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2024-2025学年天津市西青区杨柳青第一中学高一下学期 4月期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共 9 小题，共 45 分。
1.已知复数 满足 3 + 4i = 5i，则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下列说法正确的个数为( )
①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；
②在 中，“若 sin > sin ,则 > ；
③平面向量 , , ，若 // , // 则 // ；
④若非零向量 , 满足 · > 0 则 与 的夹角为锐角．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.若 、 、 为三条不同的直线， 、 为两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A.如果 ， // ，则 //
B.如果 ， ， // ， // ，则 //
C.如果 // ， ，则 //
D.如果 // ， ， ，则 //
4.在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 =( )
A. 3 1 B. 1 3 C. 3 + 1 D. 1 3 4 4 4 4 4 4 4 + 4
5.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , .若 = 1, = 2 2, = 45°，则 sin =( )
A. 441 B.
4
5 C.
2 5 4 41
5 D. 41
6.如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原平面图形
的面积是( )
A. 2 + 2 B. 1 + 2 C. 1 2 22 + 2 D. 1 + 2
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7.如图，测量河对岸的塔高 时可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ，测得∠ =
15°, ∠ = 30°, = 30m，并在点 测得塔顶 的仰角为 60°，则塔高 等于( )
A. 15m B. 15 2m C. 15 3m D. 15 6m
8.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条
棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面 为矩形， //面 ，
记该刍甍的体积为 1，三棱锥 的体积为 2， = ， =

，若 2 =
2
，则
1 5
=( )
A. 1 B. 12 C.
1
3 D.
2
3
9.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 的面积为 ，2 + = 4， ( + ) sin +
sin + sin = 6 ， = 3 2 ，则 的最小值为( )
A. 2 B. 2 23 C. 3 D.
2 3
3
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。
10 = 1+3 .已知复数 2+ ，则| | = ．
11.已知平面向量 ， ， = 2， = 1 且 与 π的夹角为3，则 + 2
= ．
12.已知底面半径为 1 的圆锥侧面积是它底面积的两倍，则圆锥的体积为 ．
13.已知向量 = ( ,2)且 ≠ 0， = 3, 1 ，若向量 与向量 的夹角是 120°，则 的值是 ；向量
在向量 上的投影向量的坐标是 ．
14.已知 等边三角形，点 是 内一点，且 = + 1，若 + = ，则 ·2
的最小值
为 ．
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15.在 中， = 3， = 2， ， 分别为边 ， 的中点，若点 在线段 上，且 = 3 ， =
+ ，则 = .若∠ = 60°，点 为线段 上的动点，则
的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（14 分）已知复数 = (2 2 3 2) + ( 2 3 + 2) ．
(Ⅰ)当实数 取什么值时，复数 是：
①实数；
②纯虚数；
(Ⅱ) = 0
2
当 时，化简 +5+2 ．
17.（15 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 cos = 0．
(1)求角 的大小；
(2) 6若 = 3， = 2 ，
①求 sin(2 + )的值；
②求 的面积．
18.（15 分）如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥底面 ，且 为正三角形， 1 = = 6，
为 的中点．
(1)求证：直线 1//平面 1
(2)求证：平面 1 ⊥平面 1 1
(3)求 1与平面 1 1所成的角的正切值．
19.（15 分）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为底面中心， 、 分别为 、 的中点，
⊥ ，且 = ．
(1)求证： //平面 ；
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(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 、 分为 、 的中点，点 在线段 上，且 = 3 ．
求证：平面 平行平面 ．
20.（16 分）在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若平面向量 ⊥ ，其中 = 3 , sin ， = cos ,
．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， = 3，求 的面积;
(3)若 = 3 ，求 + 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 2
11.2 3
12. 33 π
13. 2 3； 3, 1
14. 14或 0.25
15. 4 11； 14
16.试题解析：(Ⅰ)①当 2 3 + 2 = 0 时，即 = 1 或 = 2 时，复数 为实数．
1
2 2②当 3 2 = 0
= 2或 = 2
2 时，解得 , 3 + 2 ≠ 0 ≠ 1 且 ≠ 2
即 = 12时，复数 为纯虚数．
(Ⅱ)当 = 0 时， = 2 + 2 ，
2
∴ 8 8 3 4 32 +5+2 = 3+4 = 25 = 25
24
25 ．
考点：复数的代数表示法及其几何意义
17.解：(1)法一：
由 2 + 2 cos = 0，根据正弦定理有 sin 2sin + 2sin cos = 0，
因为 sin = sin( + )，
所以 sin 2sin( + ) + 2sin cos = sin 2sin cos 2cos sin + 2sin cos = 0，
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整理得 sin 2cos sin = 0，
1
因为 sin ≠ 0，所以 cos = 2，
因为 ∈ 0, π π，所以 = 3．
法二：
2 2 2
由 2 + 2 cos = 0，根据余弦定理有 2 + 2 + 2 = 0．
整理得 2 2 + 2 + 2 2 = 0，即 2 + 2 2 = ．
2 2 2
∴ cos = + 2 =

