＝a2，矛盾；
由①④或②③得a1+a2＝0，矛盾，
因此集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不是“可分集合”，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 安徽期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割．下列结论正确的是（　　）
A．若M＝{x∈Q|x＜1}，N＝{x∈Q|x＞1}，则（M，N）是一个戴德金分割
B．若M＝{x∈Q|x＜π}，N＝{x∈Q|x＞π}，则（M，N）是一个戴德金分割
C．若M中有最大元素，N中没有最小元素，则（M，N）可能是一个戴德金分割
D．若M中没有最大元素，N中没有最小元素，则（M，N）可能是一个戴德金分割
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】新定义；集合思想；综合法；集合；逻辑思维；新定义类．
【答案】BCD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误．
【解答】解：对于选项A，因为M∪N＝{x∈Q|x≠1}≠Q，故A选项错误；
对于选项B，M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，故B选项正确；
对于选项C，设M＝{x|x≤1，x∈Q}，N＝{x|x＞1，x∈Q}，此时M有最大元素1，N没有最小元素，满足（M，N）是一个戴德金分割，故C选项正确；
对于选项D，如B选项，此时M没有最大元素，N没有最小元素，满足（M，N）是一个戴德金分割，故D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查集合的新定义问题，考查逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 启东市期中）用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数，例如，A＝{a，b，c}，则Card（A）＝3．已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，Card（U）＝24．（　　）
A．若Card（A）＝18，则Card（ UA）＝6
B．若Card（B）＝18，Card（A∩B）＝8，则Card[（ UA）∩B]＝10
C．若Card（A）＝12，Card（B）＝16，Card（A∪B）＝20，则Card[（ UA）∩（ UB）]＝8
D．若，则
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】ABD
【分析】根据Card（A）的定义对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：A选项，Card（U）＝24，Card（A）＝18，所以Card（ UA）＝24﹣18＝6，
所以A选项正确．
B选项，Card（U）＝24，Card（B）＝18，Card（A∩B）＝8，
则Card[（ UA）∩B]＝18﹣8＝10，所以B选项正确．
C选项，Card（A∪B）＝20，Card[（ UA）∩（ UB）]＝Card[ U（A∪B）]＝24﹣20＝4，
所以C选项错误．
D选项，若，
则
，
所以D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了集合新定义问题，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 浦东新区期末）已知集合A＝[t，t+1]∪[t+3，t+6]，其中t＞0．若存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是 　　．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】．
【分析】由t＞0可得出，进而可得的取值范围，根据可得出关于t的不等式，进一步可得出关于t的方程，解之即可．
【解答】解：因为0 A，则只需考虑下列三种情况：
因为t＞0，a∈[t，t+1]∪[t+3，t+6]，则∈[，]∪[，]，
又因为λ＞0，则，
因为∈A，则且，
可得，
所以λ＝t（t+6）＝（t+1）（t+3），
解得t．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，属于中档题．
14．（2024秋 东城区期末）已知非空数集I，P满足：
（i） x∈I，有x∈P；
（ii） x，y∈I，有x+y∈I；
（iii） x∈I且 y∈P，有xy∈I，
则称I是P的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若I＝{2k|k∈Z}，则I是Z的“理想子集”；
②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，则I＝R；
③若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∪I2也是P的“理想子集”；
