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2025几何模型专项训练：倍长中线模型
一．选择题（共9小题）
1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5
2．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=3，AC=5，则AD的取值范围是（　　）
A．AD＞1 B．AD＜4 C．1＜AD＜4 D．2＜AD＜8
3．如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是边BC上的中线，则AD的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜6 B．1＜AD＜3 C．2＜AD＜4 D．1＜AD＜6
4．在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定
5．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=4，AC=2，则AD的取值范围是（　　）
A．1＜AD＜3 B．2＜AD＜4 C．2＜AD＜6 D．2＜AD＜3
6．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x,则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
7．在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD的取值范围是（　　）
A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5
8．老师布置的作业中有这么一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3，AD=4．则AB的长不可能是（　　）
A.5 B.7 C.8 D.9
甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边BC上一动点，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，则关于∠AEF与∠BED之间的大小关系的描述，正确的为（　　）
A．当CD＞DB时，∠AEF＞∠BED B．当CD＞DB时，∠AEF＜∠BED
C．∠AEF=∠BED恒成立 D．∠AEF≠∠BED恒成立
二．填空题（共6小题）
10．△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是______．
11．在△ABC中，已知AB=3，AC=5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是______．
12．如图，△ABC中，AB=6，AC=4，D是BC的中点，AD的取值范围为 ______．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB=10，AM=2，则CM=______．
14．如图，在 ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则的值是 ______．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI=5，CJ=4，则四边形AJKL的面积是 ______．
三．解答题（共6小题）
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
（1）若∠B=∠C，求证：AB=DC；
（2）若E是CD的中点，AB⊥AE，且AB=4，AE=5，求四边形ABCD的面积．
17．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF=DE．
求证：BE∥CF．
18．（1）如图1，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求证：AD=AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP=BC．求证：PE=BE．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∠ACF=∠DBF，∠FBC+2∠ABF=90°，若BC=12，求DF的长．
20．如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接DC，BE．
（1）若∠AEB=90°，求∠ADC的度数．
（2）如图2，连接BD、CE，若点F是BD的中点，连接AF，求证：CE=2AF．
21．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ______；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，△ABC和△ADE中，AD=DE，AB=BC，∠EDA=∠ABC=90°，点M为EC的中点，点E在线段CA的延长线上．请判断线段DM与线段BM的关系，说明理由．
2025几何模型专项训练：倍长中线模型
(参考答案)
一．选择题（共9小题）
1、C 2、C 3、B 4、C 5、A 6、D 7、C 8、D 9、A
二．填空题（共6小题）
10、2＜AD＜5； 11、1＜AD＜4； 12、1＜AD＜5； 13、； 14、； 15、80；
三．解答题（共6小题）
16、（1）证明：如图，延长BA，CD相交于点G，
∵∠B=∠DCB，
∴GB=GC，
∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠B，∠GDA=∠DCB，
∴∠GAD=∠GDA，
∴GA=GD，
∴GB-GA=GC-GD，
即AB=DC．
（2）解：延长AE交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴EF=AE=5，
∴AF=2×5=10，
∴S四边形ABCD=S△ABF=AB AF=×4×10=20．
17、证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED=∠CFD，
∴BE∥CF．
18、证明：（1）在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°-60°-80°=40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=BAC=20°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°，
∵∠C=80°，
∴∠C=∠ADC，
∴AD=AC；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
∵AD=CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF=BC，
∵AP=BC，
∴AP=AF，
∴∠APF=∠F，
∵∠APF=∠BPE，∠F=∠DBC，
∴∠BPE=∠PBE，
∴PE=BE．
19、解：延长FD到G，使DG=DF，连接BG，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵∠BDG=∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴∠G=∠DFC．
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴CD=AD=BC=×12=6，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠DCA，
设∠ABF=α，
∵∠FBC+2∠ABF=90°，
∴∠FBC=90°-2∠ABF=90°-2α，
∴∠ABC=∠FBC+∠ABF=（90°-2α）+α=90°-α，
∵在△ABC中，∠ABC=90°-∠ACB，
∴∠ACB=α，
∴∠DAC=∠DCA=α，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-α，
∴∠ABF+∠BAD=α+（90°-α）=90°，
∴△ABF是直角三角形，∠AFB=90°，
∴BF⊥AG．
∵∠DFC=∠AFE（对顶角相等），∠G=∠DFC，
∴∠G=∠AFE，
∵∠AFE=∠FAC+∠ACF=α+∠DBF=α+（90°-2α）=90°-α，
∴∠G=90°-α，
∵∠BAD=90°-α，
∴∠G=∠BAD，
∴AB=GB（等角对等边），
又∵BF⊥AG，
∴AF=FG（三线合一），
又∵DG=DF，
∴AF=FG=2DF，
∴AD=3DF，
∴DF=AD=×6=2．
20、（1）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠ADC=90°；
（2）证明：如图2中，延长AF到G，使得FG=AF，连接BG，
∴AG=2AF，
∵BF=DF，∠AFD=∠BFG，
∴△BFG≌△DFA（SAS），
∴BG=AD=AE，∠FBG=∠ADF，
∴AD∥BG，
∴∠BAD+∠ABG=180°，
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAD+∠EAC=180°，
∴∠ABG=∠EAC，
∵AB=AC，BG=AD，
∴△ABG≌△CAE（SAS），
∴AG=CE，
∴CE=2AF．
21、（1）解：如图①，延长AD到点E使DE=AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
又∵∠BDE=∠CDA，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，
即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8；
（2）证明：如图②，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，
由（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+FC＞EF；
（3）解：DM=BM，DM⊥BM，
理由：如图，延长DM到点N，使MN=DM，连接CN，BN，
∵AD=DE，AB=BC，∠EDA=∠ABC=90°，
∴∠E=∠BCM=∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
由（1）可证△DEM≌△NCM（SAS），
∴DE=NC，∠MCN=∠E=45°，
∴AD=CN，∠BCN=∠BCM+∠MCN=90°，
在△BCN和△BAD中，
，
∴△BCN≌△BAD（SAS），
∴BN=BD，∠DAB=∠NBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBN=90°，
∵DM=NM，
∴BM⊥DM，DM=BM．

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