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【江苏省各地区真题汇编】三角形核心考点检测卷-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 沛县二模）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠ACF是△ABC的外角，已知∠A＝40°，∠ADE＝60°，则∠ACF的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
2．（2025 无锡校级二模）如图，△PMN中，∠MPN＝90°，PM＝PN，若点P的坐标为（1，0），点N的坐标为（3，5），则点M的坐标为（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣5，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
3．（2025 秦淮区一模）将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（　　）
A．2：1 B．5：2 C． D．
4．（2024春 靖江市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点．点M为AB边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的取值范围为（　　）
A． B．3≤DE＜4 C．3≤DE≤4 D．
5．（2024春 启东市校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
6．（2025春 盐城月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（2023秋 浦口区校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：AC＝BD；
结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
8．（2023秋 南通期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二．填空题（共8小题）
9．（2025 江宁区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝120°，AB＝4．则△ABC面积的最大值是 　 　 ．
10．（2025 工业园区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，点D为BC中点，点P以每秒1个单位的速度从B出发沿B→A→C运动．当△PCD为等腰三角形时，t的值为 　 　 ．
11．（2025 沭阳县校级二模）如图，点A（0，4），点B为x轴上一动点，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，若S△ABC＝8，则线段OC最大值为 　 　 ．
12．（2025 扬州二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　 ．
13．（2025 邗江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是平面内一点，且AE＝3，过点D作DF⊥BE交于点F．当线段AE绕点A在平面内旋转时，线段BF长度的最大值为　 　 ．
14．（2024 亭湖区校级二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝90°，M为BC的中点，点P为平面内一动点，且PM＝BM，射线AP交BC于点D，在点P的运动过程中，当△BPC为等腰三角形时，BD的长为 　 　 ．
15．（2025春 玄武区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为　 　 ．
16．（2023秋 淮安区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　 s时，CF＝AB．
三．解答题（共5小题）
17．（2025 江都区二模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一动点，连接AD，EF垂直平分线段AD，交AD于点E，交AB于点F，连接CE．
（1）用没有刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）探究∠CED与∠BAD的数量关系，并说明理由；
（3）若G是线段DE上一点，且EG＝EF，连接CG，在点D运动的过程中，探究线段CG，FB，BD之间的数量关系，并说明理由．
18．（2025 南通模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．
（1）求证：△ADC≌△FDB．
（2）若BD＝12，AC＝13，求AD的长．
19．（2025 新吴区二模）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以BC为斜边作直角三角形BCD，点D，A在边BC同侧，BD与AC交于点O，连接AD，过A作AE⊥BD于点E．求证：BE＝CD+DE（请根据下面的要求完成证明）．
【解决问题】如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE、CD、DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明BE＝CD+DE的完整过程．
【实践应用】
（1）∠ADC的大小为 　 　 度；
（2）若O是AC的中点，且CD＝3，求四边形ABCD的面积．