2 =
1
2，
因为 ∈ 0, π π，所以 = 3．
(2)因为 = 3， = 62 ，由(1)
π
知 = 3，
6
= 3①由正弦定理 ， = 2sin sin 3 sin ，∴ sin =
6
4 ，
2
10
又因为 < ，所以∠ 为锐角，∴ cos = 4 ，
所以 sin2 = 2sin cos = 15，cos2 = 1 2sin24 =
1
4，
所以 sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = 154 ×
1 + 12 4 ×
3
2 =
15+ 3
8 ．
②法一：由 2 + 2 cos = 0 = 3 = 6 cos = 10，将 ， 2 ， 4 代入，
6+ 30
解得 = 4 ，
∴ 1 1 6+ 30 6 3 3+3 15 = 2 sin = 2 × 3 × 4 × 4 = 16 ．
法二：∵ sin = sin( + )，
∴ sin = sin cos + cos sin = 6 14 × 2 +
10
4 ×
3 6+ 30
2 = 8 ，
∴ = 1 2 sin =
1 × 3 × 6 × 6+ 30 = 3 3+3 152 2 8 16 ．
18.解：(1)
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设 1 ∩ 1 = ，连接 ，
∵在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥底面 ，且 为正三角形，
∴三棱柱 1 1 1为正三棱柱，侧面 1 1为正方形，
∴ 为 1 的中点，又∵ 为 的中点，∴在 1中有 // 1，
∵ 1 平面 1 ， 平面 1 ，∴ 1//平面 1 ；
(2)连接 ，
∵ 1 ⊥底面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
又∵ 为正三角形， 为 的中点，∴ ⊥ ，
又∵ 1 ∩ = ，又∵ 1 平面 1 1， 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1，又∵ 平面 1 ，∴平面 1 ⊥平面 1 1；
(3)由(2)可知 ⊥平面 1 1，∴ 1即为 1在平面 1 1内的射影，
∴ ∠ 1 即为 1与平面 1 1所成的角，
∵三棱柱 1 1 1为正三棱柱，且 1 = = 6，
∴ = 32 = 3 3， =
2
1 + 21 = 62 + 32 = 3 5，
∴ tan∠ 3 3 151 = = = ．1 3 5 5
19.解：(1)证明：连接 ，则 为 中点，点 为 中点，所以 // ，
因为平面 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
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(2)由(1)得，异面直线 与 所成角即为 与 夹角，
⊥ ， = ，所以 为等腰直角三角形，
设 = = 2，则 = = 1， = 2 2， = 5，
2+ 2 2
在 中，由余弦定理得，cos∠ = 8+5 1 3 102 = 4 10 = 10 ，
3 10
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 10 ．
(3)连接 ，如图所示，因为 、 分别为 、 的中点，
所以 // ，
3因为 为 的中点，所以 = 4 ，
因为点 在线段 上，且 = 3 ，
所以 = 34 ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
同理可得 //平面 ，
又因为 ∩ = ， 、 平面 ，
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所以平面 //平面 ．
20.解：(1)因为 ⊥ ，则 = 0，
又 = 3 , sin ， = cos , ，
所以 = 3 cos sin = 0，
由正弦定理得 3sin cos sin sin = 0，
即 3sin cos = sin sin ，
又 是 内角，则 sin ≠ 0，
所以 3cos = sin ，即 tan = 3，
又 ∈ 0, π π，所以 = 3．
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 3 + 2 3 = 9，解得： = 2 3(负值已舍去)，
∴ 1 1 = 2 sin = 2 × 3 × 2 3 ×
3
2 =
3 3
2 ．
(3)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 2 + 2 = ( + )2 3 = 9，
∴ ( + )2 9 = 3 ≤ 34 ( + )
2(当且仅当 = = 3 时取等号)，∴ + ≤ 6，
又 + > = 3，∴ 3 < + ≤ 6；
( + )2 9

所以 + =
3 + 3
+ = 3 + ，
令 = + ∈ (3,6], ( ) = 33 , ∈ (3,6]，则 ( )在(3,6]上单调递增，
∴ (3) < ( ) ≤ (6) 3 3，即 0 < ( ) ≤ 2，即 0 < + ≤ 2，
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∴ 3 + 的最大值为2．
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