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2024-2025 学年广东省广州二中教育集团高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ≠ 0 是复数 + i( , ∈ R)为虚数的( )
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
2.下列命题中正确的是( )
A.底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C.沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
3.已知向量 = ( 1,1)， = (4,6)，则 在 上的投影向量的坐标为( )
A. 2, 2 B. (1, 1) C. 2, 2 D. ( 1,1)
4.已知三个不共线的向量 ， ， 满足

( + ) = ( + ) = ( + ) = 0，
则 为 的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
5 .如图， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，当 //平面 时， =( )
A. 2 B. 33 2 C. 2 D.
1
2
6.在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，且 ， 是方程 2 6 + 6 = 0 的两个根， = 60°，则
=( )
A. 12 B. 2 3 C. 18 D. 3 2
7.某圆锥的高是底面半径的 3倍，此圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)半径为 1，则该圆锥外
接球的表面积为( )
A. 32π B. 16π C. 32 163 π D. 3 π
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8.若不共线的两个向量 ， 满足| | = | |，则下列结论一定正确的是( )
A. |2 | > |2 | B. |2 | < |2 |
C. |2 | > | 2 | D. |2 | < | 2 |
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知复数 = 23+4i是方程 + + = 0( , ∈ R)的一个根，则下列说法正确的是( )
A. = 625
B.复数 的模为 5
C. 4复数 的虚部为 25 i
D. 3 4方程 2 + + = 0 的另一个根为25 + 25 i
10.如图，在等边 中， = 3，点 在边 上，且 = 2 .过点 的直线分别交射线 ， 于不同
的两点 ， ， = ， = .则以下选项正确的是( )
A. = 2 + 1 3 3 B. cos
, = 714
C. + = 3 D. 1 + 2 8 的最小值是3
11.已知正方体 1 1 1 1中， = 2，点 ， ， 分别是线段 1 1， 1， 的中点．则以下选
项正确的是( )
A.直线 //平面 1 1
B.平面 //平面 1 1
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C.直线 1 、 、 1 1三线共点
D.过 ， ， 三点作正方体的截面，截面的周长为 2 + 2 10．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，已知 = ， = ，任意点 关于点 的对称点为 ，点 关于点 的对称点为 ，则向量
= (用 ， 表示向量 )
13.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若∠ = 45°， = 2， = 3，则∠ = ．
14 1.设 1是虚数， 2 = 1 + 是实数．则 1 1 的取值范围为 ．1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1， 2是夹角为 60°的单位向量，设 = 3 1 + 4 2．
(1)计算 的大小；
(2)设向量 = 1 2，若 与 共线，求实数 的值；
(3)是否存在实数 ，使得 与向量 = 1 + 2垂直，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
16.(本小题 15 分)
已知 地在 地的东北方向，且 ， 两地之间的距离是(4 3 4)km， 地在 地的北偏西 75°方向， ，
两地之间的距离是 8km，现要在 地的北偏东 30°方向建一个高铁站 ，高铁站 到 地的距离恰好是到 地
的距离的 3倍．
(1)求 、 两地之间的距离；
(2)求高铁站 到 地的距离．
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17.(本小题 15 分)
如图，正三棱柱 1 1 1中， 为棱 的中点．
(1)证明： 1//平面 1；
(2) 令三棱锥 1 的体积为 1.多面体 1 1 1的体积为 2，求 1 ．2
18.(本小题 17 分)
已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2sin sin sin = 3(sin2 + sin2 sin2 )．
(1)求 ；
(2)若 = 2，当 的周长取最大值时，求 的面积；
(3)
2 2
求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不
等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一
般形式为：设 1， 2， 3，…， ， 1， 2， 3，…， ∈ R，则( 2 + 2 + + 2)( 2 + 2 + + 2 1 2 1 2 ) ≥ ( 1 1 +
2 2 + + )2 ，当且仅当 = 0( = 1,2, , )或存在一个数 ，使得 = ( = 1,2, , )时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；