④若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”．
其中正确结论的序号是 　①②④　．
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】新定义；集合思想；定义法；集合；逻辑思维；新定义类．
【答案】①②④．
【分析】根据“理想子集”的定义，结合元素与集合的包含关系逐一判断即可．
【解答】解：①集合I＝{2k|k∈Z}表示所有偶数构成的集合，
所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，
满足（i）（ii）（iii），
故I是Z的“理想子集”，①说法正确；
②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，
则由“理想子集”的概念可知对任意的x∈R有ax∈I，
所以I＝R，②说法正确；
③若I1，I2是P的“理想子集”，
则 x，y∈I1，有x+y∈I1， x，y∈I2，有x+y∈I2，
但对于x∈I1，y∈I2，不一定有x+y∈I1∪I2，
例如I1＝{2k|k∈Z}，I2＝{3k|k∈Z}，P＝Z，
此时2∈I1，3∈I2，2+3 I1∪I2，③说法错误；
④若I1，I2是P的“理想子集”，对于I1∩I2，显然 x∈I1∩I2有x∈P，满足（i），
令a，b∈I1∩I2，c∈P，则a，b∈I1，
又I1是P的“理想子集”，
所以a+b∈I1，ac∈I1，
同理由I2是P的“理想子集”，可得a+b∈I2，ac∈I2，
所以a+b∈I1∩I2，ac∈I1∩I2，满足（ii）（iii），
所以若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”，④说法正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题属于新概念题，考查了集合思想、逻辑推理能力，理解定义是关键，属于中档题．
15．（2024秋 衡阳县校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，且A∩B＝B，则实数a的取值集合是 　{a|﹣2a＜2或a＝3}　．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【专题】集合思想；转化法；集合；逻辑思维；运算求解．
【答案】{a|﹣2a＜2或a＝3}．
【分析】根据一元二次方程得出集合A，然后根据集合B按照B＝ 和B≠ 分类，结合子集的定义即可得出．
【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
所以由A∩B＝B可得：B A，
当B＝ 时，Δ＝a2﹣8＜0，即﹣2a＜2，符合题意；
当B≠ 时，
1．当Δ＝a2﹣8＝0，即a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，B＝{}，不满足题意；
当a＝﹣2时，B＝{}，不满足题意；
2．当Δ＝a2﹣8＞0，即a＞2或a＜﹣2，
由题意可知：1，2是方程x2﹣ax+2＝0的两根，
所以a＝1+2＝3．
综上所述，实数a的取值集合为{a|﹣2a＜2或a＝3}．
故答案为：{a|﹣2a＜2或a＝3}．
【点评】本题考查集合间的基本关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
16．（2024秋 上海校级期中）若不等式组的解集为M，且M∩Z中有2023个元素，则实数k的取值范围是 　[﹣2025，﹣2024）∪（2025，2026]　．
【考点】交集及其运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】[﹣2025，﹣2024）∪（2025，2026]．
【分析】先分别求出不等式的解集，然后结合集合的交集定义，结合交集的整数个数可求．
【解答】解：由x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，
由2x2+（5+2k）x+5k＜0可得（x+k）（2x+5）＜0，
若解集M∩Z中有2023个元素，则M中有2023个整数，
当k时，显然不成立，
当k时，M＝{x|﹣k＜x}，
此时M∩Z＝{﹣3，﹣4，﹣5，…，﹣2025}
﹣2026≤﹣k＜﹣2025，解得2025＜k≤2026，
当k时，
M∩Z＝（）∪（2，﹣k），
M∩Z＝{﹣2，3，4，…，2024}，
故2024＜﹣k≤2025，即﹣2025≤k＜﹣2024，
综上所述，k的取值范围为[﹣2025，﹣2024）∪（2025，2026]．
故答案为：[﹣2025，﹣2024）∪（2025，2026]．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 新疆校级期末）对非空数集A及实数k，定义A⊙k＝{x|x＝a2﹣k，a∈A}，A k＝{x|x＝k﹣a，a∈A}，已知A⊙k＝A k．
（1）当k＝1时，若集合A为单元素集，求A；
