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【江苏省各地区真题汇编】四边形核心考点检测卷-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 惠山区二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2．（2025 江阴市二模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若∠DOC＝120°，则∠ABO等于（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．（2025 工业园区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，连结BE，DE．记△BEC的面积为s，则四边形BEDC的面积为（　　）
A． B．2s C． D．
4．（2024春 梁溪区校级期中） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
5．（2025 泗阳县一模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（　　）
A．70° B．65° C．55° D．60°
6．（2024春 阜宁县期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
7．（2025春 淮阴区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠C＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（2025春 溧阳市期中）如图，在边长为a正方形ABCD内有一个等边△ABE，连接AC和CE，则图中阴影部分△ACE的面积是（　　）
A． B．a2 C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 江宁区校级二模）如图，在正十八边形中，∠1＝ 　 　 °．
10．（2025 江宁区校级二模）长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是 　 　 ．
11．（2025 扬州二模）如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则 ABCD的面积为 　 　 ．
12．（2025 连云港二模）如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝6时，则BE+CF的最小值为 　 　 ．
13．（2025春 工业园区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是 　 　 ．
14．（2025春 邗江区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E为BC中点，F是AD的中点，EF交对角线BD于点O，连结FC，取OB中点M，取CF中点N，连结MN，若∠A＝60°，AB＝2，则MN的长度为 　 　 ．
15．（2025春 兴化市期中）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，分别在OD和CB上取点M、N，使得OM＝CN，若AC＝2AB＝4，则MN的最小值为 　 　 ．
16．（2025 苏州一模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，∠B＝60°，点E是边AD上一点，且AE＝2，点F是边CD上一个动点，以EF为边作等边△EFG，连接CG．若CG的长度为d，则d的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 宜兴市二模）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接DE，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求DE的长．
18．（2025 扬州二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF．连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
19．（2025 扬州二模）综合与探究：如图，四边形OABC为正方形，M为线段OA上一动点，且OM＝a，连接BM．
（1）如图1，若OA＝8，将正方形OABC沿BM折叠，使得点A的对应点A′落在正方形内．
①A′M＝ 　 　 ；（用含字母a的代数式表示）
②当M为OA中点时，如图2，连接MA′并延长交OC于D，求证OD＝2CD．
（2）如图3，作BN⊥BM，交射线OC于点N，猜想并证明OM，ON，AB的数量关系．
（3）当点M在射线AO上时，作BN⊥BM交射线OC于点N，射线NM与射线BO相交于点E，若ON＝3OM，请直接写出的值．
20．（2025 宜兴市二模）（1）如图1，正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE＝6，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，连接DF，当点A′恰好落在DF上时，直接写出A'F的长＝ 　 　 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，直接写出A′F的长＝ 　 　 （用含m的代数式表示）；
（3）如图3，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变．当BE＝A'F时，求A'F的长．
21．（2025 连云港二模）【提出问题】在边长为4的正方形ABCD中，点P是直线AD上的一个动点，作点A关于直线BP的对称点E，连接CE，直线CE交BP所在直线于点F，连接AF．通过下面三图去研究∠AFB的大小以及线段BF、CF、EF之间的数量关系．
【观察猜想】（1）在图1中，∠AFB＝ 　 　 °；线段BF、CF、EF之间的数量关系是 　 　 .（提示：过点B作BG⊥BF交直线CE于点G）
【猜想论证】（2）利用图1对你的猜想进行说理（只是针对图1来证明你的猜想）．
【迁移应用】（3）连接AC，取AC的中点O，连接OF，当△AFC被线段OF分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段AP的长度．