20．（2025 徐州校级模拟）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，以AD为直角边向右作Rt△ADE，∠ADE＝90°，∠BAC+2∠DEA＝180°，AE与BC交于点F．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADF＝∠AFD，求∠CAD的度数；
（2）如图2，过点D作DM⊥AC于点M，点N为边AB上一点，过点N作NP⊥AB交AE于点P，连接DP，若AM＝AN，求证：DM+PN＝DP；
（3）如图3，点G为边BC上一点，点D为CG的中点，连接BE，EG，若AB＝AC，求证：BE＝EG．
21．（2025 盐城二模）综合与实践
“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．某校九年级（1）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为146米，半径为70米，该团队分成三组分别乘坐1号A、4号B和10号C轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，请连接AO、BO，则∠AOB＝　 　 °；
（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN．（结果用四舍五入法取整数，1.41）
（4）根据4号和10号轿厢的测量数据，则1号轿厢的测量数据x的值为　 　 .（结果保留根号）
【江苏省各地区真题汇编】三角形核心考点检测卷-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A D B A A C
一．选择题（共8小题）
1．（2025 沛县二模）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠ACF是△ABC的外角，已知∠A＝40°，∠ADE＝60°，则∠ACF的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【解答】解：∵DE∥BC，∠ADE＝60°，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°，
又∵∠ACF是△ABC的外角，∠A＝40°，
∴∠ACF＝∠A+∠ABC＝40°+60°＝100°．
故选：A．
2．（2025 无锡校级二模）如图，△PMN中，∠MPN＝90°，PM＝PN，若点P的坐标为（1，0），点N的坐标为（3，5），则点M的坐标为（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣5，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，2）
【解答】解：如图：过点M作MA⊥AB于点A，过点N作NB⊥AB于点B，
∴∠MAP＝∠PBN＝90°，
∴∠AMP+∠MPA＝90°，
又∵∠MPN＝90°，
∴∠MPA+∠NPB＝90°，
∴∠AMP＝∠NPB，
在△AMP与△BPN中，
，
∴△AMP≌△BPN（AAS），
∴AM＝PB，AP＝BN，
∵点P的坐标为（1，0），点N的坐标为（3，5），
∴AP＝BN＝5，AM＝BP＝3﹣1＝2，
∴OA＝AP﹣OP＝5﹣1＝4，
所以点M的坐标为M（﹣4，2），
故选：D．
3．（2025 秦淮区一模）将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（　　）
A．2：1 B．5：2 C． D．
【解答】解：如图，根据题意可得，△ABC，△DEF是等腰直角三角形，BD＝CD，点B到GH距离与点E到BG距离相等，则GE＝BG，
∴四边形BDEG是菱形，
∴BD＝GE＝GB＝DE，
设AB＝a，
∴根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴较大的和较小的面积的比是2：1，
故选：A．
4．（2024春 靖江市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点．点M为AB边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的取值范围为（　　）
A． B．3≤DE＜4 C．3≤DE≤4 D．
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB10，
∵S△ABCAB CMAC BC，
∴CM，
∴DECM，
当点M与点B重合时，CM最大值8，DE最大值为4，
∵点M为AB边上的动点（不与点B重合），
∴DE＜4．
故选：D．
5．（2024春 启东市校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝18，
∴S2＝9，
由图形可知，阴影部分的面积S2，
∴阴影部分的面积，
故选：B．
6．（2025春 盐城月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝10，则EF的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝20，
∵点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EFAB＝10，
故选：A．
7．（2023秋 浦口区校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：AC＝BD；
结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，故结论Ⅰ正确；
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OCA＝∠MDO，
∴∠MDC＝∠MDO+∠ODC，
∴∠OCD＝∠OCA+∠MCD，
∵∠COD＝180°﹣（∠OCD+∠ODC），∠CMD＝180°﹣（∠MDC+∠MCD），
∴∠CMD＝180°﹣（∠MDO+∠ODC+∠MCD），∠COD＝180°﹣（∠OCE+∠MCD+∠ODC），
