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【江苏省各地区真题汇编】圆核心考点检测卷-2025年中考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 惠山区二模）如图，A、B、C为⊙O上的三个点，连接AB、AC、OB、OC，若∠O＝64°，∠C＝18°．则∠B的度数是（　　）
A．48° B．50° C．64° D．72°
2．（2025 高邮市二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　）
A．16° B．18° C．20° D．36°
3．（2025 江都区二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（　　）
A．38° B．42° C．49° D．58°
4．（2025 工业园区校级模拟）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．148° B．144° C．140° D．136°
5．（2025 沭阳县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，若∠BAC＝35°，则∠ADC的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．135°
6．（2024秋 沛县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为BC的中点，连接OA，OP，四边形AOPB的面积为S1，正六边形剩余部分的面积为S2，则（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．（2018秋 江阴市期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若
AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　）
A．50° B．55° C．65° D．70°
8．（2025 姑苏区校级一模）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知∠A＝30°30′3″，则弧BC的度数不可能是（　　）
A．61° B．62° C．63° D．64°
二．填空题（共7小题）
9．（2025 江都区二模）用半径为20cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 　 　 cm．
10．（2025 工业园区校级模拟）用一个圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，已知围成圆锥底面圆半径为10cm，则这个扇形面积为　 　 ．
11．（2025 高邮市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F．若AD DB＝3，则△ABC的面积为 　 　 ．
12．（2025 兴化市二模）如图A，B，C，E四点在⊙O上，OC⊥AB，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径AE为 　 　 ．
13．（2025 东台市一模）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC＝ 　 　 °．
14．（2022秋 高新区校级月考）如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽AB＝16cm，凹槽部分最深处CQ＝4cm，则凹槽所在圆的半径为 　 　 cm．
15．（2025 沭阳县模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，过OB的中点C作CD⊥OB交弧AB于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．（2025 连云港二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是弧BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．
17．（2025 高邮市二模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，AB切⊙O于点B，连接BP并延长交l于C．
（1）判断线段AB、AC的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3，，求PB的长．
18．（2025 扬州二模）如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F，G是CD上一点，且∠DGF＝∠AEB．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，DG＝1，求半径OA的长．
19．（2025 盐城二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请在图1中按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②在AB上找一点O，使以点O为圆心的圆过AD两点，并画出⊙O．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，BC＝8，求⊙O的半径．
20．（2025 东台市一模）如图1，AB是⊙O的直径，点C是直径AB上方⊙O上一点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，求BD的长．
（2）如图2，过点C作⊙O的切线交DA的延长线于点G，当∠ABC＝30°时，求证：AC＝CG．
（3）如图3，在⊙O内取一点Q，使得AC＝CQ，BQ＝BD，当△CQB为直角三角形时，求∠CDB的度数．
21．（2025 江宁区校级二模）圆与反演点
已知⊙O的半径为r，在从O出发的同一条射线上有两点P和Q，若OP OQ＝r2，则称P为Q关于⊙O的反演点，反之亦然．
【概念理解】
（1）下列对反演的描述：
①若点P在圆外，则它的反演点Q可能在圆内，也可能在圆外；
②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的；
③圆上的点的反演点是圆自身．
其中，所有正确的序号是 　 　 ．
【掌握应用】
（2）若r＝1，P，Q是关于⊙O的反演点，且PQ＝2，求OP的长．
（3）⊙O半径为r，若P，Q是关于⊙O的反演点，PQ＝m，且OQ＝2OP，直接写出m与r的数量关系．
【探索确定】
（4）如图，四边形ABCD是菱形，O在DB的延长线上．若B和D是关于⊙O的反演点，在图中用尺规作出⊙O．
22．（2025 沛县二模）【已有经验】
我们已经研究过作一个圆经过两个已知点，也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切，尺规作图如图所示：
【迁移经验】
（1）如图①，已知点M和直线l，用两种不同的方法完成尺规作图：求作⊙O，使⊙O过M点，且与直线l相切．（每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法）