22．（2025 江都区二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究：
（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边DC的中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F．求证：点E是AF的中点；
（2）如图2，∠AOB内部有一定点P，若过点P的直线l与角的两边OA，OB分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线MN，使得点P是线段MN的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图3，小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，探索当MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
【江苏省各地区真题汇编】四边形核心考点检测卷-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D B C
一．选择题（共8小题）
1．（2025 惠山区二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
【解答】解：选项A，菱形和矩形都是平行四边形，对角线互相平分，不符合题意；
选项B，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意；
选项C，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意．
选项D，菱形的对角线互相平分且互相垂直，矩形的对角线相等，不符合题意；
故选：B．
2．（2025 江阴市二模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若∠DOC＝120°，则∠ABO等于（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若∠DOC＝120°，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠DOC＝120°，
∴．
故选：D．
3．（2025 工业园区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，连结BE，DE．记△BEC的面积为s，则四边形BEDC的面积为（　　）
A． B．2s C． D．
【解答】解：过点E作HL∥BC，交AB于点上，交CD于点L，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∵过点E作FG∥AB分别交AD于F，BC于G，
∴HL∥AD，FG∥CD，
∴四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是平行四边形，
∵∠HBG＝∠GCL＝∠LDF＝∠FAH＝90°，
∴四边形HBGE、四边形EGCL、四边形ELDF、四边形AHEF都是矩形，
∴S△AFE＝S△AHEAF EF，
同理S△CLE＝S△CGE，S△ADC＝S△ABC，
∴S矩形ELDF+S△AFE+S△CLE＝S矩形HBGE+S△AHE+S△CGE，
∴S矩形ELDF＝S矩形HBGE，
∵S△DEL＝S△DEFDF EFS矩形ELDF，S△BEG＝S△BEHBG EGS矩形HBGE，
∴S△DEL＝S△BEG，
∵S△CEL＝S△CEGCG EGS矩形EGCL，
∴S△DEC＝S△DEL+S△CEL＝S△BEG+S△CEG＝S△BEC＝s，
∴S四边形BEDC＝S△DEC+S△BEC＝2s，
故选：B．
4．（2024春 梁溪区校级期中） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【解答】解：连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（2025 泗阳县一模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（　　）
A．70° B．65° C．55° D．60°
【解答】解：如图，设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K．
由正八边形的性质得∠CHI＝∠HIJ＝∠IJD＝∠BAE＝180°﹣45°＝135°．
设∠BCD＝x，∠CDE＝y．
由光的反射定律可知∠DCH90°，∠CDJ90°．
∵多边形CHIJD是五边形，
∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ＝540°，即3×135°+90°90°540°，
解得x+y＝90°，
∴∠CKD＝180°﹣（x+y）＝90°，
∴∠BKE＝90°．
∵多边形AEKB是四边形，
∴∠AED＝360°﹣（∠BKE+∠BAE+∠ABC）＝360°﹣（90°+135°+65°）＝70°．
故选：A．
6．（2024春 阜宁县期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，
∴∠APD＝∠CDP，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，
∵O是BD中点，E是PD中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OEPB＝1.5．
故选：D．
7．（2025春 淮阴区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠C＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：如图，设C'D与AC交于点O，
∵∠C＝40°，
∴∠C'＝∠C＝40°，
∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝120°，
∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝120°﹣40°＝80°，
∵∠DOC＝∠2+∠C'，
∴∠2＝∠DOC﹣∠C'＝80°﹣40°＝40°．
故选：B．