（2）当k＝3时，若集合A＝{a，b}，求ab的所有取值构成的集合；
（3）若A中有3个元素，求实数k的取值范围．
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】（1）A＝{﹣2}或A＝{1}；
（2）{﹣6，﹣5}；
（3）．
【分析】（1）代入a＝1，根据A⊙1＝A 1列出方程求解出a的值，则结果可知；
（2）代入a＝3，根据A⊙3＝A 3列出方程组，化简方程组结合韦达定理求解出结果；
（3）根据A⊙k＝A k进行分类讨论，结合方程组解的情况进行分类讨论，由此求解出结果．
【解答】解：（1）k＝1时，若集合A为单元素集，设A＝{a}，由A⊙1＝A 1，得{a2﹣1}＝{1﹣a}，
所以a2﹣1＝1﹣a，解得a＝﹣2或1，故A＝{﹣2}或A＝{1}．
（2）k＝3时，A＝{a，b}，由A⊙3＝A 3，得{a2﹣3，b2﹣3}＝{3﹣a，3﹣b}，
得或，即或，
当时，a，b是方程x2+x﹣6＝0的两根，故ab＝﹣6，
当时，两式相减得a2﹣b2＝a﹣b，
由集合中元素的互异性得a≠b，所以a+b＝1，
故a2＝6﹣b＝6﹣（1﹣a）＝5+a，即a2﹣a﹣5＝0，同理b2﹣b﹣5＝0，
故a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，所以ab＝﹣5，
故ab的所有取值构成的集合为{﹣6，﹣5}．
（3）设A＝{a，b，c}，由已知定义得{a2﹣k，b2﹣k，c2﹣k}＝{k﹣a，k﹣b，k﹣c}，
①若，故a，b，c是方程x2+x﹣2k＝0的三个不等的实数根，
而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立；
②若，当c2﹣k＝k﹣c时，c2+c﹣2k＝0，令Δ＝1+8k≥0，得，
对a2﹣k＝k﹣b，b2﹣k＝k﹣a，两式相减得a2﹣b2＝a﹣b，因为a≠b，所以a+b＝1，
代入a2﹣k＝k﹣b，得a2﹣a+1﹣2k＝0，同理b2﹣b+1﹣2k＝0，
故a，b为方程x2﹣x+1﹣2k＝0的两个不相等的实根，Δ＝1﹣4（1﹣2k）＞0，得，
则x2﹣x+1﹣2k＝0与x2+x﹣2k＝0均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意；
③若，则a2+b＝b2+c＝c2+a＝2k，根据集合中元素的互异性，a，b，c两两不相等，
不妨设a＞b＞c，
（ⅰ）当a＞b＞c≥0时，a2+b＞b2+c，这与a2+b＝b2+c矛盾，故不成立；
（ⅱ）当a＞b≥0＞c时，a2+b＞b2+c，这与a2+b＝b2+c矛盾，故不成立；
（ⅲ）当a≥0＞b＞c时，b2+c＜c2+a，这与b2+c＝c2+a矛盾，故不成立；
（ⅳ）当0＞a＞b＞c时，b2+c＜c2+a，这与b2+c＝c2+a矛盾，故不成立．
综上，实数k的取值范围是．
【点评】本题属于集合中的新定义问题，解答问题的关键在于对定义的理解，属于难题．
18．（2024秋 梅河口市校级期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}．
（1）求A∩B；
（2）若定义集合A B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，求A B中元素的个数．
【考点】求集合的交集．
【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】（1）{（﹣1，0），（1，0），（0，0），（0，1），（0，﹣1）}；
（2）45．
【分析】（1）列举法表示出A，然后根据交集的概念求解出A∩B；
（2）先分析x1+x2和y1+y2的可能取值，然后分析x1+x2取值时对应y1+y2的取值个数，由此可确定出A B中元素的个数．
【解答】解：（1）由题意可知已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，
B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}
则B＝{（x，y）|x＝﹣2，﹣1，0，1，2；y＝﹣2，﹣1，0，1，2}，
A＝{（﹣1，0），（1，0），（0，0），（0，1），（0，﹣1）}，
所以A∩B＝{（﹣1，0），（1，0），（0，0），（0，1），（0，﹣1）}．
（2）由x1＝﹣1，0，1，x2＝﹣2，﹣1，0，1，2，
可得x1+x2＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，共7种结果，
由y1＝﹣1，0，1，y2＝﹣2，﹣1，0，1，2，可得y1+y2＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，共7种结果，
当x1+x2＝﹣3或3时，此时或，
所以y1+y2可以为﹣2，﹣1，0，1，2中的一个值，共可以构成2×5＝10个不同的元素；
当x1+x2＝﹣2，﹣1，0，1，2时，对于x1+x2∈{﹣2，﹣1，0，1，2}中的任意一个值，
（x1，y1）都可以选择（0，0），（0，1），（0，﹣1），此时x2取与x1对应的值，y2可取﹣2，﹣1，0，1，2中的一个值，
