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2024-2025 学年广东省多校高一下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 1,2)， = (2,3)，则 =( )
A. (1,1) B. (1,5) C. (3,1) D. ( 3, 1)
2.复数 = (1 2i)i 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在 2 π中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 1, = 3 , = 6，则 sin =( )
A. 23 B.
3
3 C.
1
3 D.
3
2
4.已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，若 ∩ = ， ， ，且 与 异面，
则( )
A. 至多与 ， 中的一条相交 B. 与 ， 均相交
C. 与 ， 均平行 D. 至少与 ， 中的一条相交
5.如图所示，等腰梯形 ′ ′ ′ ′为水平放置的平面图形 根据斜二测画法得到的直观图， ′ ′//
′ ′, ′ ′ = 2 ′ ′ = 2 ′ ′ = 2，则平面图形 的面积为( )
A. 2 2 B. 3 2
C. 4 2 D. 6 2
6.已知函数 ( ) = sin 3cos 2( > 0) π，若对任意 ∈ , ( )在区间 , + 3 上的值域均为[
4,0]，则 的取值范围为( )
A. (6, + ∞) B. 16 , + ∞ C. (0,6) D. 0,
1
6
7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 ，现测得
cos∠ = 3， = 100 2米，在点 处测得塔顶 的仰角为 30 ，在点 处测得塔顶 的仰角为 45 ，则3
铁塔的高度为( )
A. 80 米 B. 100 米 C. 112 米 D. 120 米
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8.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 ≥ 0 时， ( ) = 3 3，若对任意 ∈ [ 3, ]，不等式 ( ) ≤
1
27 ( )恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,4] B. [12, + ∞) C. [2,4] D. [2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 1, 2 ∈ C，则下列关于复数 1, 2的说法正确的是( )
A. 1 1 = 21 B. 1 2 = 1 2
C.若 1 + 2 ∈ ，则 1, 2为共轭复数 D.若 1 = 2，则 1 4i 的最大值为 6
10.已知实数 , 满足 > 0, > 0, + = ，则下列结论正确的是( )
A. ≥ 4 B. + 9 ≥ 16
C. lg + lg4 的最小值为 2lg2 D. 1 +
1
的最大值为 2 2
11.在锐角 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，且 = 2 cos ，则( )
A. = 2
B. π π4 < < 3
C. 4 1 155tan tan ≥ 5
D.若 = 1，则 2 + 1 < + < 3 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2025
12 i. 2 i = ．
13.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石
瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(其他因素忽略不计)，如图给了一个石瓢壶的相关
数据(单位： )，那么该壶的侧面积约为 2．
14.已知 为 内切圆的圆心，且 2 + 3 + 3 = 0，则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = 1 ≤ ≤ 1 + , = 2 6 ≥ 0 ．
(1)当 = 2 时，求 ∪ R ；
(2)若 > 0，且“ ∈ ”是“ ∈ R ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
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在一个如图所示的直角梯形 内挖去一个扇形， 是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线
旋转一圈．
(1)说明所得几何体的结构特征；
(2)求所得几何体的表面积和体积．
17.(本小题 15 分)
已知在锐角 中，内角 , , 的对边分别是 , , , 3 = 2 sin ．
(1)求 ；
(2)若 外接圆半径 = 2, sin sin = 58，求 的周长．
18.(本小题 17 分)
若函数 ( )满足 ( + 3) = ( )，且 (5 + ) = ( )( ∈ )，则称函数 ( )为“ 函数”.已知函数
( ) = 2sin( + ) > 0, | | < π2 为“ 函数”．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求不等式 ( ) ≥ 1 的解集；
(3) 1将函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的6 (纵坐标不变)，再将所得图象向右平移 ( > 0)个单
位长度，得到的图象关于原点对称，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 1， = 2， = 3， ， 分别是线段 和 上
的动点， 交 于点 ，且 = ， = (1 ) ， ∈ [0,1]．
(1)若 = 0，求 的值；
(2)当 = 1 3时，求 的值；
(3)求 + 1 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 15 +
2
5 i
13.16 5
14.23或 2: 3
15.解：(1)当 = 2 时， = 1 ≤ ≤ 3 , = 2 6 ≥ 0 = | ≤ 2 或 ≥ 3 ，
则 R = | 2 < < 3 ，故 ∪ R = 2 < ≤ 3 ；
(2) > 0，且“ ∈ ”是“ ∈ R ”的充分不必要条件，
故 为 R 的真子集， R = | 2 < < 3 ，
1 > 2
故 1 + < 3，结合 > 0，解得 0 < < 2，
即实数 的取值范围(0,2)．
16.解：(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体．
(2)由图中的数据可知圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，高为 2 3，圆柱的底面半径为 2，高为 2，球的半
径为 2，
所以 组合体 = 圆锥侧 + 圆柱侧 + 半球
= π × 2 × 4 + 2π × 2 × 2 + 2π × 22 = 8π + 8π + 8π = 24π，
该几何体的体积为：
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1 2组合体 = 圆锥 + 圆柱 半球 = 3 × π × 2 × 2 3 + π × 2
2 × 2 2π × 23 = 8 3π+8π3 3 ．
17.解：(1)由 3 = 2 sin 及正弦定理，可得 3sin = 2sin sin ，
又 0 < < 2，所以 sin > 0
3
，即 sin = 2 ，
又 0 < < 2，所以 = 3．
(2) 由正弦定理sin = sin = sin = 2 ，以及 = 3可得

