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人教版八年级下 第17章 勾股定理 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（　　）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．、、 D．5、12、13
2．如图每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
3．如图，一块四边形ABCD，已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°，AB=13m,BC=12m,则这块地的面积为（　　）m2．
A．24 B．30 C．48 D．60
4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．分别以AC、BC、AD、BD为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为15、30、38．那么最小的正方形面积（　　）
A．5 B．6 C．7 D．7.5
6．如图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A．2 B． C． D．
7．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB=10cm,BC=6cm,则GH的长度为（　　）
A． B． C．3cm D．
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH=1，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．10 B． C． D．
11．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．若AH⊥HF，AB=5，则阴影部分的面积为（　　）
A．5 B．7 C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF=4，，则AC=（　　）
A．1 B．2 C． D．
二．填空题（共5小题）
13．直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ______．
14．如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ADB=∠CBD=90°，∠BDC=2∠ABD．已知E是BC边上的一点，连接DE，过点E作EF⊥CD于点F，且BE=EF．若BD=3，CD=5，则AB的长为______．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ______．
16．如图，在△ABC中，线段CF、BE交于点O，E、F、H分别在线段AC、AB、BC上，BF=AB且EH⊥BC于H．若AB=4，BC=14，EH=4，则△ABC的面积为 ______，AO的长度为 ______．
17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠D=90°，连接AC，点F为边CD上一点，连接BF交AC于点E，AB=AE，∠FGC+∠FBG=90°，∠BFG+2∠GFC=180°，点AD=，BG=4，则CG的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13．
（1）求BC长；
（2）求图中阴影部分的面积．
19．如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，OR⊥AB于点R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求证：OP=OQ=OR；
（2）求线段BP，CQ，AR的长；
（3）若BO的延长线交AC于点E，CO的延长线交AB于点F，且∠BAC=60°，求证：OE=OF．
20．定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,且a,b,c满足ac+a2=b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC＞AB，求∠C的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠ACB＞∠A，D是AB上的点，连接CD，满足AD=CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．求证：△ABC为“类勾股三角形”．
21．如图，A、B、C、D是几个城市，AB、BC、AC、AD、CD是几条即将修建的公路，经测量：∠ACB=90°，∠CBA=30°，CD∥AB，AD=AC，AB长为20公里．
（1）求∠ADC的度数；
（2）甲施工队沿A-C-D方向施工，每公里造价3000万元，乙施工队沿AD方向施工，H为线段AD的中点，H处附近因条件限制只能以H为圆心、HE为半径修半圆形公路，AE、DG每公里造价3500万元，半圆形公路每公里造价5000万元．甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元，求HE的长（π≈3.14）．
22．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=10，BC=17，AB=21，设AH=x,可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．
人教版八年级下 第17章 勾股定理 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、A 4、D 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、C 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、； 16、84；； 17、8；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3，
∴BC===5，
答：BC长是3；
（2）∵AB=13，AC=12，
∴AC2+BC2=122+52=144+25=169=132=AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴S阴影=S△ACB-S△BDC=×5×12-×4×3=24．
故图中阴影部分的面积为24．
19、（1）证明：∵OB平分∠ABC，OP⊥BC，OR⊥AB，
∴OP=OR，
同理，OR=OQ，
∴OP=OQ=OR；
（2）解：∵∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴O是△ABC的内心，
∴BR=BP=x,AR=AQ=y,CQ=CP=z,
则，
解得，，
∴BP=3；CQ=5；AR=4；
（3）证明：由（1）得OR=OQ，
∵O是△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠ROQ=∠FOE=120°，
∴∠ROF=∠QOE，
∴△ROF≌△QOE（AAS），
∴OE=OF．
20、（1）解：设BC=a,AC=b,AB=c,
有条件可知ac+a2=b2，
∵AB=BC，
∴a=c,
∴c2+a2=b2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°；
（2）证明：设BC=a,AC=b,AB=c,
∵AD=CD，
∴∠A=∠DCA，
∴∠CDB=∠A+∠DCA=2∠A，
由条件可知∠B=∠CDB，
∴CD=CB=a,
∴AD=CD=a,
有条件可知，
在Rt△AEC中，，由勾股定理得：，
在Rt△CED中，由勾股定理得，
∴，
∴b2=a2+ac,
∴△ABC为“类勾股三角形”．
21、解：（1）∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC=60°，
∵AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=60°；
（2）∵AB=20公理，
∴AC=CD=10公理，
∴甲工程队总造价为（10+10）×3000=60000万元，
设HE=x,
∵H为线段AD的中点，
∴AH=DH=AD=5公理，
乙施工队的总造价为3500×2（5-x）+万元，
根据题意可得：60000+230=35000+8700x,
解得：x=2.9，
答：HE的长为2.9米．
22、解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2，
也可以表示为ab+ab+c2，
∴ab+ab+c2=a2+ab+b2，
即a2+b2=c2；
（2）设AB=AC=x千米，
∴AH=AB-BH=（x-0.6）千米，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2=CH2+AH2，
∴x2=0.82+（x-0.6）2，
解得x≈0.83，
即CA≈0.83千米，
∴CA-CH≈0.83-0.8≈0.03（千米），
答：新路CH比原路CA少约0.03千米；
（3）∵AH=x,
∴BH=AB-AH=21-x,
∵CH⊥AB，AC=10，BC=17，AB=21，
根据勾股定理：
在Rt△ACH中，CH2=CA2-AH2，
在Rt△BCH中，CH2=CB2-BH2，
∴CA2-AH2=CB2-BH2，
即102-x2=172-（21-x）2，
解得：x=6，
∴AH=6，
∴CH===8．

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