∴∠CMD＝∠COD，故结论Ⅱ错误．
故选：A．
8．（2023秋 南通期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA∠CBA，∠OAB∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°∠CBA∠CAB＝180°（180°﹣∠C）＝90°∠C，故①正确；
②∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABCAB×OMAC×ONBC×OD（AB+AC+BC） a＝ab，故③正确．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 江宁区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝120°，AB＝4．则△ABC面积的最大值是 　　 ．
【解答】解：作△ABC的外接圆O，如图，
∵∠C＝120°，
∴点C的运动轨迹为在上运动，
过点O作AB的垂线交于点C′，交AB于点H，则当点C运动到中点C′时，△ABC的面积最大，此时∠AC′O＝60°，
∴∠C′AH＝30°，
∴AC′＝2C′H，
，AH2+C′H2＝2AC′2，
∴22+C′H2＝4C′H2，
∴，
∴△ABC面积的最大值是．
故答案为：．
10．（2025 工业园区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，点D为BC中点，点P以每秒1个单位的速度从B出发沿B→A→C运动．当△PCD为等腰三角形时，t的值为 　或18或19或　 ．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，BC＝10，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝5，
①当点P在BA上时，∠PDC＞∠ADC＝90°，
∴△PCD为等腰三角形时，只有PD＝CD，
∴PD＝BD，
过D作DQ⊥BP于Q，
则BP＝2BQ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在AC上时，
∵△PCD为等腰三角形，
∴CD＝CP或DP＝CP或CD＝DP，
当CD＝CP＝5时，如图，
t＝（12×2﹣5）÷1＝19；
当DP＝CP时，如图，过P作PQ⊥CD于Q，
则，
∵，
∴，
解得CP＝6，
∴t＝（2×12﹣6）÷1＝18；
当CD＝DP时，如图，过D作DQ⊥CP于Q，
则CP＝2CQ，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上，t的值为或18或19或．
11．（2025 沭阳县校级二模）如图，点A（0，4），点B为x轴上一动点，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，若S△ABC＝8，则线段OC最大值为 　　 ．
【解答】解：作△CDB使△CDB≌△BAC，作AE∥x轴交CD于点E，取AE的中点F，连接CF、OF，
∵△CDB≌△BAC，∠BAC＝90°，
∴∠BCD＝∠ABC，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴CD∥AB，∠ACB+∠BCD＝90°，
即∠ACD＝90°，
∵AE∥x轴，CD∥AB，
∴∠ABO＝∠EAB＝∠AEC，
又∵∠AOB＝∠ACD＝90°，
∴△AOB∽△ACE，
∴，即AO AE＝AB AC，
∵S△ABC＝8，
∴，
∴AB AC＝16，
∴AO AE＝16，
∵AO＝4，
∴AE＝16÷4＝4，
∴，
，
∵OC≤OF+CF，
∴．
故答案为：．
12．（2025 扬州二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　50°　 ．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2＝50°．
故答案为：50°．
13．（2025 邗江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是平面内一点，且AE＝3，过点D作DF⊥BE交于点F．当线段AE绕点A在平面内旋转时，线段BF长度的最大值为　　 ．
【解答】解：如图，以A为圆心，以AE长为半径作圆，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝12，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12，
∴BD13，
∵DF⊥BE交BE的延长线于点F，
∴∠F＝90°，
∵cos∠DBF，
∴BF＝13cos∠DBF，
∴当∠BDF最小时，cos∠DBF最大，此时BF的值最大，
∵当直线BE与⊙A相切时，∠ABF最大，此时∠BDF最小，且BE⊥AE，
∴当∠AEB＝90°时，BF的值最大，
∵AB＝5，AE＝3，∠AEB＝90°，
∴BE4，
∵tan∠ABP，cos∠ABP，
∴APAB5，BPAB5，
∴DP＝AD﹣AP＝12，
∵∠FPD＝∠APB，
∴∠PDF＝90°﹣∠FPD＝90°﹣∠APB＝∠ABP，
∴sin∠PDF＝sin∠ABP，
∴PFDP，
∴BF＝BP+PF，
∴线段BF长度的最大值为，
故答案为：．
14．（2024 亭湖区校级二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝90°，M为BC的中点，点P为平面内一动点，且PM＝BM，射线AP交BC于点D，在点P的运动过程中，当△BPC为等腰三角形时，BD的长为 　或3　 ．
【解答】解：∵M为BC的中点，PM＝BM，
∴PM＝BM＝CM＝2，
∴点P在以M为圆心，BC为直径的圆上运动，如图，
∴当△BPC为等腰三角形时，BP＝CP，P为的中点，PM⊥BC，
∴，
①当P在BC的右侧时，
∵∠PMD＝90°＝∠ABD，∠PDM＝∠ADB，
∴△PDM∽△ADB，
∴，即，
解得，；
