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2024-2025 学年广西部分学校高一下学期四月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = | 2 2 8 < 0 , = |2 > 1 ，则 ∩ =( )
A. ( 2,1) B. ( 4,1) C. (1,4) D. (1,2)
2 5 i.1+i =( )
A. 3 3i B. 3 + 3i C. 2 3i D. 2 + 3i
3.已知向量 = ( 4,2), = ( , 3)，若 // ，则 =( )
A. 6 B. 6 C. 3 32 D. 2
4.“ > > 0, > > 0”是“ > ”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 π 1.若 tan + 4 = 2，则 tan2 =( )
A. 43 B.
4
3 C.
3
4 D.
3
4
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0 时， ( ) = log2 + 3，则不等式 ( ) > 0 的解集是( )
A. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞) B. ( 2,0) ∪ (0,2)
C. ( ∞, 2) ∪ (0,2) D. ( 2,0) ∪ (2, + ∞)
7.有一个底面直径为 4 的圆柱形容器(不考虑该容器的厚度)，该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口
的距离为 9.现将一个半径为 的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则 的最大值
是( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3
8 π.已知函数 ( ) = 2sin + 3 ( > 0)，若 ( ) +
π
3 = 0，则 的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D.用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
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10.已知 1， 2是复数，则下列命题错误的是( )
A.若 1 + 2 = 0，则 1 = 2 B.若 1 + 2 < 0，则 1 < 2
C.若 1 = 2 2 22 ，则 1 = 2 D.若 1 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0
11.在锐角 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 = 4， ≠ ，且 8cos = ，则( )
A. π π角 的取值范围是 3 , 2
B. 的取值范围是(4,8)
C. 周长的取值范围是 4 + 4 2, 8 + 4 3
D. 3 的取值范围是 2 , 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图， ′ ′ ′是用斜二测画法画出的 的直观图，其中 ′ ′ = 2, ′ ′ = 4，则 的面积
是 ．
13.一艘轮船从 地出发，沿东偏南 30°的方向以每小时 20 千米的速度匀速航行 2 小时，到达 地，再沿北
偏东 60°的方向以每小时 20 千米的速度匀速航行 1 小时，到达 地，则 , 两地之间的距离是 千米．
14.某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业 2025 年 1 月投入该新产品的研发经费为
20 万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加 20%，记 2025 年 1 月为第 1 个月，
第 ( ∈ +)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于 40 万元，则 的最小值是 (参考数据：lg2 ≈
0.301，lg3 ≈ 0.477)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 + i 2 2 + i 2i( ∈ )．
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面内所对应的点在第四象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥 ，下部是一个正方体，其中正四棱锥 的高为
3 2, △ 是等边三角形， = 6．
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(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 4cos( + )( > 0,0 < < π)的图象经过 , 4 , , 0 , π1 2 3 , 4 三点，且 1 2
π
的最小值为4．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( ) π在 3 ,
π
6 上的值域；
(3)求不等式 ( ) > 2 3的解集．
18.(本小题 17 分)
在 中， 是线段 的中点，点 在线段 上，线段 与线段 交于点 ．
(1)已知 = 6， = 4，∠ = 60 ， = 2 ．
①用向量 ， 表示向量 ， ；
②求 的值．
4 (2)若

