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【江苏省各地区真题汇编】二次函数核心考点检测卷-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 苏州二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣2m（其中m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（　　）
A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7
2．（2025 盐城二模）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3
3．（2025 扬州二模）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2025 江宁区校级二模）如图，二次函数y＝2x2与yx2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
5．（2025春 玄武区校级期中）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则函数y＝y1+y2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 梁溪区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象交于两点，这两点的横坐标分别为﹣1和3，则不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
7．（2025 无锡校级二模）下表记录了二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：
x … ﹣2 3 4 …
y … m 0 m …
根据表中信息，当0＜x＜3时，过点（0，n）且平行于x轴的直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1＜n＜0 B． C． D．
8．（2022秋 如皋市校级月考）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共7小题）
9．（2025 扬州二模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，3），当x＝2时，y的值为 　 　 ．
10．（2013秋 仪征市期末）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a2﹣4a+1）都在二次函数y上，Q（m，n）是二次函数y上的点，则4m2﹣2n+1＝　 　 ．
11．（2025春 亭湖区校级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　 ．
12．（2025 姑苏区校级一模）小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　 　 ．
13．（2025 海陵区一模）将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为　 　 ．
14．（2024秋 沭阳县校级期末）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c解集是　 　 ．
15．（2025 铜山区一模）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝3x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，3≤y≤6，即t＝3，所以1≤x≤2是函数y＝3x的“3级关联范围”．函数y＝﹣x2+2x+1（x＜1）的“6级关联范围”是 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2025 新吴区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D（﹣1，3），与y轴交于点E．
（1）求此二次函数的表达式和顶点P的坐标；
（2）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，求EM+ON的最小值．
17．（2025春 玄武区校级期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
18．（2025 江都区二模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
（1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？
（3）网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（2≤m≤7）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？
19．（2013 江苏模拟）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
20．（2025 沭阳县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，连接PB若，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3．求的最小值．
21．（2025 东台市一模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段MN表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点A处安装一个装饰灯，图中∠BAC与抛物线围成的区域是灯的光照范围，∠BAC的度数可以调节．以MN所在直线为x轴，以过点A垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知此拱门的最高点与MN的距离是2米，点A到MN的距离为1米，点A与拱门最高点的水平距离也是1米，点B，C均在此抛物线型拱门上．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）根据设计要求，点B的横坐标为m，点C的横坐标为2m（m＞0），∠BAC的一边需要与x轴平行．问，是否存在满足要求的点B和点C？若存在，请求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2025 沛县二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（3，3），中，是矩形ABCD“梦之点”的是　 　 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是　 　 ，直线GH的解析式是y2＝　 　 ．当y1＞y2时，x的取值范围是　 　 ．
