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2024-2025 学年天津市南开中学滨海生态城学校高一下学期期中
数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，共 60 分。
1.复数 = 12 在复平面上所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若 1, 2 是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. 1 2 2, 2 2 1 B. 2 1 + 3 2, 3 1 + 2 2
C. 2 2 + 3 1, 6 1 + 4 2 D. 1 2 2, 2
1
2 1
3.在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 = 30 ， = 2， = 2，且 > ，则 =( )
A. 2 3 1 B. 3 + 1 C. 2 2 1 D. 2 + 1
→ →
4.已知向量 = (3, 4)， = (6, 3)， = (2 , + 1).若 // ，则实数 的值为( )
A. 1 3 15 B. 5 C. 3 D. 7
5.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ， ，则 //

6 .若向量 = (2,2)，向量 满足 ⊥ ，则2在 上的投影向量的坐标为( )
A. 1 , 14 4 B.
1 1
2 , 2 C. (1,1) D. (2,2)
7.如图，在正三棱柱 1 1 1中，若 = 2 2， 1 = 2，则 1与 1所成角的大小为( )
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
8.已知三棱锥 的四个面均为直角三角形， ⊥平面 ， = = 4， = 6，则三棱锥
外接球的表面积为( )
A. 12π B. 24π C. 32π D. 52π
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9.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为( )
A. 2 3 B. 13 C. 15 D. 17
10.如图，在透明塑料制成的长方体 1 1 1 1容器内灌进一些水，将容器底面一边 固定于地面上，
再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法中错误的是( )
A.有水的部分始终是棱柱形； B.水面 所在四边形面积为定值；
C.棱 1 1始终与水面 平行； D.当 ∈ 1时， + 是定值．
11.如图 1 的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图 2 的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，
= 6， 1 1 = 2，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒 28ml，则该方斗
杯可盛该种酒的总容积为( )
A. 74ml B. 76ml C. 104ml D. 112ml
12.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1的中点， 为线段 1上的动点(含端点)，
则下列结论错误的是( )
A.三棱锥 1 的体积为定值
B.直线 与直线 1 [
π π
所成角的取值范围为 4 , 2 ]
C. + 的最小值为 13
D. 3 10若 为线段 1中点，过 ， ， 三点的平面截正方体所得的截面的面积为 2
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二、填空题：本大题共 8 小题，共 40 分。
13 2i+3.设 i 是虚数单位，则复数 = 1 i的共轭复数的虚部为 ．
14 π.已知向量 ， 的夹角为 ，且 = 2，4
= (1,1)，则 + = ．
15.如图， ′ ′ ′是 在斜二测画法下的直观图，其中 ′ ′ = 2 ′ ′ = 4，则 的面积
是 ．
16.一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的(相关尺寸如图)，则该几何体的体积为 ．
17.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , ，已知 = 2,且 cos + cos 2 cos = 0，则
外接圆面积为 ．
18.已知顶点为 的圆锥， 为底面圆的一条直径， 是母线 的中点， 为底面圆的中心， 为线段 的中
点，若 是边长为 2 的正三角形，则 与该圆锥底面所成角的正切值为 ．
19.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体．由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、
十二、二十面体五种．如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一
些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多
面体．古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了 13 种半正多面体(后人称为“阿
基米德多面体”).现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四
面体．设原正四面体的棱长为 6，则所得的截角四面体的表面积为 ，该截角四面体的体积为 ．
20.在 中， = 4, = 3, ∠ = 60 , = 3 , 为线段 上一点． = + 35
，则 = ；
若 在线段 上运动，则 的取值范围是 ．
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三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.（12 分）已知 的内角 , , 的对边分别为 , , .已知 sin = 3 cos ．
(1)求角 ：
(2)若 + = 5, = 7，求 的面积．
22.（12 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 cos = +2 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)设 = 2， = 3．
( )求 的值；
( )求 cos(2 )的值．
23.（13 分）如图，三棱柱 1 1 1中，所有棱长均相等，且 1 ⊥平面 ，点 、 、 分别为所在
棱的中点
(1)求证： //平面 1；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)求直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值．
24.（13 分）如图，在五面体 中，四边形 是边长为 2 的正方形， = 1， = , ∠ = 90°，
= 3．
(1)求证： // ;
(2)求证： ⊥平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正切值．
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参考答案
1.