【问题解决】
如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（2）已知⊙O经过点C，且与直线AB相切．若圆心O在△ABC的内部，则⊙O半径r的取值范围为　 　 ．
（3）点D是边AB上一点，BD＝m，请直接写出边AC上使得∠BED为直角时点E的个数及相应的m的取值范围．
【江苏省各地区真题汇编】圆核心考点检测卷-2025年中考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B C C A A
一．选择题（共8小题）
1．（2025 惠山区二模）如图，A、B、C为⊙O上的三个点，连接AB、AC、OB、OC，若∠O＝64°，∠C＝18°．则∠B的度数是（　　）
A．48° B．50° C．64° D．72°
【解答】解：设AC与OB相交于点D，
∵∠O＝64°，
∴∠A∠O＝32°，
∵∠CDB是△COD的一个外角，
∴∠CDB＝∠O+∠C＝82°，
∵∠CDB是△ABD的一个外角，
∴∠B＝∠BDC﹣∠A＝50°，
故选：B．
2．（2025 高邮市二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　）
A．16° B．18° C．20° D．36°
【解答】解：连接OA、OB，则OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A，
∵AB是⊙O内接正十边形的一条边，
∴∠AOB360°＝36°，
∵∠OBA+∠A+∠AOB＝180°，
∴2∠OBA+36°＝180°，
∴∠OBA＝72°，
∵直线l经过点B且与⊙O相切，
∴l⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠OBA＝18°，
故选：B．
3．（2025 江都区二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（　　）
A．38° B．42° C．49° D．58°
【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵∠CDF＝95°，
∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，
∴∠FCE＝13°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠EOD＝360°÷5＝72°，
∴∠ECD36°，
∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，
故选：C．
4．（2025 工业园区校级模拟）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．148° B．144° C．140° D．136°
【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角度数为：（5﹣2）×180°÷5＝540÷5＝108°，
∴∠AOC＝540°﹣∠E﹣∠D﹣∠OAE﹣∠OCD，
＝540°﹣108°﹣108°﹣90°﹣90°＝144°．
故选：B．
5．（2025 沭阳县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，若∠BAC＝35°，则∠ADC的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝35°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+35°＝125°．
故选：C．
6．（2024秋 沛县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为BC的中点，连接OA，OP，四边形AOPB的面积为S1，正六边形剩余部分的面积为S2，则（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：连接OB，OC，
由题意可得：OP⊥BC，OA＝OB，
∴，
∴∠BAO＝60°，
∴∠BAO+∠ABC＝180°，
∴AO∥BC，
∴OP⊥AO，
∴∠AOP＝90°，
设正六边形的面积为S，则，
∴，
故选：C．
7．（2018秋 江阴市期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若
AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠EBC＝65°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，
∴∠DBC＝∠CAD＝50°，
故选：A．
8．（2025 姑苏区校级一模）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知∠A＝30°30′3″，则弧BC的度数不可能是（　　）
A．61° B．62° C．63° D．64°
【解答】解：连接CD，OB，OC，AB＞AD，AC＞AE，
∴∠BOC＝2∠BDC，
∵由外角的性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝30°30′3″，
∴∠BOC＝2∠A+2∠ACD＝61°6''+2∠ACD，
∴弧BC的度数最小为：61°6''，
∴不可能是61°，
故选：A．
二．填空题（共7小题）
9．（2025 江都区二模）用半径为20cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 　10　 cm．
【解答】解：设圆锥底面半径为R，半圆的弧长为π×20＝20πcm，圆锥底面的周长为20πcm，则2πR＝20π，
解得R＝10cm
故答案为：10．
10．（2025 工业园区校级模拟）用一个圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，已知围成圆锥底面圆半径为10cm，则这个扇形面积为　300π cm2　 ．
【解答】解：由题知，
∵圆锥底面圆半径为10cm，
∴圆锥侧面展开扇形的弧长为2×π×10＝20π（cm）．
令扇形的半径为r cm，
则，
∴r＝30，
∴扇形的面积为：（cm2）．
故答案为：300π cm2．
11．（2025 高邮市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F．若AD DB＝3，则△ABC的面积为 　3　 ．
【解答】解：设圆的半径是r，
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，
∴AD＝AF，CF＝CE，BD＝BE，∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠C＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝r，
∴AC＝AF+r＝AD+r，BC＝BE+r＝BD+r，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（AD+BD）2＝（BD+r）2+（AD+r）2，
∴AD BD＝r2+（AD+BD） r，
∵△ACB的面积AC BC，
∴△ACB的面积（AD+r）（BD+r）[AD BD+（AD+BD） r+r2]（2AD BD）＝AD BD＝3．