（3）如图②，已知点A，B是二次函数图象上的“梦之点”，点C为二次函数图象上的动点，且位于直线AB上方，连接CA，CB．求△ABC的面积的最大值．
【江苏省各地区真题汇编】二次函数核心考点检测卷-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A B C C C
一．选择题（共8小题）
1．（2025 苏州二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣2m（其中m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（　　）
A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7
【解答】解：由y＝x2+mx+m2﹣2m（其中m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧，
得m2﹣2m＝8，
得m＝﹣2或4（舍），
故二次函数为y＝x2﹣2x+8＝（x﹣1）2+7，
故二次函数有最小值7．
故选：D．
2．（2025 盐城二模）已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立；
当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3，
解得：a＜3，
∴2＜a＜3；
当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立．
综上所述，a的取值范围为a＜3．
故选：C．
3．（2025 扬州二模）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：由题可得：∵A的值始终比B的值大，
∴有x2+a＞2x，
即x2﹣2x+a＞0，
即y＝x2﹣2x+a的函数图象与x轴无交点，
∴Δ＝4﹣4a＜0，
∴a＞1．
故选：D．
4．（2025 江宁区校级二模）如图，二次函数y＝2x2与yx2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【解答】解：根据题意：分别求出A，B，C，D的坐标为：
2x2＝10，
解得：，
∴，
∴，
根据题意得：，
解得：，
∴
∴，
∴，
故选：A．
5．（2025春 玄武区校级期中）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则函数y＝y1+y2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2，
由图象知，a1＞0，b1＜0，c1＞0，a2＞0，b2＜0，c2＜0，|c2|＞|c1|，
∴a1+a2＞0，b1+b2＜0，c1+c2＜0，
∵y＝y1+y2＝（a1+a2）x2+（b1+b2）x+（c1+c2），0，
∴函数y＝y1+y2的图象开口向上，对称轴也在y轴的右侧，开口比函数y1、y2的开口都小，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴只有选项B符合题意，
故选：B．
6．（2025 梁溪区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象交于两点，这两点的横坐标分别为﹣1和3，则不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
【解答】解：画出大致图象如图所示，
由图可得，不等式ax2+bx﹣mx＞n﹣c的解集是﹣1＜x＜3．
故选：C．
7．（2025 无锡校级二模）下表记录了二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：
x … ﹣2 3 4 …
y … m 0 m …
根据表中信息，当0＜x＜3时，过点（0，n）且平行于x轴的直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1＜n＜0 B． C． D．
【解答】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）
∵x＝3时，y＝0，
∴9a﹣6a﹣1＝0，
∴，则，
∴，
∴二次函数图象开口向上，有最小值，
当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，；当x＝3时，y＝0，
∵过点（0，n）且平行于x轴的直线与该二次函数图象有两个公共点，
∴，
故选：C．
8．（2022秋 如皋市校级月考）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴2，
∴2，
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
当x时，y＝ax2+bx+cab+ca+2﹣a＝2a，
∵﹣1＜a＜0，
∴a＞0，
∴ab+c＝2a＞0，③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
9．（2025 扬州二模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，3），当x＝2时，y的值为 　3　 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），
把（0，3）代入得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴函数的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即y＝﹣x2+2x+3，
∴当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
故答案为：3．
10．（2013秋 仪征市期末）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a2﹣4a+1）都在二次函数y上，Q（m，n）是二次函数y上的点，则4m2﹣2n+1＝　3　 ．
【解答】解：由题意得，当x＝a﹣1时，y＝2a2﹣4a+1，
消去a后可得：y＝2x2﹣1，
∵Q（m，n）是二次函数y＝2x2﹣1上的点，
∴2m2﹣1＝n，
∴2m2﹣n＝1，
所以4m2﹣2n+1＝2（2m2﹣n）+1＝3．
故答案为：3．
11．（2025春 亭湖区校级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），顶点坐标为（1，3），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　﹣1＜x＜3　 ．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∵当﹣1＜x＜3时，y＞0，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
12．（2025 姑苏区校级一模）小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　①②③　 ．