所以y1+y2可以为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3中的一个值，共可以构成5×7＝35个不同元素，
所以A B中一共有45个元素．
【点评】本题考查集合的运算，属于中档题．
19．（2024秋 松江区期末）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（1）求图中阴影部分表示的集合M；
（2）在①B∩C＝C；②B∪C＝B；③ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【考点】Venn图表示交并补混合运算；解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1））[1，2]；（2）选①②③中任意一个答案都为（1，2）∪（2，+∞）．
【分析】（1）根据题意可得M＝A∩（ RB，从而可求解；
（2）选①②③中任意一个都可得C B，从而分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得A＝[1，3]，B＝（2，4），
∴图中阴影部分表示的集合M＝A∩（ RB）＝[1，2]；
（2）选①B∩C＝C，则C B，
∴2a＞a+2或，
解得a＞2或1＜a＜2，
∴实数a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）；
选②B∪C＝B，则C B，
∴2a＞a+2或，
解得a＞2或1＜a＜2，
∴实数a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）；
选③ ，则C B，
∴2a＞a+2或，
解得a＞2或1＜a＜2，
∴实数a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查集合的关系与运算，分类讨论思想，属中档题．
20．（2024秋 东城区期末）已知集合A，B，A Z，B Z，A，B中都至少有3个元素，且A，B满足：
① x，y∈A，且x≠y，总有|x+y|∈B；
② x，y∈B，且x≠y，总有|x﹣y|∈A．
（1）若集合B＝{1，2，3}，直接写出所有满足条件的集合A；
（2）已知﹣1∈A，
（ⅰ）若x，y∈A，且y＞x＞0，求证：y﹣x∈A．
（ⅱ）求证：N* A．
【考点】判断两个集合的包含关系．
【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）{0，1，2}，{﹣3，1，2}，{﹣3，0，1，2}，{﹣4，1，2}；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析．
【分析】（1）由条件证明1，2∈A，设t∈A，t≠1，t≠2，由条件列方程求t，由此可得结论；
（2）（ⅰ）由条件先证明x﹣1，y﹣1∈B，再证明y﹣x∈A，
（ⅱ）先证明A中至少有两个正整数，设正整数m，n∈A，由此证明m+1，n+1∈A，同理证明出大于等于m的正整数属于A，结合（ⅰ）证明小于m的正整数属于A，由此完成证明．
【解答】解：（1）因为B＝{1，2，3}，
又因为 x，y∈B，且x≠y，总有|x﹣y|∈A，
所以3﹣1∈A，3﹣2∈A，即1∈A，2∈A，
设t∈A，t≠1，t≠2，
由 x，y∈A，且x≠y，总有|x+y|∈B，
可得|t+1|∈B，|t+2|∈B，
所以|t+1|＝1或|t+1|＝2或|t+1|＝3，
解得t＝0或t＝﹣2或t＝﹣3或t＝﹣4，
|t+2|＝1或|t+2|＝2或|t+2|＝3，
解得t＝﹣3或t＝﹣1或t＝0或t＝﹣4或t＝﹣5，
所以t＝0或t＝﹣3或t＝﹣4，
但|﹣3+（﹣4）| B，|﹣4+0| B，
所以满足条件的集合A有{0，1，2}，{﹣3，1，2}，{﹣3，0，1，2}，{﹣4，1，2}；
（2）（ⅰ）证明：因为﹣1∈A，x，y∈A，y＞x＞0，A Z，
由①知，|y+（﹣1）|＝y﹣1∈B，|x+（﹣1）|＝x﹣1∈B，
由②知，|y﹣1﹣（x﹣1）|＝y﹣x∈A，
（ⅱ）证明：因为B中至少有3个元素，B Z，
不妨设B＝{p，q，r}，其中p＜q＜r，p，q，r互不相等的整数，
则|q﹣p|，|r﹣p|，|r﹣q|∈A，且0＜q﹣p＜r﹣p，
所以A中至少存在两个正整数，
不妨设m，n∈N*，m，n∈A，m＜n，又﹣1∈A，
由①知，m﹣1＝m+（﹣1）∈B，n﹣1＝n+（﹣1）∈B，n+m∈B，
由②知，n+m﹣（m﹣1）＝n+1∈A，n+m﹣（n﹣1）＝m+1∈A，
故由m，n∈N*，m＜n，m，n∈A，﹣1∈A，可推出m+1，n+1∈A，
同理由m+1，n+1∈A可推出，m+2，n+2∈A，
由m+2，n+2∈A，可推出m+3，n+3∈A，
…
所以对于大于等于m的正整数，都属于A，
因为m，m+1，m+2，…，2m﹣1∈A，
由（ⅰ）m+1﹣m＝1∈A，m+2﹣m＝2∈A，…，2m﹣1﹣m＝m﹣1∈A，
所以任意的正整数都属于A，
所以N* A．
【点评】本题考查了集合思想、逻辑推理能力，属于中档题．
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