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2025几何模型专项训练：四点共圆
一．选择题（共8小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=100°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
2．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=38°，则∠B+∠E=（　　）
A．232° B．212° C．218° D．228°
3．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为（　　）
A．6 B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
5．如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若CO=2，CD=3，则EO FO的值为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．6
6．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（　　）
A．80° B．40° C．100° D．160°
7．如图，△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∠BDC=120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE=6，，则BD的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，则点A′到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
9．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C=100°，BC=CD，则∠A+∠D=______°．
10．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，延长BC，AD交于点E，则AD= ______．
11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC延长线上，若∠A=40°，∠BCE=______．
12．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，AB：AP=，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为 ______．
13．在△ABC中，∠B=60°，∠BCA=20°，∠DAC=20°，∠BCA的平分线交AB于E，连DE，则∠BDE=______．
三．解答题（共5小题）
14．如图，⊙O为正△ABC的外接圆，P为劣弧BC上任一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D．
（1）求∠BPC；
（2）求证：AC2=CP CD．
15．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD=DE；
（2）若∠ABC=60°，AB=2，求阴影部分弓形的面积．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB与DC的延长线交于点E，BC与AD的延长线交于点F．
（1）求证：∠ADB=∠AEF；
（2）若AC⊥BD，AB=6，BF=8，求AC的长．
18．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，如图1，边AD与BC的延长线交点E，AC与BD相交于点F，所对的圆心角的度数为α，所对的圆心角的度数为β，且α＞β．
（1）求证：△ECD∽△EAB；
（2）求∠E的度数（用含α、β的式子表示）；
（3）如图2，当α=2β时．
①若AB=8，，求⊙O的半径；
②记△BCD的面积为S1，△ABE的面积为S2，，cosE=x,当BE=3BC时，求y关于x的函数表达式．
2025几何模型专项训练：四点共圆
(参考答案)
一．选择题（共8小题）
1、C 2、C 3、B 4、D 5、B 6、A 7、C 8、B
二．填空题（共5小题）
9、220； 10、4-； 11、40°； 12、1； 13、20°；
三．解答题（共5小题）
14、（1）解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°，
∵四边形ABPC为⊙O的内接四边形，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴∠BPC=180°-∠A=180°-60°=120°；
（2）证明：∵△ABC为正三角形，
∴AC=BC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
由（1）可知：∠DBC=∠BPC=120°，
又∵BCP=∠DCB，
∴△BPC∽△DBC，
∴=，
∴BC2=CP CD，
即：AC2=CP CD．
15、证明：（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM==∠BAD=60°，
从而∠PBM=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，则．
又，
∴，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．
16、解：（1）如图，连接AD，
∵以腰AB为直径画半圆O，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵△ABC为等腰三角形，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACB，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴CD=DE，
∴BD=DE；
（2）如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F，
∵AB=2，
∴OA=OB=1，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，OA=AE=1，OF=，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=-=．
17、（1）证明：如图1所示，连接BD，连接EF，
由AC为直径，可得∠ADC=∠ABC=90°，
从而∠FDE=∠FBE=90°，取EF中点M，连接MD、MB，
则由斜边中线定理可得DM=FM=ME=BM，
故D、F、E、B四点共圆，
由圆内接四边形性质可得∠AEF+∠BDF=180°，
又∵∠BDF+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠AEF；
（2）∵∠ABF=90°，AB=6，BF=8，
∴由勾股定理可得AF=10，
∵AC⊥BD，
则由垂径定理可知BC=DC，AD=AB=6，
设BC=DC=x,则FC=8-x,DF=10-6=4，
在Rt△DCF中，可得勾股方程：42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
故AC===．
18、（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD+∠ECD=180°，
∴∠BAD=∠ECD．
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB．
（2）解：∵所所对的圆心角的度数为α，所对的圆心角的度数为β，
由圆周角定理可得∠BDA=，∠CBD=，
由外角定理可得∠E=，
（3）解：①作OG⊥AB于H，交⊙O于点G，连接OA，GA，如图1：
∵α=2β，则，
由垂径定理可得，
∴AG=CD=，AH==4，
∴==2，
设⊙O半径为r,则OH=r-2，
在Rt△OHA中，（r-2）2+42=r2，解得r=5，
即⊙O的半径为5．
②当α=2β时，∠E=，∠CAD=，
∵，
∴∠CAD=∠BAG=∠E=，
∴cosE=x=cos∠BAG=．
∵BE=3BC，则EC=2BC，
∴2S△BCD=S△ECD，
∴====，即=2y=，
即y=．

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