= 7，求 的值．
19.(本小题 17 分)
如图，某社区有一块空白区域，其中射线 ， 是该空白区域的两条边界，点 在射线 上， = 2 千
米，且∠ = π6 .该社区工作人员计划在射线 上选择一点 ，修建一条道路 ，将 区域改造成儿童
娱乐场地．
(1) 3π已知∠ = 4．
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①求道路 的长度；
②求 的面积．
(2)某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为 4 万元每平方千米，
2π
修建道路 的利润为 2 万元每千米，且要求∠ 不能大于 3，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的
最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.20 7
14.5
15.解：(1)由复数 = 1 + i 2 2 + i 2i = 2 2 + 2 2 i，
2因为复数 是纯虚数，则满足 2 = 02 ，解得 = 0 或 = 2(舍去)， 2 ≠ 0
所以实数 的值为 0．
(2)由复数 = 2 2 + 2 2 i，
2
若 在复平面内所对应的点在第四象限，则满足 2 > 02 ，解得 1 < < 0， 2 < 0
所以实数 的取值范围为( 1,0)．
16.解：(1)设 是 的中点，连接 ．
因为 是边长为 6 的正三角形，
所以 ⊥ ，且 = 62 32 = 3 3，
所以该几何体的表面积 = 12 × 6 × 3 3 × 4 + 6
2 × 4+ 62 = 36 3 + 180．
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(2)连接 , ，设交点为 ，连接 ，则 是四棱锥 的高，
则 = 3 2，所以 1 2 = 3 × 6 × 3 2 = 36 2．
又正方体的体积为 6 × 6 × 6 = 216，
所以该几何体的体积 = 36 2 + 216．
17.解：(1)由题意 ( ) = 4cos( + )( > 0,0 < < π)的图象经过 1, 4 , 2, 0 三点，且 1 2 的最
π
小值为4，
可得 ( ) π 2π的最小正周期 = 4 × 4 = π，则 = π，解得 = 2．
则 ( ) = 4cos(2 + )，
π 2π 2π
由 ( 3 ) = 4cos( 3 + ) = 4 cos( 3 + ) = 1，
2π
故 3 + = π + 2 π =
π
3 + 2 π， ∈ Z，
| | < = π又因为 ，所以 3．
故 ( ) = 4cos 2 + π3 ．
(2) ∈ π , π由于 3 6 ，所以 2 +
π π 2π
3 ∈ 3 , 3 ，
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故 cos 2 + π3 ∈
1
2 , 1 ，4cos 2 +
π
3 ∈ [ 2,4]．
所以函数 ( )的值域为[ 2,4]．
(3)不等式 ( ) > 2 3等价于不等式 4cos 2 + π3 > 2 3，即不等式 cos 2 +
π
3 >
3
2 ．
令 2 1π
π
6 < 2 +
π
3 < 2 1π +
π π π
6 1 ∈ Z ，解得 1π 4 < < 1π 12 1 ∈ Z ，
π
故不等式 ( ) > 2 3的解集为 1π 4 , 1π
π
12 1 ∈ Z ．
18. 1 1解：(1)因为 是线段 的中点，所以 = 2 + 2 ，
因为 = 2 ，则 = = + 2 3
，
因为 = 6， = 4，∠ = 60 ，所以 = 6 × 4 × cos60 = 12，
1 2 2
所以 = 2 +
1 + 2 = 1 1 + 1 2 3 2 6 3 =
1
2 × 16
1 × 12 + 16 3 × 36 =
2．

(2)设 = ，则 = ，所以 =
4 4，又
+1
= 7，所以 = 7 ，
由(1)知 = 1 + 1 ，所以 4 2 2 = 7
= 2 + 27 7
，
因为 , , 三点共线，可设 = (0 ≤ ≤ 1)，
= = 所以 +1
，所以 = +1 + (1 ) ，
= 22 =
2
又 = + 2 7 7 ，所以
+1 7
2，解得
3
5 ,1 = 7 = 7
2
所以

= ．
3
19.解：(1) ①由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，
= sin∠ 则 sin∠ = 2千米．
3π π 3π π
②因为∠ = 4，∠ = 6，所以∠ = π 4 + 6 ，
所以 sin∠ = sin π 3π+ π 3π π 3π4 6 = sin 4 + 6 = sin 4 cos
π+ cos 3π6 4 sin
π 6 2
6 = 4
则 的面积 = 12 sin∠ =
1 × 2 × 2 × 6 2 3 12 4 = 2 平方千米．
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(2)设∠ = 0 < ≤ 2π3 ，

由正弦定理可得sin∠ = sin = sin∠ ，
= sin∠ 1则 sin = sin ， =
sin∠ cos
sin = sin + 3，
故 的面积 = 12 sin∠ =
1 = cos + 32 2sin 2 平方千米．
2 2cos 2 cos +1 2
该工程队完成这项改造项目获得的利润 = 2 + 4 = sin + sin + 2 3 = sin + 2 3 = tan
+
2
2 3 万元．
0 < ≤ 2π 0 < π 因为 3 ，所以 2 ≤ 3，所以 0 < tan 2 ≤ 3，
2 2 3 2 8 3
所以
tan
≥ 3 ，所以 = + 2 3 ≥ ，
2 tan
3
2
8 3
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为 3 万元．
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