【解答】解：①令y＝0，由﹣x2﹣2x+3＝0得x1＝1，x2＝﹣3，
∵﹣2＜x≤2，
∴图象与x轴有一个交点，与y轴的交点为（0，3），
∴故①正确，符合题意；
②由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，该图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣2＜x≤2，
∴当x＝﹣1时，图象取得最大值，故②正确，符合题意；
③由②知，最高点坐标为（﹣1，4）；
当x＝2时，该图象取得最小值，此时最低点坐标为（2，﹣5），
∴两点的距离等于，故③正确，符合题意；
④当y＝3时，由﹣x2﹣2x+3＝3解得x1＝0，x2＝﹣2，但x＝﹣2不在﹣2＜x≤2范围内，
∴直线y＝3与该图象有一个交点，故④错误，不符合题意，
故答案为：①②③．
13．（2025 海陵区一模）将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为　（0，﹣4）　 ．
【解答】解：由题意得，抛物线为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律，∵抛物线向右平移1个单位长度，
∴新抛物线为y＝（x+1﹣1）2﹣4即y＝x2﹣4．
∴顶点坐标为（0，﹣4）．
故答案为：（0，﹣4）．
14．（2024秋 沭阳县校级期末）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c解集是　﹣1＜x＜5　 ．
【解答】解：∵直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（5，q）两点，
∴关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c解集是﹣1＜x＜5
故答案为：﹣1＜x＜5
15．（2025 铜山区一模）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝3x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，3≤y≤6，即t＝3，所以1≤x≤2是函数y＝3x的“3级关联范围”．函数y＝﹣x2+2x+1（x＜1）的“6级关联范围”是 　﹣2　 ．
【解答】解：函数y＝﹣x2+2x+1的对称轴为直线x1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，
∵函数y＝﹣x2+2x+1存在“6级关联范围”时，
∴，
解得，
∴函数y＝﹣x2+2x+1（x＜1）的“6级关联范围”是﹣2，
故答案为：﹣2．
三．解答题（共7小题）
16．（2025 新吴区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D（﹣1，3），与y轴交于点E．
（1）求此二次函数的表达式和顶点P的坐标；
（2）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，求EM+ON的最小值．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），D（﹣1，3）代入y＝ax2+bx+2，
得，
解得，
∴此二次函数的表达式为．
∵，
∴顶点P的坐标为（）．
（2）在第二象限取点H，使EH＝AE，且EH∥x轴，
∴∠HEA＝∠EAB．
∵AM＝EN，
∴△EHN≌△AEM（SAS），
∴HN＝EM．
∴EM+ON＝HN+ON，
可知当点O，N，H在同一条直线上时，EM+ON＝HN+ON＝OH，为最小值．
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣4，0），D（﹣1，3）代入，
得，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+4，
令x＝0，得y＝4，
∴E（0，4），
∴OE＝4．
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴AE，
∴EH，
∴OH，
即EM+ON的最小值为．
17．（2025春 玄武区校级期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：当时，函数表达式为y＝12x+6，令y＝0，得，不符合题意，
当时，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0，得0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得或，
∵，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得或a＝﹣2或或a＝﹣1或a＝0或或a＝1或，
∵a是整数，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
18．（2025 江都区二模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
（1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？
（3）网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（2≤m≤7）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？
【解答】解：（1）由题意得，y＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900；
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+900（40≤x≤61）；
（2）根据题意得，（﹣10x+900）（x﹣30）＝8910，
解得：x1＝63，x2＝57，
∵40≤x≤61，
∴x＝57，
答：当销售单价是57元时，网店每天获利8910元；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W，
根据题意得，则W＝（﹣10x+900）（x﹣30﹣m）＝﹣10x2+（1200+10m）x﹣900（30+m），
∴对称轴为
∵2≤m≤7，
∴
∴当40≤x≤61时，W 随x的增大而增大，
∴x＝61时，W取得最大值，
∴（61﹣30﹣m）（900﹣10×61）＝7830，
解得m＝4．
19．（2013 江苏模拟）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【解答】解：（1）由题知：，
解得：
故所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在符合条件的点F．
∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式是y＝kx+b（k≠0），
把点A、C的坐标代入，得
，
解得，，