3 = 2 × 2 = 4， = 2 3， = 4sin ， = 4sin ，
2
又因为 sin sin = 58，所以 = 10．
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 2 2 cos ，
即 12 = ( + )2 20 10，得 + = 42，
故周长为 42 + 2 3．
18.解：(1)由 ( + 3) = ( )，得 ( + 6) = ( + 3) = ( )，
所以 ( )是周期为 6 的周期函数，
由 (5 + ) = ( )，得 (5 ) = ( )，
5
所以 = 2是 ( )的一条对称轴，
因为函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, | | < π 2π 2π π2 为“ 函数”，所以 = = 6 = 3，
= 5又 2是 ( )
π 5 π π
的一条对称轴，所以3 × 2+ = π + 2 ( ∈ )，即 = π 3 ( ∈ )．
因为| | < π π2，所以 = 3，
π π
所以函数 ( )的解析式为 ( ) = 2sin 3 3 ．
(2)由(1) π π知 ( ) = 2sin 3 3 ，
则 ( ) ≥ 1，即 2sin π3
π
3 ≥ 1
π π 1
，即 sin 3 3 ≥ 2，
所以 2 π + π6 ≤
π
3
π
3 ≤ 2 π +
5π
6 ( ∈ )，
解得 6 + 32 ≤ ≤ 6 +
7
2 ( ∈ )，
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即不等式 ( ) ≥ 1 的解集为 ∣6 + 32 ≤ ≤ 6 +
7
2 , ∈ ．
(3)将函数 ( ) 1图象上所有点的横坐标缩短为原来的6 (纵坐标不变)，
得到函数 = 2sin 2π π3 ，
再将所得图象向右平移 ( > 0)个单位长度，
得到 = 2sin 2π( ) π3 = 2sin 2π 2π
π
3 ，
因为 = 2sin 2π 2π π3 的图象关于原点对称，
2π π所以 3 = π( ∈ )
1 1
，解得 = 2 6 ( ∈ )．
因为 > 0，所以 = 1 1时， 取最小值，最小值为3．
19.解：(1) π在直角梯形 中，易得∠ = 4， = 2 2，
因为 = +
2
= + = 0，
3 × 2 2 × 2可得 2 + 8 = 0
3
，所以 = 4．
(2)因为 = + = + = + + + = + + 3

= 1 2 + 3 ，
1 7
当 = 3时，
= 9
+ 1 3 ，
设 = ， = ，
则 = = 79
+ 1 3 ，
又因为 = + = + = + + = + (1 ) ，
7
9 = =
9
且 ， 不共线，则 ，解得 101 ,
3 = 1 =
7
10

所以 =
7
10．
(3)因为 = + = + (1 ) = + 1 ， = 3
+ 1 2 3
+ 1所以 = 1 + 2 2
+ 5 2 6 3 ，
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21 2
2 2
5 2 2 2 5 2 2
+ 2 = 1 + 2 + 6 3 = 4 1 + 2 + 9 6 3
2
= ( + 2)2 + 52 2 = 5
2 6 + 414，
由题意知， ∈ [0,1]，
3 1 2
所以当 = 5时， 2
+ 取到最小值 5 × 3 6 × 3 41 13 55 5 + 4 = 10 ，
= 0 1当 时， 2
+ 41取到最大值 2 ，
所以 + 1 2
13 5 41的取值范围是 10 , 2 ．
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