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2025几何模型专项训练：手拉手模型-旋转型相似
一．选择题（共10小题）
1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC=90°，AD=4，BC=9，则BD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，Rt△ABC与Rt△EDC，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC=∠DEC且sin∠BAC=，连接AE，若BD=2，AD=7，则AE长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形成立的有（　　）
①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′、CC′，已知AB=c,AC=b,BC=a,则BB′：CC′等于（　　）
A．c：b B．a：b C．c：a D．b：c
5．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（　　）
A．AB：AC B．BC：AC C．AB：BC D．AC：AB
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，连接BD，点E是线段BD延长线上一点，连接AE，CE．使∠CAE=∠CBE，过点C作CF⊥CE，交BD于点F．若∠ABC=α（0°＜α＜90°），则线段AE与BF之间的数量关系为（　　）
A．AE=BF tanα B．BF=AE tanα C．BF=AE cosα D．BF=AE sinα
7．如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线交AD于点F，如果AB=3，BC=4，那么DF的长是（　　）
A．3 B． C． D．
8．如图，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'=，则BE的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
9．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，∠BDC=30°，AD=8，AB=6，则对角线AC的最小值为（　　）
A．2 B．5 C．6 D．5
二．填空题（共5小题）
11．如图，已知∠CAE=∠BAD，添加一个条件使△ABC∽△ADE，你添加的条件是 ______.（写出一个即可）
12．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ______．
13．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=3，AC=4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 ______．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABC=45°，BC=4，CD=1，若将△ADC绕点D逆时针方问旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长是 ______．
15．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和CDE如图放置（其中∠ACB=∠E=90°，AC=BC，CE=DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N两点．请完成下列探究：
（1）若AC=2，则AN BM的值为 ______；
（2）过M作MF⊥AC于F，若=，则的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC和△AED中，AB AD=AC AE，∠BAD=∠CAE．
（1）求证：∠E=∠B．
（2）若S△AED：S△ABC=9：16，DE=6，求BC的长．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若
∠1=∠2．
（1）求证：△ABD∽△EDC．
（2）若∠A=130°，BE=BC，求∠DBC的度数．
18．将大小不同的两块透明等腰三角板ABC和CDE按如图所示摆放，使得它们的直角顶点C重合，小三角板的一个顶点D在大三角板的斜边的斜边AB上，DE与BC相交于点F，连结BE．
（1）证明：△ACD∽△BDF；
（2）若，求△CEF的面积．
19．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．
20．已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE，G，F分别是BC，DE的中点，连接FG．
（1）如图1，当点D在△ABC内部时，求证；
（2）如图2、图3，当点D在△ABC外部时，请直接写出EC与FG的数量关系，不需要证明．
2025几何模型专项训练：手拉手模型-旋转型相似
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、D 3、D 4、A 5、A 6、A 7、D 8、B 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、∠B=∠D（答案不唯一）； 12、； 13、2； 14、； 15、4；；
三．解答题（共5小题）
16、（1）证明：∵AB AD=AC AE，
∴，
又∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，
∴∠E=∠B．
（2）∵S△AED：S△ABC=9：16，
∴=，
∴BC=DE×=6×=8．
17、（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDE，
又∠1=∠2，
∴△ABD∽△EDC；
（2）解：∵△ABD∽△EDC，
∴∠A=∠DEC=130°，
∴∠BEC=50°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=50°，
∴∠DBC=180°-2×50°=80°．
18、（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=∠CEF=45°，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECF+∠DCB，
∴∠ACD=∠ECF，
∴△ACD∽△ECF，
∴∠ADC=∠EFC，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠ADC=∠BFD，
∵∠A=∠DBF，
∴△ACD∽△BDF；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，如图，
∵∠A=45°，
∴△ACG为等腰直角三角形，
∴AG=CG==6，∠ACG=45°，
∵∠ACD=75°，
∴∠GCD=∠ACD-∠ACG=30°，
在Rt△CGD中，CD=2DG，CG2+DG2=CD2，
∴62+DG2=（2DG）2，
解得：DG=或（舍去），
∴CD=2DG=，AD=AG+DG=，
∴CE=，
∴==，
由（1）知，△ACD∽△ECF，
∴==，
∴，
∴．
19、问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE=∠ABD=∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴，
∴=3．
∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴=3．
20、（1）证明：如图1，连接AF，AG．
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．
∵G，F分别为BC，DE的中点，
∴∠GAC=∠FAE=45°，
∴∠CAE=∠GAF，
∵，．
∴．
∴△ACE∽△AGF，
∴．
∴．
（2）如图2，连接AF，AG．
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．
∵G，F分别为BC，DE的中点，
∴∠GAC=∠FAE=45°，
∴∠CAE=∠GAF，
∵，．
∴．
∴△ACE∽△AGF，
∴．
∴．
如图3，连接AF，AG．
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．
∵G，F分别为BC，DE的中点，
∴∠GAC=∠FAE=45°，
∴∠CAE=∠GAF，
∵，．
∴．
∴△ACE∽△AGF，
∴．
∴．
故答案为：
图2：．
图3：．

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