∴直线AC的解析式是y＝﹣3x+3．
则设F（x，﹣3x+3）．
①当FD＝FO时，点F是线段OD垂直平分线与直线AC的交点．
∵点D的坐标为（﹣2，0），
∴点F的横坐标是﹣1，则y＝﹣3×（﹣1）+3＝6，即F1（﹣1，6）；
②当DO＝FO时，22＝x2+（﹣3x+3）2．
解得，x1，x2，
则y1，y2，即F2（，），F3（，）．
综上所述，符号条件的点F的坐标分别是：
其坐标为F1（﹣1，6），F2（，），F3（，）．
（3）如图2，过点E作EG⊥x轴于点G，设E（ a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EG＝﹣a2﹣2a+3，BG＝﹣a+3，OG＝﹣a
∴S四边形BOCEBG EG（OC+EG） OG
（﹣a+3） （﹣a2﹣2a+3）（﹣a2﹣2a+6） （﹣a）
a2a（a）2
∴当a时，S四边形BOCE 最大，且最大值为，
而S△BOC值一定，具体求法如下：
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝3，OC＝3，
∴S△BOCOB OC，
则△BCE面积的最大值S＝S四边形BOCE﹣S△BOC．
又∵当a时，﹣a2﹣2a+3＝﹣（）2﹣2×（）+3，
∴点E坐标为 （，）．
20．（2025 沭阳县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，连接PB若，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3．求的最小值．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
设点P（m，﹣m2+3m+4），
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴E（m，﹣m+4），D（m，0），
∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，ED＝﹣m+5，
∵，，
∴3PE＝4ED，
∴3（﹣m2+4m）＝4（﹣m+4），
解得：，m2＝4（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+n，
由条件可得n＝﹣1，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴N（0，﹣1），
∴ON＝1，CN＝OC+ON＝5，
由条件可知∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN，∠PQF＝∠NCB＝45°，
∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（t，﹣t2+3t+4），则Q（t，﹣t+4），PQ＝﹣t2+4t，
∴，
∴，
∴当t＝2时，有最小值．
21．（2025 东台市一模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段MN表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点A处安装一个装饰灯，图中∠BAC与抛物线围成的区域是灯的光照范围，∠BAC的度数可以调节．以MN所在直线为x轴，以过点A垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知此拱门的最高点与MN的距离是2米，点A到MN的距离为1米，点A与拱门最高点的水平距离也是1米，点B，C均在此抛物线型拱门上．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）根据设计要求，点B的横坐标为m，点C的横坐标为2m（m＞0），∠BAC的一边需要与x轴平行．问，是否存在满足要求的点B和点C？若存在，请求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵拱门的最高点与MN的距离是2米，点A到MN的距离为1米，点A与拱门最高点的水平距离也是1米，
∴顶点（1，2），A（0，1），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，把点A的坐标代入得：
1＝a（0﹣1）2+2，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1；
（2）存在满足要求的点B和点C；理由如下：
∵点B的横坐标为m，点C的横坐标为2m（m＞0），
∴B（m，﹣m2+2m+1），C（2m，﹣4m2+4m+1），
∵∠BAC的一边需要与x轴平行，分两种情况讨论：
当AC∥x轴时，得：﹣4m2+4m+1＝1，
解得m＝1或m＝0（不合题意，舍去），
∴B（1，2），C（2，1）；
当AB∥x轴时，得：﹣m2+2m+1＝1，
解得m＝2或m＝0（不合题意，舍去），
∴B（2，1），C（4，﹣7）；
∴C（4，﹣7）在MN下方，不合题意；
综上所述，B（1，2），C（2，1）或B（2，1），C（4，﹣7）．
22．（2025 沛县二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（3，3），中，是矩形ABCD“梦之点”的是　M2　 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是　（2，2）　 ，直线GH的解析式是y2＝　x　 ．当y1＞y2时，x的取值范围是　0＜x＜2或x＜﹣2　 ．
（3）如图②，已知点A，B是二次函数图象上的“梦之点”，点C为二次函数图象上的动点，且位于直线AB上方，连接CA，CB．求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（1）如图：
根据“梦之点”的定义可知，矩形ABCD“梦之点”是M2；
故答案为：M2；
（2）∵点G（﹣2，﹣2）是反比例函数y1图象上的一个“梦之点”，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴y1，
令y1＝x得：x，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴y1＝图象上的另一个“梦之点”H的坐标是（2，2）；
由点G、H的坐标得，直线GH的表达式为：y2＝x；
∵y1＞y2时，x，
①当x＞0时，x2＜4，
∴0＜x＜2，
②当x＜0时，x2＞4，
∴x＜﹣2；
∴y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣2；
故答案为：（2，2）；x；0＜x＜2或x＜﹣2；
（3）∵，令y＝x得xx2+x，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），
作CH∥y轴交AB于点H，
设点C（x，x2+x），则点H（x，x），
则CHx2，
则△ABC的面积CH×（xA﹣xB）（x2）×6x2，
故△ABC的面积的最大值为．
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