8．（2025春 溧阳市期中）如图，在边长为a正方形ABCD内有一个等边△ABE，连接AC和CE，则图中阴影部分△ACE的面积是（　　）
A． B．a2 C． D．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为a，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∵△EAB是等边三角形，
∴EB＝EA＝AB＝a，∠ABE＝60°，
∵EM⊥AB，
∴AM＝BMAB，
在Rt△EAM中，由勾股定理得：EM，
∴S△EABAB EM，
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝60°，
∴∠EBN＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BEN中，∠EBN＝30°，EB＝a，
∴ENEB，
∴S△BECBC EN，
又∵S△ABCAB BC，
∴S阴影＝S△EAB+S△BEC﹣S△ABC．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 江宁区校级二模）如图，在正十八边形中，∠1＝ 　20　 °．
【解答】解：根据正多边形的特征可知：正十八边形的一条边所对的圆心角为，
∴∠1＝2°＝20°，
故答案为：20．
10．（2025 江宁区校级二模）长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是 　4（答案不唯一）　 ．
【解答】解：当a＞4时，需要a＜1+2+4，即a＜7，故可取5或6，
当a≤4时，需要4＜1+2+a，即a＞1，故可取2，3或4，
因此符合条件的整数为2，3，4，5，6，任选其一即可．
故答案为：4（答案不唯一）．
11．（2025 扬州二模）如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则 ABCD的面积为 　32　 ．
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝8，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝BC×EF＝8×4＝32．
故答案为：32．
12．（2025 连云港二模）如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且，当AD＝4，AB＝AF＝6时，则BE+CF的最小值为 　4　 ．
【解答】解：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，
在△ABE和△AFG中，
，
∴△ABE≌△AFG（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，
∵AB＝AF＝6，且AEAF，
∴AE＝AG＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝4，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
在Rt△BCG中，CGBC＝4，
即BE+CF＝GF+CF≥CG＝4，
∴BE+CF的最小值为4，
故答案为：4．
13．（2025春 工业园区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是 　　 ．
【解答】解：如图，作FH⊥AB交AC于H，则FH∥BC，
∵正方形ABCD，AB＝3，BF＝2AF，BF+AF＝AB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，BC＝3，BF＝2，AF＝1＝CE，
∴∠AHF＝∠ACB＝45°＝∠BAC，BE＝4，
∴FH＝AF＝CE，
∵FH∥BC，
∴∠FHG＝∠ECG，
又∵∠FGH＝∠EGC，
∴△FGH≌△EGC（AAS），
∴FG＝EG，
∴BG是Rt△BEF斜边的中线，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
14．（2025春 邗江区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E为BC中点，F是AD的中点，EF交对角线BD于点O，连结FC，取OB中点M，取CF中点N，连结MN，若∠A＝60°，AB＝2，则MN的长度为 　　 ．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝AB＝2，AD∥BC，
∴∠DBE＝∠BDF，∠DFO＝∠BEO，
∵E为BC中点，F是AD的中点，
∴DF＝AFADBC＝BE＝CE＝1，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AC与BD互相平分，
∴AC过点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DAO＝∠BCO＝30°，
∴FO＝AF＝DF＝1，
∴∠FAO＝∠FOA＝30°，
取CO的中点H，连接NH，HM，过点N作NG⊥MH于G，
∵M是OB的中点，N是FC的中点，H是CO的中点，
∴MH∥BC，MHBC＝1，NH∥FO，NHFO，
∴∠NHA＝∠AOF＝30°，∠OHM＝∠ACB＝30°，
∴∠NHM＝60°，
∵NG⊥MH，
∴∠GNH＝30°，
∴HGNH，NG，
∴GM，
∴MN，
故答案为：．
15．（2025春 兴化市期中）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，分别在OD和CB上取点M、N，使得OM＝CN，若AC＝2AB＝4，则MN的最小值为 　　 ．
【解答】解：过O作OE∥MN，且OE＝MN，连接EN，
则四边形OENM是平行四边形，
∴EN∥BD，EN＝OM
∴∠BNE＝∠CBD，
∵AC＝2AB＝4，
∴∠ACB＝30°＝∠CBD，
∴∠BNE＝30°，
∵OM＝CN，
∴EN＝CN，
∴∠NCE＝15°，
∴∠OCE＝∠OCB+∠NCE＝45°，
则点E的轨迹为射线CE上，且∠OCE＝45°，
当OE⊥CE时，OE有最小值，此时MN也最小，
此时△OCE是等腰直角三角形，
∴OEOC，
即MN最小值为，
故答案为：．
16．（2025 苏州一模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，∠B＝60°，点E是边AD上一点，且AE＝2，点F是边CD上一个动点，以EF为边作等边△EFG，连接CG．若CG的长度为d，则d的取值范围是　d≤2　 ．
