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北师大版2024—2025学年八年级下学期数学第三次月考模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟 范围：第一章到第五章
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图案是中心对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边分别为5cm和12cm，则它的周长是（　　）
A．32cm B．22cm或29cm
C．22cm D．29cm
3．已知a、b、c分别为△ABC的三条边，下列条件不能判别△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．c2﹣a2＝b2
C．∠C﹣∠B＝∠A D．a：b：c＝2.5：6：6.5
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
6．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（　　）
A．24° B．28° C．48° D．66°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥2
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：ma2﹣2ma+m＝　 　．
12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　 　．
13．直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 　 　．
14．一商家进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润不低于15%，则该商品的售价应不低于　 　元．
15．已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则a+b＝ 　 　．
16．如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 　 　．
北师大版2024—2025学年八年级下学期数学第三次月考模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．先化简：，然后从﹣1，0，1，2这四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
18．解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（1）3x＜5（x+2）；（2）．
19．因式分解：
（1）2x2﹣32
（2）4x3y﹣4x2y2+xy3
20．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC内一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转到CE，使∠DCE＝∠ACB，连结AD，DE，BE．
（1）求证：△CAD≌△CBE．
（2）当∠CAB＝60°时，求∠CBE与∠BAD的度数和．
21．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．
23．某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
24．给出定义：如果两个实数m，n使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对＜m，n＞称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当m＝3，n＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
（1）在数对①＜1，0＞；②＜﹣2，3＞；③＜，﹣＞中，　①③　（只填序号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
（2）若数对＜a﹣3，2+a＞是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，求a的值．
（3）若数对＜c+d，d＞（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值．
25．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE，连接BE．
（1）求∠CBE的度数；
（2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°，求线段AE的长；
（3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，点M为CD中点，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N，求线段BN的长．
参考答案
一、选择题
1—10：CDABB ACCCA
二、填空题
11．【解答】解：ma2﹣2ma+m
＝m（a2﹣2a+1）
＝m（a﹣1）2，
故答案为：m（a﹣1）2．
12．【解答】解：∵52+122＝132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为5×12＝30．
13．【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
14．【解答】解：设售价应x元，则（x﹣800）÷800≥15%，解得x≥920元．
15．【解答】解：∵M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
则a+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．【解答】解：，
解不等式x﹣1＜3，得x＜8，
解不等式﹣x＜﹣m，得x＞m，
不等式组的解集是m＜x＜8，
∵不等式组有且仅有4个整数解，这3个整数解是4，5，6，7，
∴3≤m＜4，
故答案为：3≤m＜4．
三、解答题
17．【解答】解：原式
，
∵x不能为±1和2，
∴x只能为0，
当x＝0时，原式．
18．【解答】解：（1）去括号得：3x＜5x+10，
移项，合并同类项得：﹣2x＜10，
系数化为1得：x＞﹣5，
将解集表示在数轴上，如图所示：
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤6，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤6，
如图所示：解集表示在数轴上，
19．【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣16）＝2（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝xy（4x2﹣4xy+y2）＝xy（2x﹣y）2．
20．【解答】（1）证明：由旋转得，CD＝CE．
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE﹣∠DCB＝∠ACB﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE．
∵∠CBA＝60°，CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°．
∴∠CBE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠CAB＝60°．
21．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3），
∵AC，
∴，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积．
22．【解答】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB，
∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD，
即∠ECD＝∠BCA，
由旋转可得CA＝CE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（SAS）．
∴AB＝ED．
（2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，
又CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．
23．【解答】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
由题意得：，
解得：，
答：甲种商品购进120件，乙种商品购进100件；
（2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元，
由题意得：，
解得：a＝30，
经检验，a＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1500÷30＝50（件），
∴50×（30﹣25）+50×（30+8﹣30）＝650（元），
答：超市能从这次销售中获利650元．
24．【解答】解：（1）当m＝1，n＝0时，使得关于x的分式方程的解是＝1成立，所以数对（1，0）是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，故①正确；
当m＝﹣2，n＝3时，使得关于x的分式方程＝1的解是，不是成立，所以数对（﹣2，3）不是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误；
当，时，使得关于x的分式方程的解是x＝成立，所以数对是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确；
故答案为：①③；
（2）根据定义，分式方程＝1的解为，
故，
解得a＝2；
（3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，得关于x的分式方程的解是，回代方程，得c2+cd﹣d＝1，
整理，得（c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0，
∴（c﹣1）（c+d+1）＝0，
∵c≠±1且c≠0，
∴c+d+1＝0，
∴c＝﹣d﹣1，
∵方程dy﹣c+1＝0的解为y＝，
∴，
∵方程有整数解，
∴d＝±1，d＝±2，
当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）；
当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）；
故c＝﹣2或c＝﹣3．
25．【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝120°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°；
（2）过C点作CM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
由（1）知，△ACD≌△BCE，∠CBE＝∠CAD＝30°，
∵∠ACD＝30°，AD＝4，
∴AD＝CD＝CE＝BE＝4，∠ECB＝∠ABC＝30°，
∴CE∥AB，
∵CM⊥AB，EN⊥AB，
∴四边形MNEC是矩形，
∴MN＝CE＝4，
在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，∠CDM＝∠CAD+∠ACD＝60°，
∴∠DCM＝30°，
∴DM＝CD＝2，
同理可得，BN＝BE＝2，
∴NE＝＝2，
∴AN＝AD+DM+MN＝4+2+4＝10，
∴AE＝＝＝4，
即AE的长为4；
（3）连接DP，过点N做NQ⊥PB于Q，
∵AD＝AC，点M为CD中点，
∴AP是CD的垂直平分线，
∴CP＝DP，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCP＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠DPB＝∠PCD+∠PDC＝90°，
∵BD＝2，∠PBD＝30°，
∴DP＝BD＝1，PB＝＝，
设BN＝x，则NQ＝x，BQ＝＝x，
∵∠NPQ＝∠CPM＝45°，
∴PQ＝NQ＝x，
∵PB＝PQ+QB，
∴＝+x，
解得x＝3﹣，
即BN的长为3﹣．
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