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10.
11.
12.
13. 52
14. 10
15.8
16.320 3
3
17.4π 43 /3
18. 35
19.28 3 46； 3 2
20.15/0.2
13
； 4 , 3
21.【详解】(1)因为 sin = 3 cos ，由正弦定理得 sin sin = 3sin cos
在 中，sin > 0，则 sin = 3cos ，即 tan = 3, ∈ 0, π ，
= π故 3．
2 2 2 2 2
(2) + 由余弦定值知：cos = 2 =
( + ) 2
2 ，
1 25 2 7
即2 = 2 ，则 = 6，
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1 1
所以 = 2 sin = 2 × 6 ×
3 3 3
2 = 2 ．
22. +2
2 2 2
【详解】(1)因为 cos = 2 得 cos =
+ +2
2 = 2 ；
即 + 2 2 = 2 + 2 2，得 2 + 2 2 = ；
2
cos = +
2 2 = 1所以 2 2，因为 ∈ (0, )；
所以 = 120°．
(2) i 2 = 2 + 2 2 ·cos = 19，则 = 19．
ii cos = +2 = 4 19 132 19 ，则 cos2 = 2cos
2 1 = 19，sin2 =
8 3
19 ．
所以 cos(2 ) = cos2 cos + sin2 sin = 1138．
23.【详解】(1)
连接 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 // ， = 12 ，
又 // 1 1， = 1 1， 为 1 1的中点，
所以 // 1 ， = 1 ，
所以四边形 1为平行四边形，
所以 // 1 ，又 平面 1， 1 平面 1，
所以 //平面 1；
(2)由(1)知 // 1 ，
所以直线 与 所成角就是直线 1 与 所成角，即∠ 1 ，
设三棱柱 1 1 1中棱长为 2，
在 Rt 1 中， = 1， 1 = 2，所以 1 = 5，
1 5
所以 cos∠ 1 = 1
= 5 = 5 ，
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直线 5与 所成角的余弦值为 5 ；
(3)因为 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ⊥ ，
又 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
所以直线 1 与平面 1 1所成角为∠ 1 ，
又 1 = 5， = 3，
所以 = 2 + 21 1 = 2 2，

所以 sin∠ 1 = =
3 6
1 2 2
= 4 ，
6所以直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值 4 ．
24.【详解】(1)由多面体的定义知， , , , 四点共面， , , , 四点共面，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又因为 平面 ，且平面 ∩平面 = ，所以 // ．
(2)取 的中点 ，连接 ，则 = = 1，
由(1)知 // ，所以 // ，又因为 = = 1，所以四边形 是平行四边形，
得到 // ，且 = ，在 Rt 中， 2 + 2 = 2 = 4，
又 = ，得 = 2，所以 = 2，
在 中， = 3， = 1， = 2，所以 2 + 2 = 3 = 2，
所以 ⊥ ，即 ⊥ ，
又因为四边形 是正方形，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(3)连接 ，与 相交于点 ，则点 是 的中点，
取 的中点 ，连接 , ， ，则 // ， = 12 = 1，
由(1)知 // ，且 = 12 ，所以 // ，且 = ，
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所以四边形 是平行四边形，所以 // ，且 = = 1，
由(1)知 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，又因为 ⊥ ， ∩ = , 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，故 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = , 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，故∠ 是直线 与平面 所成的角，
在 Rt 中，tan∠ = | | 2| | = 1 = 2，所以直线 与平面 所成角的正切值为 2．
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