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2025几何模型专项训练：“A”字模型相似三角形
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6，，则DE=（　　）
A． B． C．3 D．2
2．如图，P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ABC∽△ACP的是（　　）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．
3．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
4．如图，点D、E、F分别在△ABC 的边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，下列四个式子中，不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，EG∥BD，FG∥AC，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分的面积为4．若AA′=1，则A′D等于（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：BO为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．2：1 D．4：9
8．如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
9．如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，AF=1，BC=3，则DE的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC，CE与BD相交于点F，G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，MN∥BC分别交AB、AC于点M、N；若AM=1，MB=2，BC=9，则MN的长为 ______．
12．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为 ______．

13．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，连结DE并延长交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，过点E作EF⊥AB于点F．若AF=3，FB=2，则线段BG的长度是 ______．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF=2DF，则的值是______．
15．如图，以线段AB为直径的半圆上有点C，D，且D为的中点，作DE⊥AB于B，交BC延长线于点F，弦AC，BD交于点H，若DH=，AE=2，则DF的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD2=AF AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AGE∽△AFB．
（2）若，GE=2，求BF的长．
18．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF=2∠CAD．
（1）求证：△ABC∽△EFC．
（2）若BE=2DE，=，求的值．
19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，满足∠BAE=∠ACB．连接AE交BD于点F，过点F作FG∥BC交CD于点G．
（1）求证：AF=AD；
（2）求证：△DFG∽△FBA；
（3）若BE=2EF，求的值．
20．如图，矩形ABCD中P为对角线BD上一动点，过P点作PE∥CD交AC于点E，作PF∥AC交AD于点F，连接DE、BE．
（1）若FP=EP，
①求证：DE平分∠BDC；
②求证：；
（2）已知DO=DE=4，且P为DO的中点，求矩形ABCD的周长．
2025几何模型专项训练：A字模型相似三角形
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、C 2、D 3、D 4、B 5、D 6、A 7、A 8、D 9、C 10、B
二．填空题（共5小题）
11、3； 12、6m； 13、2.5； 14、； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、证明：（1）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴；
（2）∵AD2=AF AB，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD．
17、证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠EAG=∠BAF，
∵∠AED=∠ABC，
∴△AEG∽△ABF；
（2）解：∵=，
∴=，
∵△AEG∽△ABF，
∴=，
而GE=2，
∴BF=．
18、（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵点D是BC的中点，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CEF=2∠CAD，
∴∠CEF=∠CAB，
在△ABC和△EFC中，
，
∴△ABC∽△EFC；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，
∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵BE=2DE，
∴，即DE=，
∵HF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴，
∵=，
∴，
∴，
∵HF∥BC，
∴△HFG∽△DEG，
∴，
由上述知，DE=，，
∴=．
19、（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵FG∥BC，
∴∠FGA=∠ACB，
∵∠BAE=∠ACB，
∴∠BAE=∠ACB=∠FGA，
∵∠AFD=∠BAE+∠ABD，∠ADB=∠CBD+∠ACB，
∴∠AFD=∠ADB，
∴AF=AD；
（2）证明：∵FG∥BC，
∴∠CBD=∠DFG，
∴∠ABD=∠DFG，∠BAE=∠FGD，
∴△DFG∽△FBA；
（3）∵∠BFE=∠AFD=∠ADF，∠ABD=∠EBD，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
又由（1）可得AD=AF，
∴．
由（2）知△DFG∽△FBA，
故=．
20、（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵PF∥AC，
∴∠PFD=∠OAD，∠PFD=∠PDF，
故PF=PD，
∵FP=EP，
故PD=PE，
故∠PDE=∠PED，
∵PE∥CD，
∴∠PED=∠CDE，
∴∠ODE=∠CDE，
∴DE平分∠BDC；
②证明：∵PE∥CD，
∴△OPE∽△ODC，
∴，
∵AB=CD，OP=OD-PD=OA-PF，PE=OF，
∴，
整理可得：；
（2）如图a所示，作DG⊥AC于点G，
∵DO=DE=4，且P为DO中点，
故PO=PD=2，OC=OD=4，
∵△OPE∽△ODC，
∴，即，OE=2，
故EC=OC-OE=2，
∵DG⊥AC，
∴OG=EG==1，
∴DG==，GC=GE+EC=1+2=3，
∴CD=，
AD=，
故矩形ABCD的周长=2（AD+CD）=2（）=．

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