故答案为：3．
12．（2025 兴化市二模）如图A，B，C，E四点在⊙O上，OC⊥AB，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径AE为 　10　 ．
【解答】解：设圆的半径长是r，
∵OC⊥AB，
∴ADAB8＝4，
∵CD＝2，
∴OD＝r﹣2，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的直径AE＝2r＝10．
故答案为：10．
13．（2025 东台市一模）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC＝ 　25　 °．
【解答】解：∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25．
14．（2022秋 高新区校级月考）如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽AB＝16cm，凹槽部分最深处CQ＝4cm，则凹槽所在圆的半径为 　10　 cm．
【解答】解：如图，圆心O在直线CD上，连接OA，
∵OD⊥AB，AB＝16cm，
∴AC＝BCAB＝8cm，
设凹槽所在圆的半径为r cm，
则OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
∴凹槽所在圆的半径为10cm．
故答案为：10．
15．（2025 沭阳县模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，过OB的中点C作CD⊥OB交弧AB于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　2　 ．
【解答】解：∵点C是OB的中点，
∴OCOB＝2OD，
∵CD⊥OB，
∴∠ODC＝30°，∠COD＝60°，
∴CD2，
∴S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△COD
2×2
2，
故答案为：2．
三．解答题（共7小题）
16．（2025 连云港二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是弧BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC，
∵C为弧BE的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
17．（2025 高邮市二模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，AB切⊙O于点B，连接BP并延长交l于C．
（1）判断线段AB、AC的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3，，求PB的长．
【解答】解：（1）AB＝AC．
理由如下：
连接OB，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
即∠OBP+∠ABC＝90°，
∵OA⊥l于点A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠ACB+∠APC＝90°，
∵OB＝OP，
∴∠OPB＝∠OBP，
而∠APC＝∠OPB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）过O点作OD⊥PB于D点，如图，则BD＝PD，
在Rt△OAB中，∵tan∠OAB，
而OB＝3，
∴AB＝4，
∴OA5，
∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3＝2，
∵AC＝AB＝4，
∴PC2，
∵∠OPD＝∠APC，∠ODP＝∠PAC，
∴△OPD∽△CPA，
∴，即，
∴PD，
∴PB＝2PD．
18．（2025 扬州二模）如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F，G是CD上一点，且∠DGF＝∠AEB．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，DG＝1，求半径OA的长．
【解答】证明：（1）连接OF，
∵AO＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF∥BE，
∴∠AEB＝∠OAF，
∵∠DGF＝∠AEB，
∴∠AFO＝∠DGF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴∠FGD+∠DFG＝90°，
∴∠AFO+∠DFG＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴OF⊥FG，
∵点F是⊙O上的一点，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵⊙O是△ABE的外接圆，∠B＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵四边形ABEF是矩形，
∴BE＝AF，
∵∠DGF＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，
∴△FDG∽△ABE，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∴，
∴BE＝2，
∴AE2，
∴OA．
19．（2025 盐城二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请在图1中按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②在AB上找一点O，使以点O为圆心的圆过AD两点，并画出⊙O．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，BC＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）解：①1．以点A为圆心，以任意长为半径画弧分别交AC，AB于点F，E，
2．分别以F，E为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，
3．连接AG，并延长交BC于点D，如图，
则射线AD为所作的∠BAC的角平分线．
②1．作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，
2．以点O为圆心，以OA为半径画圆，如图，
则⊙O为所画的圆．
（2）证明：连接OD，如图，
∵HK为线段AD的垂直平分线，
∴OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODC+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：∵AB＝10，BC＝8，∠C＝90°，
∴AC6．
设⊙O的半径为r，则OD＝OA＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
由（2）知：OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∴，
