资源简介

2025几何模型专项训练：“8”字模型相似三角形
一．选择题（共10小题）
1．如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA=6，OC=3，OD=2，则OB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）
A．（-3，-3） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（-6，-3）
3．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B'的高度为（　　）
A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm
4．如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，阴影部分的面积是2，则正方形ABCD的边长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE交AC于点F，则的值是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=8，则A′B′的长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．15
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m,△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（　　）
A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=10
8．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=6cm,动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），则AC的长为（　　）
A．2cm B．12cm C．18cm D．24cm
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接CE交BD于点F，若AC=8，OF=3，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．10 B． C． D．
10．在矩形ABCD中，连接AC，过点B作BH⊥AC于点H交AD于点I，AE平分∠BAC分别交BH、BC于点P、E，BF平分∠IBC分别交AC、DC于点G、F，已知AB=4，tan∠BAE=，对下列说法中，①△ABP≌△AGP；②四边形BPGE的面积是；③sin∠HPG=；④FC=2FD．⑤连接FH，则FH∥BC，正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB，CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线．若EF=3，则AC的长为 ______．
12．如图所示，△ABC中，D、E为BC，AB上的两点，且AB=3BE，S△ABD=S△ADC，若△ABC面积为30，则四边形ODBE的面积为 ______．
13．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，连结DE并延长交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，过点E作EF⊥AB于点F．若AF=3，FB=2，则线段BG的长度是 ______．
14．如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．若，则的值为 ______．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于点E，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM=m,GH=n.
（1）∠DCN= ______．
（2）线段CN的长为 ______．（用含m,n的代数式表示）#ZZ01A
三．解答题（共6小题）
16．如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO=BO=50cm,CO=DO=30cm.
（1）若CD=40cm,求AB的长；
（2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度∠AOB=106°，求AB距离地面的高．（结果保留整数）（参考数值sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC延长线上一点，D为BC下方一点，连接DE，DE=AB，过点D作DF⊥DE交BE于点F，且FB=CE．
（1）求证：∠ACB=∠DFE；
（2）连接AD交BC于点G，若AG=5，求AD的长．
18．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF=2∠CAD．
（1）求证：△ABC∽△EFC．
（2）若BE=2DE，=，求的值．
19．（2022秋 长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB=2：3．
（1）若CE=4，求AE的长；
（2）若CD=6，求AB的长；
（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．
20．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2=BF BD，求证：DF=BE．
21．在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°，∠BAC=∠BED=α，点D在线段AC上．
（1）【特例证明】如图（1），当α=30°时，ED⊥AB，证明：AE⊥AC；
（2）【类比探究】如图（2），当α≠30°，点D是线段AC上任一点时，证明：
①△BDF∽△EAF；
②AE⊥AC；
（3）【拓展运用】如图（3），当α=45°时，，AE=12，求BC长．
2025几何模型专项训练：8字模型相似三角形
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、C 4、B 5、B 6、C 7、B 8、C 9、D 10、C
二．填空题（共5小题）
11、4； 12、7； 13、2.5； 14、； 15、45°；2n+m；
三．解答题（共6小题）
16、解：（1）∵AO=BO=50cm,CO=DO=30cm,
∴△AOB与△COD是等腰三角形，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△ABO∽△DCO，
∴，
∴AB=，
即AB的长为cm；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，如图，
∵∠AOB=106°，△AOB与△COD是等腰三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D==37°，
在Rt△DOF中，
OF=OD sin37°≈30×0.60=18（cm），
在Rt△BOE中，
OE=OB sin37°≈50×0.60=30（cm），
∴EF=OE+OF=30+18=48（cm），
∴AB距离地面的高为48cm.
17、（1）证明：∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°，
又∵FB=CE，
∴BC=EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴∠ACB=∠DFE；
（2）解：由（1）可知∠B=∠E，
又∵∠AGB=∠DGE，
∴△ABG∽△DEG．
∴，
∴AG=DG=5，
∴AD=AG+DG=5+5=10．
18、（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵点D是BC的中点，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CEF=2∠CAD，
∴∠CEF=∠CAB，
在△ABC和△EFC中，
，
∴△ABC∽△EFC；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，
∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵BE=2DE，
∴，即DE=，
∵HF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴，
∵=，
∴，
∴，
∵HF∥BC，
∴△HFG∽△DEG，
∴，
由上述知，DE=，，
∴=．
19、解：（1）∵AB∥EF，
∴△CEF∽△CAB，
∴EF：AB=2：3=CE：CA，
∵CE=4，
∴2：3=4：CA，
∴CA=6，
∴AE=CA-CE=6-4=2；
（2）∵AB∥EF∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴AB：CD=AE：CE，
∵EF：AB=2：3=CE：CA，
∴CE：EA=2：1，
∴AE：CE=AB：CD=1：2，
而CD=6，
∴AB=3；
（3）∵△CEF∽△CAB，
∴S△CEF：S△CAB===，
∴=，
∴=，
∴S△CEF=．
20、证明：（1）∵DA=DB，EB=EC，
∴=，
∵∠ADB=∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB=∠EBC，=，
∴AD∥EB，
∴∠DAF=∠AEB，∠ADF=∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴=，
∴；
（2）∵BE2=BF BD，
∴=，
∵∠DBE=∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF=∠BDE，
∵∠DAF=∠AEB，
∴∠DAF=∠BDE，
∵∠ADF=∠DBE，AD=DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF=BE．
21、（1）证明：∵∠BAC=∠BED=30°，
又∠BFE=∠DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∴，
∵∠BFD=∠EFA，
∴△BFD∽△EFA，
∴∠BDF=∠EAF，
∴∠BDF+∠BED=90°
∴∠EAF+∠BED=90°，
∴AE⊥AC；
（2）证明：①∵∠BAC=∠BED，
又∠BFE=∠DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∴，
∵∠BFD=∠EFA，
∴△BFD∽△EFA；
②∵△BFD∽△EFA，
∴∠BDF=∠EAF，
∵∠BDF+∠BED=90°，
∴∠EAF+∠BED=90°，
∴AE⊥AC；
（3）解：∵，
∴设AF=3a,BF=5a,则AB=8a,
∵∠BDF=∠BAD=45°，
又∵∠DBA=∠DBA，
∴△BFD∽△BDA，
∴BD2=BF BA，
∴，
∵在等腰Rt△ABC中，AB=8a,
∴，
在Rt△BCD中，，，
∴，
∴，
在等腰Rt△BDE中，，
∴，
由（2）知AE⊥AC，
在Rt△DAE中，，，
∴，
∵AE=12，
∴，
∴．

展开更多......

收起↑