资源简介

2024-2025 学年广东省惠州市惠城区惠州中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2, 1,0,1,2 ， = 2 6 ≥ 0 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0,1 B. 0,1,2 C. 2 D. 2
2.“ = ”是“cos = cos ”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
3.设 1， 2是两个不共线的向量，若向量 = 1 + 2( ∈ )与向量 = 2 1共线，则 =( )
A. 0 B. 12 C. 1 D. 2
4. 的直观图 ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′// ′轴， ′ ′// ′轴，且 ′ ′ = ′ ′ = 2，则
的面积为( )
A. 2 2 B. 2 C. 4 D. 4 2
5.已知 4中，角 , , 的对边为 , , ，且 = 5，cos = 5， 的面积为 3，则 =
A. 11 B. 2 3 C. 13 D. 14
6 2cos2 1.函数 ( ) = e e 的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.已知函数 ( ) = sin| | + |sin |，下列结论正确的是( )
A. ( )是奇函数 B. ( )在区间( π, π2 )上单调递减
C. ( )在区间[ , ]上有 3 个零点 D. ( )的最小值为 1
第 1页，共 8页
|log |, 0 < ≤ 2
8.已知函数 ( ) = 22 ，若关于 的方程 ( ) = 有 4 个不同的实根 , , 8 + 13, > 2 1 2 3
, 4，且 1 <
2 < 3 <
( 3+ 4) 3
4，则 =( )1 2
A. (16,32 8 3) B. (16,32) C. (32 + 8 3, 48) D. (32,48)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知下列四个命题为真命题的是( )
A.已知非零向量 ， ， ，若 // ， // ，则 //
B.若四边形 中有 = ，则四边形 为平行四边形
C.已知 1 = (1, 2)， 2 = ( 2,4)， 1， 2可以作为平面向量的一组基底
D.已知向量 = ( 1,1)， = (3,1)，则 在 方向上的投影向量的模为 2
10.已知 = + i , ∈ R 为复数， 是 的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )
A. 1若 2为纯虚数，则 = ≠ 0 B.若 ∈ R，则 ∈ R
C.若 i = 1，则| |的最大值为 2 D. = | |2
11.若函数 ( )是定义在 R 上的奇函数，且满足 ( ) = (4 )，当 ∈ [ 2,0)时， ( ) = 2，则( )
A. (8) = 0 B. ( )在[ 6, 2]上单调递增
C. ( ) = ( 4) D. ( ) = 1 在[ 6,6]上的实数根之和为 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2, 1)， = (1, )，若(2 ) ⊥ ，则 =
13.如图，在某个海域，一艘渔船以 36 海里/小时的速度，沿方位角为 150°的方向航行，行至 处发现一座
小岛 在其南偏东 75°方向，再经过半小时，到达 处，发现小岛 在其东北方向，则 处离小岛 的距离
为 海里．
14.如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体(由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等)若该正
八面体的表面积为 32 3cm2，则该正八面体外接球的体积为 cm3；若在该正八面体内放一个球，则该
第 2页，共 8页
球半径的最大值为 cm．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = 3sin , cos ， = cos , cos ，函数 ( ) = 2 1．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)当 ∈ π6 ,
π
2 时，若 ( ) = 1，求 的值．
16.(本小题 15 分)
在 中，角 、 、 所对的边为 、 、 ，2 = 2 cos ．
(1)求角 的大小；
(2) 3若 面积为 4 ，周长为 5，求 的值．
17.(本小题 15 分)
如图正方体， 1 1 1 1的棱长为 2， 是线段， 1的中点，平面 过点 1、 、 ．
(1)画出平面 截正方体所得的截面(保留作图痕迹)，并求该截面多边形的面积；
(2)平面 截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = log 22 + 1 ．
(1)若 ( )在[2, + ∞)上单调递增，求 的取值范围；
(2)设 ( ) = 4 2 +1，若对于任意 1 ∈ (0,1)，存在 2 ∈ [ 1,1]，使得不等式 1 ≥ 2 成立，求 的
取值范围．
第 3页，共 8页
19.(本小题 17 分)
若在定义域内存在实数 0，使得 0 + 1 = 0 + (1)成立，则称函数有“飘移点” 0．
(1) 1函数 ( ) = 是否有“飘移点”？请说明理由；
(2)证明函数 ( ) = 2 + 2 在(0,1)上有“飘移点”；
(3) 若函数 ( ) = lg 2+1 在(0, + ∞)上有“飘移点”，求实数 的取值范围．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 65
13.6 6
14.64 2 2 63 ； 3
15.解：(1) ∵ = 3sin , cos ， = cos , cos ，
∴ = 3sin cos + cos2
∴ ( ) = 2 1 = 2 3sin cos + 2cos2 1 = 3sin2 + cos2 = 2sin 2 + π6 ．
即 ( ) = 2sin 2 + π6
∴ ( )的最小正周期是π．
(2) ( ) = 1 sin 2 + π = 1由 ，得 6 2，
∵ ∈ π , π ∴ 2 + π ∈ π , 7π6 2 ， 6 2 6 ，∴ 2 +
π = 5π π6 6，∴ = 3．
16.(1)由已知结合正弦定理边化角可得，2sin sin = 2sin cos ．
又 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
代入整理可得，2cos sin sin = 0．
1
因为 sin ≠ 0，所以 cos = 2．
第 5页，共 8页
又 0 < < π π，所以 = 3．
(2) 1 3 π由 = 2 sin = 4 及 = 3可得， = 1．
又周长为 5，则 + + = 5，所以 + = 5 ．
π
根据余弦定理可得， 2 = 2 + 2 2 cos 3 = ( + )
2 3 = (5 )2 3，
11
整理可得， = 5．
17.(1)如图，取 的中点 ，连接 、 1 、 ．
因为 是 1的中点，所以 // 1 ．
在正方体 1 1 1 1中， 1 1// ， 1 1 = ，
所以四边形 1 1是平行四边形，所以 1 // 1 ，所以 // 1 ，
所以 、 、 、 1四点共面．
因为 、 、 1三点不共线，所以 、 、 、 1四点共面于平面 ，
所以面 1即为平面 截正方体所得的截面．
截面 2 21为梯形， = + = 1 + 1 = 2，
1 = 2 + 2 = 4+ 4 = 2 2， = 21 1 1 1 + 1 2 = 4 + 1 = 5，
同理可得 = 5，
如图所示：
分别过点 、 在平面 1 内作 ⊥ 1， ⊥ 1，垂足分别为点 、 ，
则 1 = ，∠ 1 = ∠ ，∠ 1 = ∠ = 90 ，
第 6页，共 8页
所以 1 ≌△ ，则 1 = ，
因为 /\ !/ 1， ⊥ 1， ⊥ 1，则四边形 为矩形，
所以， = = 2，则 1 = =
1 = 2 2 2 = 22 2 2 ，
= 2 2 = 5 1 = 3 2所以 1 1 2 2 ，
= 1 1 3 2 9故梯形 1的面积为 2 + 1 = 2 × 3 2 × 2 = 2
(2)易知多面体 1 1 2 11 为三棱台， = 2 = 2 × 1 = 2，
1 1 2 1 = 2 1 = 2 × 2 = 2，
该棱台的高为 2，所以，该棱台的体积为
1 + 1 1 1 73 1 + 1 = 3 2+ 2 + 2 × 2 × 2 = 3，
7 17
故剩余部分的体积为 8 3 = 3．
7
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为17．