【解答】解：在CD上截取DH＝DE，连接HG交AB于点P，连接EH，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∠B＝60°，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝8，∠D＝∠B＝60°，
∴△EDH是等边三角形，
∴EH＝ED，∠DEH＝∠DHE＝60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴EG＝EF，∠FEG＝60°，
∴∠HEG＝∠DEF＝60°﹣∠FEH，
在△HEG和△DEF中，
，
∴△HEG≌△DEF（SAS），
∴∠EHG＝∠D＝60°，GH＝FD，
∴∠PHC＝180°﹣∠EHG﹣∠DHE＝60°＝∠D，
∴PH∥AD∥BC，
∵PB∥CH，
∴四边形PBCH是平行四边形，
∴PH＝BC＝CD＝8，
连接PC，作CI⊥PH于点I，PQ⊥BC于点Q，则∠HPQ＝∠PQB＝∠PQC＝90°，
∴PQ⊥PH，
∴CI＝PQ，
∵sin60°，cos60°，且BP＝CH＝CD﹣DH＝AD﹣DE＝AE＝2，
∴CI＝PQPB，BQBP＝1，
∴CQ＝BC﹣BQ＝7，
∴PC2，
∵点G在线段PH上运动，
∴CI≤CG≤CP，
∴CG的长度d的取值范围是d≤2，
故答案为：d≤2．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 宜兴市二模）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接DE，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，即BC＝EF，
∴AD＝EF且AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：连接DE，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，BE＝1，
∵tan∠ABC2，
∴AE＝2BE＝2，
在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，AD＝3，
∴DE．
18．（2025 扬州二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF．连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝BF+EF，DF＝DE+EF，又BE＝DF，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：结论：四边形AFCE是菱形．
理由：连接AC，交BD于O．
∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠BFC．
又∵∠AED+∠AEF＝180°，∠BFC+∠EFC＝180°，
∴∠AEF＝∠EFC．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
∴四边形AFCE是菱形．
19．（2025 扬州二模）综合与探究：如图，四边形OABC为正方形，M为线段OA上一动点，且OM＝a，连接BM．
（1）如图1，若OA＝8，将正方形OABC沿BM折叠，使得点A的对应点A′落在正方形内．
①A′M＝ 　8﹣a　 ；（用含字母a的代数式表示）
②当M为OA中点时，如图2，连接MA′并延长交OC于D，求证OD＝2CD．
（2）如图3，作BN⊥BM，交射线OC于点N，猜想并证明OM，ON，AB的数量关系．
（3）当点M在射线AO上时，作BN⊥BM交射线OC于点N，射线NM与射线BO相交于点E，若ON＝3OM，请直接写出的值．
【解答】解：（1）①如图1，∵M为线段OA上一动点，且OA＝8，OM＝a，
∴AM＝8﹣a，
∵将正方形OABC沿BM折叠，点A的对应点为点A′，
∴A′M＝AM＝8﹣a，
故答案为：8﹣a．
②证明：如图2，连接BD，设CD＝m，
∵四边形OABC为正方形，当M为OA中点时，OM＝a，
∴∠A＝∠O＝∠BCD＝90°，AM＝OM＝a，OC＝OA＝AB＝CB＝2a，
∴OD＝2a﹣m，
由折叠得∠BA′M＝∠A＝90°，A′M＝AM＝a，A′B＝AB，
∴∠BA′D＝∠BCD＝90°，A′B＝CB，
∵BD＝BD，
∴Rt△A′BD≌Rt△CBD（HL），
∴A′D＝CD＝m，
∵OM2+OD2＝MD2，且MD＝a+m，
∴a2+（2a﹣m）2＝（a+m）2，
∴ma，
∴CDa，OD＝2aa＝2a，
∴OD＝2CD．
（2）OM+ON＝2AB，
证明：如图3，∵BN⊥BM，交射线OC于点N，
∴∠MBN＝∠BCN＝∠BAC＝90°，
∴∠BCN＝∠A，∠CBN＝∠ABM＝90°﹣∠CBM，
∵AB＝CB，OC＝OA＝AB，
∴△CBN≌△ABM（ASA），
∴CN＝AM，
∴OM+ON＝OM+CN+OC＝OM+AM+OC＝OA+OC，
∵OA+OC＝2AB，
∴OM+ON＝2AB．
（3）的值为3，
理由：如图3，点M在线段AO上，作EQ⊥OA于点Q，则∠MQE＝∠MON＝90°，
∵∠AOB＝∠ABO＝∠COB＝∠CBO＝45°，
∴∠QEO＝∠QOE＝45°，
∴OQ＝QE，
∵QE∥ON，
∴，
∵△MQE∽△MON，ON＝3OM，
∴，
∴3，
∴3；
如图4，点M在线段AO的延长线上，作ER⊥CO的CO的延长线于点R，
∵∠MON＝∠R＝90°，∠ROE＝∠COB＝45°，
∴∠REO＝∠ROE＝45°，
∴RN＝RE，
∵OM∥RE，
∴，
∵△MON∽△ERN，
∴，
∴3，
∴3，
综上所述，的值为3．
20．（2025 宜兴市二模）（1）如图1，正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE＝6，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，连接DF，当点A′恰好落在DF上时，直接写出A'F的长＝ 　3　 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，直接写出A′F的长＝ 　　 （用含m的代数式表示）；
（3）如图3，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变．当BE＝A'F时，求A'F的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
