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2025几何模型专项训练：手拉手模型-旋转型全等
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠C=45°，∠B=90°，∠CAD=8°，则旋转角的度数为（　　）
A．98° B．60° C．53° D．45°
2．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则∠ADC的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，B，C，D三点在同一直线上，CE=BC，∠B=∠E添加下列条件仍不能证明△ECD≌△BCA的是（　　）
A．∠A=∠D B．AB=DE C．∠ACB=∠DCE D．AC=CD
4．如图，OB=OD，∠DOB=∠COA，添加下面条件不能判断△OAB≌△OCD的是 （　　）
A．AB=CD B．OA=OC C．∠A=∠C D．∠B=∠D
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，连接AC'、AA'，则∠CAC'的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，B、D、E三点共线，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=（　　）
A．60° B．55° C．50° D．无法计算
7．如图，点B为线段AD上一点，分别以AB和BD为边在线段AD的同侧作两个等边三角形，得到△ABC和△BDE．连接AE，CD，交点为O，则∠AOD的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
8．在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD，当点A，B，D在同一条直线时，下列结论不正确的是（　　）
A．△ABC≌△DEC B．∠BDE=90° C．AD2=2AC2 D．BD=DE+AC
9．如图，边长为8a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A．4a B．2a C．a D．
10．如图，在等边△ABC中，AB=7，D为边BC上一点，BD=2，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到ED，ED交AC于点F，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AC=AD，∠1=∠2，要使△ADE≌△ACB，则需再添加一个条件是 ______（写出一个即可）．
12．如图，平面内三点A、B、C，AB=5，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ______．
13．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=15°，∠2=25°，则∠3=______．
14．如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON=90°，连接MN交OC于P，若BM=2，则OP OC=______．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠DAC=60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE=∠EFC；②ED=EC；③∠ADF=∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且B、D、E三点共线，说明∠3=∠1+∠2，并给出理由．
17．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上；
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
18．如图所示，已知△ABC≌△AEF，∠EAB=25°，∠F=57°，BC交AF于点M，EF交AB于点P．
（1）试说明：∠EAB=∠FAC；
（2）△ABC可以经过某种变换得到△AEF，请你描述这个变换；
（3）求∠AMB的度数．
19．综合实践：等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D为线段BC上不与端点重合的一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转α到AP，连接DP，CP．
问题发现：（1）如图1，若α=60°，请直接写出∠ACP的度数 ______；线段AC，CD，CP之间的数量关系是 ______．
类比探究：（2）如图2，若α=90°，求∠ACP的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系；
拓展延伸：（3）如图3，若α=90°，∠BDC=90°，，当点A到直线BD的距离为1时，请直接写出BD的长．
20．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF于点D，则线段BE与AF的数量关系式是 ______（不需要说明理由）；
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF于点D，请写出BE与AF的数量关系式，并说明理由；
（3）解决问题
如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，若AM=2，AN=1，则AB的长为 ______．
2025几何模型专项训练：手拉手模型-旋转型全等
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、C 2、D 3、D 4、A 5、A 6、B 7、B 8、D 9、B 10、B
二．填空题（共5小题）
11、AE=AB（答案不唯一）； 12、4； 13、40°； 14、20； 15、①②③④；
三．解答题（共5小题）
16、解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠1，
∴∠BAD=∠1，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠2，
∴∠3=∠ABD+∠BAD=∠1+∠2．
17、（1）证明：如图：
由旋转的性质得：∠1=∠B，AD=AB，
∴∠2=∠B，
∴∠1=∠2，
∴DA平分∠BDE．
（2）解：如图，设AC与DE交于点O，
由旋转的性质得：AB=AD，∠3=∠4=α，∠C=∠E，
∵AC⊥DE，
∴∠AOE=90°，
∴∠C=∠E=90°-∠4=90°-α，
∵AB=AD，
∴，
∵∠4=∠B+∠C，
∴，
解得：α=72°，
∴旋转角α的度数为72°．
18、解：（1）∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
∴∠EAB=∠FAC；
（2）∵∠EAB=25°，
∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知，∠EAB=∠FAC=25°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠C=∠F=57°，
∴∠AMB=∠C+∠FAC=57°+25°=82°．
19、解：（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC=BC
由旋转得AD=AP，∠DAP=60°
∴∠BAC=∠DAP=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAP-∠DAC，即∠BAD=∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠ACP=∠B=60°，BD=CP，
∴BC=BD+CD=PC+CD，
∴AC=BC=PC+CD．
故答案为：60°；AC=CD+CP．
（2）由题意得△ABC和△ADP是等腰直角三角形．
同理（1）可得，△BAD≌△CAP，
∴BD=CP，∠ACP=∠B=45°，
∴∠DCP=90°，
∴CP2+CD2=PD2，
在Rt△ADP中，AD2+AP2=PD2，由于AD=AP，
∴BD2+CD2=2AD2．
（3）在等腰直角三角形ABC中，，
∴AB=AC=BC sin45°=3．
如图，当点D在AB左侧时，过点A作AP⊥BD于点P．
∵∠BDC=∠BAC=90°，
∴A，D，B，C四点共圆，
则∠ADC=∠ABC=45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP=PD=1．
在Rt△APB中，
，
∴．
如图，当点D在AC右侧时，过点A作AP⊥BD于点P，同理可得∠ADB=∠ACB=45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP=PD=1．
在Rt△APB中，，
∴，
综上所述：BD的长为或．
20、解：（1）观察猜想：BE=AF．
证明：如图①，连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C=∠B=45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
故答案为：BE=AF．
（2）类比探究：BE=AF．
理由：如图②，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=（180°-90°）=45°，
∵BD=AD，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，
∴∠BAD=∠ABC，
∴AD=BD，
又∠CAD=∠ABC=45°，
∴∠DAF=∠DBE=135°，
∵DE⊥DF，
∴∠BDE+∠BDF=90°，
又AD⊥BC，
∴∠ADF+∠BDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
（3）解决问题：AB=2-1．
理由：如图③，过点M作MG∥BC，交AB的延长线于点G，
∴△AGM为等腰直角三角形，
∴∠G=∠MAN=45°，GM=AM，
∵∠BMN=∠AMG=90°，
∴∠GMB=∠AMN，
∴△BMG≌△NMA（ASA），
∴AN=BG=1，
∵AM=GM=2，
在Rt△AMG中，AG==2，
∴AB=AG-BG=2-1．
故答案为：2-1．

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