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2024-2025 学年河北省唐山市丰南区高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，则复数i2( 3 i) =( )
A. 3 + i B. 3 + i C. 3 i D. 3 i
2.已知非零向量 ， 不平行，并且其模相等，则 + 与 之间的关系是( )
A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能
3 2 .若复数1+2 ( ∈ )的实部与虚部互为相反数，则 =
A. 2 B. 2 C. 23 3 D. 2
4.如图，已知 = , = , = 4 , = 3 ，则 =( )
A. 5 12
3 3 1 3
4 B. 4 3 C. 4
1
3 D.
5
12
3
4
5.如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别为 1 1, , 1 1的中点，则下列命题正确的是( )
A. //平面 1 B. 与 1 相交
C. 与 是异面直线 D.四边形 1 为正方形
6.如图，水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = ′ ′ = 1, ′ ′ = 1，
则四边形 的周长为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 4 + 2 17
7.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = + = 1 sin = 2， 2 ，则( )
A. = 1 B. = 2 C. = 2 D. = 3
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8.如图，在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中， , 分别是棱 1 1 1 1的中点，过直线 的平面 //
平面 ，则平面 截该正方体 1 1 1 1所得截面的面积为( )
A. 16 B. 16 2 C. 18 D. 18 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2)， = ( 2,2)， = (4, )，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B.若( + ) ⊥ ，则 = 2
C. 在 1 1上的投影向量为 2 ,

2 D.若( + )// ，则 = 1
10.已知 , 是两个不重合平面， , 是两条不重合直线，则下列说法错误的是( )
A.若 // , , ，则 与 是异面直线 B.若 // , ，则 平行于 内的无数条直线
C.若 // , ，则 // D.若 ∩ = , ，则 与 一定相交
11.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 3sin = 2sin ， + = 2 ，则以下说法正确的
是( )
A. sin : sin : sin = 4: 5: 6 B. 是钝角三角形
C.若 = 7，则 4 7外接圆半径为3 D.若 周长为 15，则内切圆半径为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知两个单位向量 , 满足 4 + = 13,则 , 的夹角为
13.河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了
与该雕像底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，在点 处测得点 的仰角为 51.3°，∠ = 104.5°， =
2m， = 3m，则卧牛雕像的高度 = . (参考数据：取 tan51.3° = 5 14，cos75.5° = 4 )
14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图 1 是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合
体，其直观图如图 2 所示，其中 , 分别是上、下底面圆的圆心，且 = 3 = 3 = 9cm，现有一箱这
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5
种的陀螺共重 6300g(不包含箱子的质量)，陀螺的密度为6 g/cm
3(π取 3).则该箱中有这样的陀螺 个．如
果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料 cm2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (1,3)， = (6, )．
→ →
(1)若 ⊥ ，求向量 2 的坐标；
(2)若 // ，求| |的值；
(3)若向量 = (1, 1)，若 + 与 共线，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在平面四边形 中， = = 4， = 6．
(Ⅰ) 2 若 = 3， = 3，求 sin∠ 的值;
(Ⅱ)若 = 2，cos = 3cos ，求四边形 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，正四棱台 1 1 1 1中，上底面边长为 2 2，下底面边长为 4 2， 为 1的中点，侧棱长为
3．
(1)证明： 1//平面 ；