(2) ( ) = + 1 2 ，求 ( )的最大值；
(3)设 是棱长为 2的正四面体 内的任意一点，点 到四个面的距离分别为 1， 2， 3， 4，求 21 + 22 +
2 23 + 4的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.60°或 120°
14.(0,2)
15. 1解：(1)由 1， 2是夹角为 60°的单位向量，得 1 2 = ，而 2 = 3 1 + 4 2，
因此| | = 9 21 + 16 2
2 + 24 1 2 = 9+ 16 + 12 = 37．
(2)向量 = 1 2与 = 3 + 4
1 3
1 2共线，则3 = 4 ，所以 = 4．
(3)假定存在实数 ，使得 与向量 = 1 + 2垂直，则 = 0，
即( 1+ 2) (3 1 + 4 2) = 3 1
2 + 4 22 + (3 + 4) 1
3
2 = 3 + 4 + 2 + 2 = 0
10
，解得 = 11，
所以存在实数 10，使得 与向量 = 1 + 2垂直， = 11．
16.解：(1)依题意，在 中， = 4 3 4， = 8，∠ = 120°，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
则 2 = [4( 3 1)]2 + 82 2 × 8 × 4( 3 1) × ( 12 ) = 96，解得 = 4 6，
即村庄 ， 之间的距离为 4 6干米；
(2) 在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
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则 sin∠ = sin∠ = 8× 3 2 4 6 = 2 ，从而∠ = 45°，
则 地在 地的正西方向，由高铁站 在 地的北偏东 30°的方向，得∠ = 120°，
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
而 = 3 ，则 3 2 = (4 6)2 + 2 + 4 6 ，解得 = 4 6，
所以高铁站 到 地的距离 = 12 2千米．
17.解：(1)在正三棱柱 1 1 1中，连接 1 ∩ 1 = ，连接 ，
则 为 1中点，而 为棱 的中点，于是 // 1，又 1 平面 1， 平面 1，
所以 1//平面 1．
(2) 1 ⊥平面 ，由 为棱
1
的中点，得 = 2 ， 1 = 1 = 1，
1 1于是 1 = 3 1 = 6
1
1 = 6 1 1 1 =
1
6 ( 1 + 2)，
1
所以 1 = ．2 5
18.解：(1)在锐角 中，由 2sin sin sin = 3(sin2 + sin2 sin2 )及正弦定理，
得 2 sin = 3( 2 + 2 2)，由余弦定理得 2 sin = 3 2 cos ，
于是 tan = 3 π π，而 0 < < 2，所以 = 3．
(2)由(1)知， = π3，
2
由余弦定理得 4 = 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + 2 )
2 = ( + )4 ，
当且仅当 = 时取等号，解得 + ≤ 4，
因此当 = = 2 时， 的周长 + + 取得最大值 6，
此时 的面积 =
1
2 sin =
3
4 = 3．
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0 < < π
(3)在锐角 2π中， = 3
π
，由 2π，得6 < <
π
2，tan >
3
0 < < 3
，
2
2 2 2 sin( +
π)
2 =

2 = 1
= 1 sin sin = 1
3 = 1 3 1sin 2 2tan ∈ ( 1, 2 )，
2 2 1
所以 2 的取值范围是( 1, 2 )．
19.解：(1)依题意，柯西不等式的二元形式为：
设 1, 2, 1, 2 ∈ ，则( 2 + 2 2 2 21 2)( 1 + 2) ≥ ( 1 1 + 2 2) ，当且仅当 1 2 = 2 1时取等号．
用向量法证明：令 = ( 1, 2), = ( 1, 2)，
由数量积的性质得| || | ≥ | |，当且仅当 // 时取等号，
因此 21 + 22 21 + 22 ≥ | 1 1 + 2 2|，当且仅当 1 2 = 2 1时取等号，
所以( 21 + 22)( 2 2 21 + 2) ≥ ( 1 1 + 2 2) ，当且仅当 1 2 = 2 1时取等号．
(2) (1) ( ) = 1由 知， 2 + 1 1 2 ≤ [( 1 )2 + 12][( 2 )2 + ( 1 2 )2] = 62 2 2 ，
当且仅当 2 = 12 1 2
1
，即 = 6时取等号，
( ) 6所以 的最大值是 2 ．
(3)取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
过点 作 ⊥平面 ，则点 在 上，且 = 2 ，
2 6
因为 = = 2 ，由勾股定理得 =
2 2 = 2 ，
= 23 =
6 2 2 3
3 ，故 =
2 2 = 2 3 = 3 ，
则正四面体 的体积 = 1 1 13 = 3 × 2 × 2 ×
6 × 2 3 12 3 = 3，
由正四面体 的体积 = + + + ，
1 1 3 2 2 3
得3 = 3 × 4 × 2 1 + 2 + 3 + 4 ，所以 1 + 2 + 3 + 4 = 3 ，
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又由柯西不等式得
21 + 2 2 22 + 3 + 4 (1 + 1 + 1 + 1) ≥ 1 + 1 + 2 21 2 3 1 + 4 1 = 1 + 2 + 3 + 4 ，
则 2
2
1 + 2 2 22 + 3 + 4 ≥
1+ 2+ 3+ 4 = 14 3，当且仅当 1 = 2 =
3
3 = 4 = 6 时等号成立，
1
所以 2 21 + 2 + 23 + 24的最小值3．
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