18.(1)若 ( )在[2, + ∞) ≤ 2 5上单调递增，则需满足 2 ，解得 <
22 2 + 1 > 0 2
(2) ( ) = 4 2 +1 = 2 2 2 × 2 = 2 1 2 1，
1
由于 2 ∈ [ 1,1]，2 2 ∈ 2 , 2 ，故 2 ∈ [ 1,0]，
由于对于任意 1 ∈ (0,1)，存在 2 ∈ [ 1,1]，使得不等式 1 ≥ 2 成立，故 1 ≥ ( )min，因此 ( ) ≥
1 对任意的 ∈ (0,1)恒成立，
因此 2 + 1 ≥ 1 2 12 + 2 ≥ 0 对任意的 ∈ (0,1)恒成立，
故 ≤ 2 + 12 ≤ +
1
2 对任意的 ∈ (0,1)恒成立，
1 1 2
由于 + 2 ≥ 2 2 = 2，当且仅当 = 2 时取到等号，
故 ≤ 2
19.(1)不存在，理由如下：
对于 0 + 1 = 0 + (1)
1
，则 = 1 + 1，整理得 2 +1 0 + 0 + 1 = 0，0 0
∵ = 1 4 = 3 < 0，则该方程无解，
第 7页，共 8页
∴ 1函数 ( ) = 不存在“飘移点”．
(2)对于 + 1 = + (1)，则 + 1 2 + 2 0+10 0 0 = 2 10 + 2 0 + 3，整理得2 0 + 0 1 = 0，
∵ ( ) = 2 1 + 1 在(0,1) 1内连续不断，且 (0) = 2 < 0, (1) = 1 > 0，
∴ ( )在(0,1)内存在零点，则方程2 0 1 + 0 1 = 0 在(0,1)内存在实根，
故函数 ( ) = 2 + 2 在(0,1)上有“飘移点”．
2 2
(3)对于 0 + 1 = 0 + (1)，则 lg

+1 2+1 = lg 2 + lg

2 = lg
= ，即 ，
0 0+1 2 2+1 0+1
2
0 +1 2
2
0+1
∵ ≠ 0
2
= 0+1 = 1 2 0+1，则2 ， 20+2 0+2 20+2 0+2
1
令 = 2 0 + 1 > 1，则 0 = 2 ，
∴ = 1 2 2 = 1
4 4
1 2+2× 1+2 +2 +5
= 1 ，
+5
2 2
+2
又∵ + 5 + 2 ≥ 2 ×
5 5
+ 2 = 2 5 + 2，当且仅当 = ，即 = 5时等号成立，
0 < 4 4 5 1 3 5 4则
+5
≤ 2 5+2 = 2 ，+2 2
≤ 1 5 < 1，
+ +2
∴ 3 5 2 ≤ 2 < 1，即 3 5 ≤ < 2，
故实数 的取值范围为 3 5, 2 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