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(2)求该正四棱台的表面积．
18.(本小题 17 分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且sin2 + sin sin + sin2 sin2 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 7，角 的平分线交 于点 ， 的周长为 15，求 的长．
19.(本小题 17 分)
如图，正三棱柱 1 1 1中， , , 分别是棱 , , 1 1的中点．
(1)判断直线 与直线 ，直线 与平面 1 1的位置关系；(判断即可，不必说明理由)
(2)求证： 1 //平面 ；
(3)在棱 1上是否存在一点 ，使得平面 //平面 1 1？若存在，请指出点 的位置，并证明；若不存
在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.5
14.40；5400 + 1080 2
15. →
→
解：(1)因为 ⊥ ，所以 = 0，则 1 × 6 + 3 = 0，解得 = 2，
故 = (6, 2)，
则 2 = 2 × (1,3) (6, 2) = (2,6) (6, 2) = ( 4,8)．
(2)因为 // ，所以 = 3 × 6 = 18，则 = (6,18)，
所以| | = 62 + 182 = 6 10．
(3) + = (1,3) + (6, ) = (7,3 + )， = (6, ) (1, 1) = (5, + 1)，
若 + 与 共线，则 5 × (3 + ) = 7 × ( + 1)，解得 = 4，即 = (6,4)，
故 = 1 × 6 + 3 × 4 = 18．
16.解：(Ⅰ)在△ 中，∵ = = 4 = 2 ， 3，
∴ = 2 + 2 2 · ·cos = 4 3，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin ，

∴ sin∠ = sin
6×sin
= 3 3 4 3 = 4；
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(Ⅱ)在△ 、△ 中，由余弦定理得，
2 = 2 + 2 2 × cos = 42 + 42 2 × 4 × 4 × cos = 32 32cos ，
2 = 2 + 2 2 × cos = 62 + 22 2 × 6 × 2 × cos = 40 24cos ，
则 4cos 3cos = 1，
又因为 = 3 cos = 1，所以 3 , cos =
1
9，
所以 sin = 2 2 4 53 , sin = 9 ，
故四边形 1 2 2的面积为 △ + △ = 2 × 4 × 4 × 3 +
1 × 6 × 2 × 4 5 = 8 5+16 22 9 3 ．
17.【详解】(1)连结 ，交 于点 ，连结 .
在正四棱台 1 1 1 1中，底面 为正方形，所以 为 中点，
又∵ 为 1的中点，
又 平面 ， 1 平面 ，
∴ 1//平面 ．
(2)由已知，梯形 1 1中， 1 1 = 2 2， = 4 2， 1 = 3，
过 1作 1 ⊥ ，交 于点 ，
∴ = 2，∴ 1 = 2 21 = 7，
1 1所以梯形 1 1的面积为 1 1 = 2 1 1 + 1 = 2 × 2 2 + 4 2 × 7 = 3 14
∴正四棱台 1 1 1 1的表面积为：
2 2
= 1 1 1 1 + + 4 1 1 = 2 2 + 4 2 + 4 × 3 14 = 40 + 12 14．
18.【详解】(1)由正弦定理可得 2 + + 2 2 = 0，
2+ 2 2 1
由余弦定理可得 cos = 2 = 2 = 2，
因为 ∈ 0, π 2π，所以 = 3．
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(2)因为 = 7， + + = 15，所以 + = 8．
在 中，由余弦定理可得：49 = 2 + 2 + = ( + )2 ，所以 = 15．
π
因为 为角 的平分线，所以∠ = ∠ = 3，
因为 + = ，
1 π 1 π 1 2π
所以2 sin 3 + 2 sin 3 = 2 sin 3 ，
3 ( + ) = 3 = 15即 4 4 ，所以 8．
19.解：(1)直线 与直线 是异面直线；直线 与平面 1 1相交，
理由如下：因 平面 ， , ∈平面 ， 平面 ，
故直线 与直线 是异面直线；
又因 , 1 平面 1 1 ，因点 是 1 1的中点， 1// 1 ，
故 , 1相交，设交点为 ，则点 ∈平面 1 1，
又点 平面 1 1，故直线 与平面 1 1相交；
(2)
证明：取 的中点为 ，连接 , ，
∵ 是棱 的中点，
∴ // 且 = 12 ，
∵点 是棱 1 1的中点，
∴ 1 // 且 =
1
1 2 ，
∴ // 1 且 = 1 ，
∴四边形 1是平行四边形，
∴ 1// ，
且 平面 ， 平面 ，
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所以 1 //平面 ；
(3)
当点 为棱 1的中点时，平面 //平面 1 1，
证明：∵ , 分别是棱 , 的中点，
∴ // ，∵ // 1 1，∴ // 1 1，
平面 1 1， 1 1 平面 1 1，∴ //平面 1 1，
∵ , 分别是棱 1, 的中点，∴ // 1，
平面 1 1， 1 平面 1 1，∴ //平面 1 1，
∵ ∩ = ， , 平面 ，
∴平面 //平面 1 1．
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