由翻折性质可知∠EA′D＝∠A＝90°，
∴∠B＝∠EA′F＝90°，
又∵∠BEF＝∠FEA′，EF＝EF，
∴△BEF≌△A′EF（AAS），
∴BE＝A′E，
由翻折性质可知AE＝A′E，∠ADE＝∠FDE，
∴AE＝BE，AB＝2AE＝2A′E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD＝2A′E，
∵∠FEA′+∠EFD＝90°，∠EFD+∠FDE＝90″，
∴∠FEA′＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FEA′，
∵∠A＝∠EA'F＝90°，
∴△DAE∽△EA′F，
∴，
∵AD＝2A′E，
∴2，
∵AE＝6，
∴A′F＝3；
故答案为：3；
（2）由（1）可知，AB＝2AE＝2A′E，AD：A′E＝AE：A′F，
∵AD＝mAB，
∴AE＝2mA′F，
∵AE＝6，
∴A′F，
故答案为：；
（3）如图3，过E作EH⊥AD，交DA延长线于H，作∠FED的平分线，交DF于G，
∵∠ADE＝∠EDF，∠EAD＝∠FED＝120°，
∴△AED∽△EFD，
∴，
∴DE2＝AD DF，
设BE＝A′F＝x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝AE+BE＝6+x，
∴DF＝A'F+A'D＝x+6+x＝6+2x，
∴DE2＝（6+x）（6+2x），
∵EH⊥AD，∠EAH＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AHAE＝3，EH＝3，
由勾股定理可得：DE2＝DH2+EH2，
∴（3）2+（3+6+x）2＝（6+x）（6+2x），
解得：x＝6，即A′F的长为6．
21．（2025 连云港二模）【提出问题】在边长为4的正方形ABCD中，点P是直线AD上的一个动点，作点A关于直线BP的对称点E，连接CE，直线CE交BP所在直线于点F，连接AF．通过下面三图去研究∠AFB的大小以及线段BF、CF、EF之间的数量关系．
【观察猜想】（1）在图1中，∠AFB＝ 　45　 °；线段BF、CF、EF之间的数量关系是 　　 .（提示：过点B作BG⊥BF交直线CE于点G）
【猜想论证】（2）利用图1对你的猜想进行说理（只是针对图1来证明你的猜想）．
【迁移应用】（3）连接AC，取AC的中点O，连接OF，当△AFC被线段OF分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段AP的长度．
【解答】解：（1）猜想：45°；．
故答案为：45；．
（2）①在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
设∠ABP＝α，
由轴对称的性质可知∠EBF＝∠ABF＝α，且AB＝BE，
∴∠EBC＝90°﹣2α，BE＝BC，
∴（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
∴∠EFB＝∠BEC﹣∠EBF＝45°+α﹣α＝45°；
∵AB＝BE，∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴∠AFB＝∠EFB＝45°；
②如图，过点B作BG⊥BF交直线CE于点G，
∵∠EFB＝45°，∠FBG＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠EFB＝∠G＝45°，∠EBF＝∠ABF＝∠GBC，
在△BEF和△BCG中，
，
∴△BEF≌△BCG（AAS），
∴EF＝CG，
∴FG＝CF+CG＝CF+EF，
在△BFG中，∠FBG＝90°，∠G＝45°，
∴，
∴CF+EFBF；
（3）情况一：当△AOF是等边三角形，△FOC是等腰三角形时，如图：
此时∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝2∠ABP，
∴∠ABP＝30°，
∵AB＝4，
∴在Rt△ABP中，，
解得；
情况二：当△FOC是等边三角形，△AOF是等腰三角形时，如图：
此时∠AOF＝120°，则∠ABP＝60°，
在Rt△ABP中，，
解得；
情况三：当△AOF是等边三角形，△FOC是等腰三角形时，如图：
此时∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝2∠ABP，
∴∠ABP＝30°，
∵AB＝4，
∴在Rt△ABP中，，
解得；
综上所述：线段AP的长度为或．
22．（2025 江都区二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究：
（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边DC的中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F．求证：点E是AF的中点；
（2）如图2，∠AOB内部有一定点P，若过点P的直线l与角的两边OA，OB分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线MN，使得点P是线段MN的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图3，小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，探索当MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，
∵点E是边DC的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝EF，
∴点E是AF的中点；
（2）解：①连接OP并延长至点Q，使PQ＝OP；
②过点Q作QM∥OB，交OA于点M
③连接MP，并延长交OB于点N；
则点P是线段MN的中点；
（3）解：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，
理由：如图3，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG＝S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小．
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