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2025年广东省深圳市罗湖区中考数学复习检测试卷（三）
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个是正确的）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，
下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，
是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．
将数字55000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3． 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1 B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2 D．a8÷a2＝a4
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作，
是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，
再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率（ ）
A． B． C． D．
数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，
再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，
则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，
作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），
连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
10．如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为 .
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点，则 k= ．
如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
15.先化简再求值： 其中
在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，
极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
10 0.05
20 0.10
30 b
a 0.30
80 0.40

请根据所给信息，解答下列问题：
抽取的样本容量为 ，　　 ，　　 ；
(2) 请补全频数分布直方图；
(3) 若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度；
(4) 这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段；
(5) 若成绩在80分以上(包括80分)的为“优良”等，
则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？
某文具店计划用不高于1600元的资金购进甲、乙两款书包共30个．
已知甲款书包每个进价70元，乙款书包每个进价40元．
该文具店最多购进多少个甲款书包？
若该文具店以甲款书包每个100元，乙款书包每个60元的价格将这30个书包全部卖出，
则哪种进货方案能获利最大？最大获利是多少元？
如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，
平分交于点，连结．
求证：是的切线；
当时，求的长．
如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，
连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
① 直接写出线段AE长度的取值范围；
② 判断△GEF的形状，并说明理由．
20. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年广东省深圳市罗湖区中考数学复习检测试卷（三）解答
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个是正确的）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，
下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，
是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．
将数字55000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，
∴，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1 B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2 D．a8÷a2＝a4
【答案】B
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案．
【详解】A．，此选项错误，不符合题意；
B．，此选项正确，符合题意；
C．，此选项错误，不符合题意；
D．，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【分析】由题意可证，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得的长度，继而可得出的长度，根据相似三角形的性质求出的长度，最后即可求出的周长．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
为的角平分线，
，
，，，
，，都是等腰三角形，
又，，
，，
．
，，
由勾股定理可得：，
，
，
．
，
，
的周长．
中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作，
是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，
再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为，，，，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即和《大学》（即的可能结果有2种可能，
（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果），
故选：B．
数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，
再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，
则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
【答案】C
【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故选：C．
如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，
作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），
连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得．
【详解】连接，设交于点H，正方形边长为，
由作图知，，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
方程有两个不相等的实数根，，
，，
即：
解得：，
且．
故答案为：且．
10．如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，由正五边形的性质，可得，再根据扇形的面积公式求解即可，解题关键是掌握扇形面积公式．
【详解】解：正五边形内接于半径为3的，
，
，
故答案为：．
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点，则 k= ．
【答案】4
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质是解题的关键．
过点作轴，垂足为，设，，根据含直角三角形的性质，求得，同理求得，继而求得，即点坐标，进而可求值．
【详解】
解：过点作轴，垂足为，设，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，即，
∴，
在中，即，，
，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

【答案】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握零指数幂和负整指数幂运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．
先计算乘方与开方，并求绝对值和特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
15.先化简再求值： 其中
【答案】， 6
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，
极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委与学校历史教研组组织了一次全校2000名学生参加的“中华名人知多少”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
10 0.05
20 0.10
30 b
a 0.30
80 0.40

请根据所给信息，解答下列问题：
抽取的样本容量为 ，　　 ，　　 ；
(2) 请补全频数分布直方图；
(3) 若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为 度；
(4) 这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段；
(5) 若成绩在80分以上(包括80分)的为“优良”等，
则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)
(4)
(5)1400
【分析】（1）根据的频数和频率计算样本容量，根据和的频率和频数计算a，b；
（2）根据表格数据补全频数分布直方图即可；
（3）根据分数段的频率乘以计算圆心角即可；
（4）根据频数分布直方图得出中间两个数落在的分数段，从而得出中位数所落在的分数段；
（5）利用样本80分以上(包括80分)的频率乘以学校总人数计算即可．
【详解】（1）解：∵的频数为10，频率为0.05，
∴抽取的样本容量为：；
∴，；
故答案为：，，；
（2）根据表格数据补全频数分布直方图如下：

（3）∵对应的频率是，
分数段对应的扇形的圆心角为：
故答案为：；
（4）样本容量是200，根据频数分布直方图可知从小到大排列后，第100个和第101个数据都在这个范围，
∴这次比赛成绩的中位数会落在分数段，
故答案为：；
（5）该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有：
故答案为：1400．
某文具店计划用不高于1600元的资金购进甲、乙两款书包共30个．
已知甲款书包每个进价70元，乙款书包每个进价40元．
该文具店最多购进多少个甲款书包？
若该文具店以甲款书包每个100元，乙款书包每个60元的价格将这30个书包全部卖出，
则哪种进货方案能获利最大？最大获利是多少元？
【答案】(1)最多购进甲书包13个；
(2)购进甲书包13个，乙书包17个时，获利最大；最大获利（元）．
【分析】（1）设购进甲款书包x个，则乙书包个，由题意得，解不等式，求最大整数解；（2）设获利w元，则，运用一次函数的增减性，得时，w取最大值，即购进甲书包13个，乙书包17个时，获利最大，最大值．
【详解】（1）设购进甲款书包x个，则乙书包个，由题意得
∴，取最大整数解，即
∴最多购进甲书包13个．
（2）设获利w元，则
∵
∴时，w取最大值，即购进甲书包13个，乙书包17个时，获利最大，
最大获利（元）．
如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，
平分交于点，连结．
求证：是的切线；
当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，
连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB＝，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
① 直接写出线段AE长度的取值范围；
② 判断△GEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①＜AE≤；②△GEF是等边三角形，见解析；
【分析】（1）由条件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以证明△AEM≌△DFM，就可以得出结论．
（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论．
（3）①当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围．
②过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，证明△AEM∽△HMG，可以得出，从而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出结论．
【详解】解：（1）如图1，
证明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠FMD．
∵AM＝DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE＝DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME＝MG．
∴∠EGM＝45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF．
∴∠EGF＝2∠EGM＝90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3）①当C、G重合时，如图3
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG＝90°．
∴∠AME+∠DMC＝90°，
∴∠AEM＝∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴，
∴，
∴AE＝
∴＜AE≤．
②△GEF是等边三角形．
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图4，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
又∵∠A＝∠GHM＝90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴．
在Rt△GME中，
∴tan∠MEG＝＝．
∴∠MEG＝60°．
　由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF．
∴△GEF是等边三角形．
20. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，
∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，
∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，
∴点A为，
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
联立解析式得：
解得：，
点的坐标为．
（3）又，3，，
，，．
，
．
，，
，．，
．
又，
．
当的坐标为时，．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
∴
．
综上所述，当的坐标为或或时，
以、、为顶点的三角形与相似．
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