②当P在BC的左侧时，如图P′，D′，连接BP′，CP′，
同理，P′M⊥BC，，
∵∠P′MD′＝∠ABD′，∠P′D′M＝∠AD′B，
∴△P′D′M∽△AD′B，
∴，即，
解得，BD′＝3，
综上所述，BD的长为或3，
故答案为：或3．
15．（2025春 玄武区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为　　 ．
【解答】解∵△ABC是直角三角形，AE＝EB，
∴CE＝BE＝AE，
∵点O是△ABC的重心，
∴OCCE．
∵∠B＝30°，EF⊥AB，
∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，
∴CMCE，
∴OMCECECE，即OMAE．
∵BE＝AE，∠EAF＝30°，
∴EFAE．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEM＝30°，
∴MFEF，
∴MFAE，
∴．
故答案为：．
16．（2023秋 淮安区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　 s时，CF＝AB．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：2（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
三．解答题（共5小题）
17．（2025 江都区二模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一动点，连接AD，EF垂直平分线段AD，交AD于点E，交AB于点F，连接CE．
（1）用没有刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）探究∠CED与∠BAD的数量关系，并说明理由；
（3）若G是线段DE上一点，且EG＝EF，连接CG，在点D运动的过程中，探究线段CG，FB，BD之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
（2）∠CED＝90°﹣2∠BAD，理由如下：
设∠BAD＝α，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∴∠CAE＝45°﹣α，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝ED，
∴CEAD＝AE，
∴∠CAE＝∠ACE＝45°﹣α，
∵∠CED＝∠CAE+∠ACE，
∴∠CED＝90°﹣2α，
∴∠CED＝90°﹣2∠BAD；
（3）如图2，线段CG，FB，BD之间的数量关系为：BD（FB﹣CG），理由如下：
过点D作DN⊥AB于点N，连接EN，
∴∠DNB＝∠AND＝90°，
∵∠B＝90°，
∴△DNB是等腰直角三角形，
∴DN＝BN，BDBN，
由（2）知：∠CED＝90°﹣2∠BAD，
Rt△AND中，E是AD的中点，
∴ENAD＝AE，
∴∠EAN＝∠ENA，
∵∠DEN＝∠EAN+∠ENA，
∴∠DEN＝2∠BAD，
∴∠CEN＝∠CED+∠DEN＝90°﹣2∠BAD+2∠BAD＝90°，
∵∠FEG＝90°＝∠CEN，
∴∠CEG＝∠NEF，
∵CEAD，ENAD，
∴CE＝EN，
∵EG＝EF，
∴△CEG≌△NEF（SAS），
∴CG＝FN，
∵BN＝FB﹣FN，
∴BD（FB﹣BN）（FB﹣CG）．
18．（2025 南通模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．
（1）求证：△ADC≌△FDB．
（2）若BD＝12，AC＝13，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠FDB＝90°，∠A+∠DBF＝∠A+∠ACD＝90°，
即∠DBF＝∠ACD，
∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，
∴DB＝DC，
在△ADC和△FDB中，
，
∴△ADC≌△FDB（ASA）；
（2）解：∵△ADC≌△FDB，
∴AD＝DF，AC＝BF＝13，
在Rt△FDB中，BD＝12，
∴DF5，
∴AD＝5．
19．（2025 新吴区二模）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以BC为斜边作直角三角形BCD，点D，A在边BC同侧，BD与AC交于点O，连接AD，过A作AE⊥BD于点E．求证：BE＝CD+DE（请根据下面的要求完成证明）．
【解决问题】如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE、CD、DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明BE＝CD+DE的完整过程．
【实践应用】
（1）∠ADC的大小为 　135　 度；
（2）若O是AC的中点，且CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【解答】【解决问题】证明：如图②，在BD上截取BF＝CD，连接AF，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥DF，
∴FE＝DE，
∵BE＝BF+EF，
∴BE＝CD+DE；
【实践应用】解：（1）∵△ABF≌△ACD，
∴AD＝AF，∠AFB＝∠ADC，∠BAF＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠FAO＝90°，
∴∠FAD＝∠CAD+∠FAO＝90°，
在Rt△AFD中，∠AFE（180°﹣∠FAD）＝45°，
∴∠ADC＝∠AFB＝180°﹣∠AFE＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135；
（2）解：∵O是AC中点，
∴AO＝CO，
∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEO＝∠BDC＝90°，
在△AEO与△CDO中，
，
∴△AEO≌△CDO（AAS）．
∴AE＝CD＝3，
由（1）得∠AFE＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣∠AFE﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠FAE＝∠AFE，
∴FE＝AE，
∵AE是等腰△AFD的高，
∴FE＝ED，
∵BF＝CD，
∴BF＝CD＝AE＝FE＝ED＝3，
∴BD＝BF+FE+ED＝3+3+3＝9，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDBD×AEBD×CD9×39×3＝27．
20．（2025 徐州校级模拟）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，以AD为直角边向右作Rt△ADE，∠ADE＝90°，∠BAC+2∠DEA＝180°，AE与BC交于点F．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADF＝∠AFD，求∠CAD的度数；
（2）如图2，过点D作DM⊥AC于点M，点N为边AB上一点，过点N作NP⊥AB交AE于点P，连接DP，若AM＝AN，求证：DM+PN＝DP；
（3）如图3，点G为边BC上一点，点D为CG的中点，连接BE，EG，若AB＝AC，求证：BE＝EG．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，
∵2∠BAC+2∠DEA＝180°，
∴∠DEA＝45°，
在Rt△ADE 中，∠ADE＝90°，
则∠DAE＝90°﹣∠DEA＝45°，
∴，
∴∠CAD＝∠ADF﹣∠ACB＝22.5°；
（2）证明：延长DM至点H，使得MH＝NP连接AH，如图所示：
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
则∠DAE+∠DEA＝90°，
∵∠BAC+2∠DEA＝180°，
∴∠BAC+2（90°﹣∠DAE）＝180°，
则∠BAC＝2∠DAE，
∵DM⊥AC，NP⊥AB，
∴∠AMH＝∠ANP＝90°，
在△ANP和△AMH中，
，
∴△ANP≌△AMH（SAS），
∴AH＝AP，∠PAN＝∠HAM，
∵∠BAC＝2∠DAE＝∠DAE+（∠DAM+∠BAE），
∴∠DAE＝∠DAM+∠BAE＝∠DAM+∠HAM＝∠DAH，
在△ADP和△ADH中，
，
∴△ADP≌△ADH（SAS），
∴DP＝DH，
∵DH＝DM+MH，MH＝NP，
∴DM+PN＝DP；
（3）证明：延长ED至点R，使得DR＝DE，连接AR，CR，如图所示：
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
则∠DAE+∠DEA＝90°，且∠ADR＝90°，
∵∠BAC+2∠DEA＝180°，
∴∠BAC+2（90°﹣∠DAE）＝180°，
则∠BAC＝2∠DAE，
在△ADE和△ADR中，
，
∴△ADE≌△ADR（SAS），
∴AR＝AE，∠DAR＝∠DAE，
∵点D为CG的中点，
∴DC＝DG，
在△DCR和△DGE中，
，
∴△CDR≌△GDE（SAS），
∴CR＝GE，
∵∠BAC＝2∠DAE＝∠DAE+（∠DAC+∠BAE），
∴∠DAR＝∠DAE＝∠DAC+∠BAE，
∵∠DAR＝∠DAC+∠CAR，
∴∠BAE＝∠CAR，
在△ACR和△ABE中，
，
∴△ACR≌△ABE（SAS），
∴BE＝CR，
∵CR＝GE，
∴BE＝EG．
21．（2025 盐城二模）综合与实践
“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．某校九年级（1）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为146米，半径为70米，该团队分成三组分别乘坐1号A、4号B和10号C轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，请连接AO、BO，则∠AOB＝　45　 °；
（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN．（结果用四舍五入法取整数，1.41）
（4）根据4号和10号轿厢的测量数据，则1号轿厢的测量数据x的值为　　 .（结果保留根号）
【解答】解：（1）连接AO、BO，如图3.1：
∵“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中∠AOB包含了3个桥厢，
∴360°＝45°，
故答案为：45；
（2）过点B作BE⊥AO于点E，如图3.2，
∵点A此时的高度为最高为146米，半径为70米，
∴O点高度为146﹣70＝76（米），
∵BE⊥AO，∠AOB＝45°，
∴OE＝OB cos45°＝38（米），
∴B点的高度为（76+38）米，
答：B点的高度为（76+38）米；
（3）连接OB，OC，BC，如图3.3，
由素材1，素材3可得∠COB＝90°，∠OBC＝∠AOB＝45°，
则BC＝70米，过点D作DF⊥BC于点F，
令BF＝n米，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得，，
∴DF＝5BF＝4n米，CFDFn米，
∴BC＝70n米，即n＝28，
∴F点的高度为：76BC﹣BF＝76+352886（米），
答：写字楼的实际高度DN约为86米；
（4）如图3.4，过点A作AP⊥DN于点P，
∵点A此时的高度为最高为146米，
∴PD＝146﹣（76+7）＝（70﹣7）（米），
由（3）可得O到DN的距离为OB+DF＝354×28147（米），
∴，即，
解得x，
1号轿厢的测量数据x的值为，
故答案为：．
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