∴r．
∴⊙O的半径为．
20．（2025 东台市一模）如图1，AB是⊙O的直径，点C是直径AB上方⊙O上一点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，求BD的长．
（2）如图2，过点C作⊙O的切线交DA的延长线于点G，当∠ABC＝30°时，求证：AC＝CG．
（3）如图3，在⊙O内取一点Q，使得AC＝CQ，BQ＝BD，当△CQB为直角三角形时，求∠CDB的度数．
【解答】（1）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是∠ACB得角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵，，
∴∠ACD＝∠ABD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BDAB，
∵AB＝10，
∴BD＝5；
（2）由（1）得∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO＝60°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠ACG＝∠OCG﹣∠ACO＝30°，
由（1）得∠BAD＝45°，
∴∠CAG＝180°﹣∠CAB﹣∠BAD＝75°，
在△ACG中，
∴∠CGA＝180°﹣∠CAG﹣∠ACG＝75°，
∴∠CGA＝∠CAG，
∴AC＝CG；
（3）由（1）得ABBD，
∴AB2＝2BD2，
若∠CQB为直角三角形时，分∠QCB＝90°，∠QBC＝90°，∠BQC＝90°三种情况，
当∠QCB＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝CQ，
∴A、Q重合，不符合题意，舍去；
当∠QBC＝90°，
在Rt△CQB中，BC2+BQ2＝CQ2，
∴BC2+BD2＝AC2，
∴，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
在Rt△ABC中，
∵，
∴∠CAB＝30°，
∵，
∴∠CDB＝∠CAB＝30°；
当∠BQC＝90°，
同理可得，
解得或（不符合题意，舍去），
在Rt△ABC中，
∵，
∴∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵，
∴∠CDB＝∠CAB＝60°；
综上所述，当△CQB为直角三角形时，∠CDB的度数为30°或60°．
21．（2025 江宁区校级二模）圆与反演点
已知⊙O的半径为r，在从O出发的同一条射线上有两点P和Q，若OP OQ＝r2，则称P为Q关于⊙O的反演点，反之亦然．
【概念理解】
（1）下列对反演的描述：
①若点P在圆外，则它的反演点Q可能在圆内，也可能在圆外；
②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的；
③圆上的点的反演点是圆自身．
其中，所有正确的序号是 　②③　 ．
【掌握应用】
（2）若r＝1，P，Q是关于⊙O的反演点，且PQ＝2，求OP的长．
（3）⊙O半径为r，若P，Q是关于⊙O的反演点，PQ＝m，且OQ＝2OP，直接写出m与r的数量关系．
【探索确定】
（4）如图，四边形ABCD是菱形，O在DB的延长线上．若B和D是关于⊙O的反演点，在图中用尺规作出⊙O．
【解答】解：（1）①若点P在圆外，则r＜OP，由OP OQ＝r2可得r＞OQ，即它的反演点Q在圆内，
故说法错误，不符合题意；
②由OP OQ＝r2可得，若点Q在圆内，则每一个OQ值都有一个圆外对应的OP值，反之也成立，即圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的，
故说法正确，符合题意；
③圆上的点到圆心的距离OP＝OQ＝r，即它们的反演点是圆自身，
故说法正确，符合题意，
故答案为：②③；
（2）∵r＝1，P，Q是关于⊙O的反演点，且PQ＝2，
∴OP OQ＝r2＝1，OQ＝OP+PQ＝OP+2或OQ＝OP﹣PQ＝OP﹣2，
当OQ＝OP+PQ＝OP+2时，由OP OQ＝r2得：
OP（OP+2）＝1，
解得（负值已舍去）；
当OQ＝OP﹣PQ＝OP﹣2时，由OP OQ＝r2得：
OP（OP﹣2）＝1，
解得（负值已舍去）；
综上所述，OP的长为1或1；
（3）m与r的数量关系为；理由如下：
∵PQ＝m，且OQ＝2OP，
∴OQ＝2OP＝OP+PQ，
∴PQ＝OP＝m，OQ＝2m，
∵OP OQ＝r2，
∴m 2m＝r2，
解得（负值已舍去）；
（4）∵四边形ABCD是菱形，
∴BE＝ED，∠AEB＝90°，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2，
∵O在DB的延长线上．若B和D是关于⊙O的反演点，
∴OB OD＝r2，
∴（OE﹣EB） （OE+ED）＝r2，即（OE﹣EB） （OE+EB）＝r2，
整理得OE2＝r2+BE2，
∴AE＝r，AB＝OE，
∴⊙O的半径为AE＝r，AB＝OE，
以E为圆心，AB＝OE为半径画弧与DB的交点即为圆心O，再以O为圆心，AE＝r为半径画出⊙O，如图即为所求．
22．（2025 沛县二模）【已有经验】
我们已经研究过作一个圆经过两个已知点，也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切，尺规作图如图所示：
【迁移经验】
（1）如图①，已知点M和直线l，用两种不同的方法完成尺规作图：求作⊙O，使⊙O过M点，且与直线l相切．（每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法）
【问题解决】
如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（2）已知⊙O经过点C，且与直线AB相切．若圆心O在△ABC的内部，则⊙O半径r的取值范围为　2.4≤r＜3　 ．
（3）点D是边AB上一点，BD＝m，请直接写出边AC上使得∠BED为直角时点E的个数及相应的m的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，图2中，⊙O即为所求．
（2）如图①中，当点O落在AC边上时，⊙O的半径最大，连接OB．
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵OC＝OP，OB＝OB，∠OCB＝∠OPB＝90°，
∴△OBC≌△OBP（HL），
∴BC＝BP＝6，AP＝10﹣6＝4，设OC＝OP＝x，则OA＝8﹣x，
在Rt△AOP中，（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴OP＝3，
当CP⊥AB时，PC是⊙O的直径时，⊙O的半径最小，此时PC，OP2.4，
∴满足条件的r的取值范围为：2.4≤r＜3．
故答案为2.4≤r＜3．
（3）如图②中，以BD为直径作⊙O，当⊙O与AC相切于点E时，连接OE．
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴，
∴，
解得m＝7.5．
观察图象可知：当0＜m＜7.5时，满足条件的点E的个数为0．
当m＝7.5或10时，满足条件的点E的个数为1．
当7.5＜m＜10时，满足条件的点E的个数为2．
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