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高考数学考前冲刺押题预测 圆锥曲线综合
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 献县期末）已知F为椭圆的上焦点，M是椭圆C上一点，N为圆E：（x﹣3）2+y2＝1上一点，则|MN|+|MF|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 浙江模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，且曲线C1与C2在第一象限相交于点P，O为坐标原点，若，则双曲线C2的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．4
3．（2024秋 温州期末）已知直线l：y＝k（x+3）+1与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 皇姑区期末）过M（1，0）倾斜角为45°的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，且满足2，则抛物线的方程为（　　）
A．2y2＝x B．3y2＝x C．y2＝2x D．y2＝3x
5．（2024秋 辽阳期末）定义双曲正弦函数，若双曲正弦函数在区间[a，b]上的值域与f（x）＝mex﹣m（m＞0）在区间[a，b]上的值域相同，则m的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．
C． D．（0，1）∪（2，+∞）
6．（2024秋 黑龙江校级期末）已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P（1，1），设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（　　）
A．4x+3y﹣7＝0 B．3x+4y﹣7＝0 C．4x﹣3y﹣1＝0 D．3x﹣4y+1＝0
7．（2024秋 龙岗区期末）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．曲线与y轴交于A、B两点，点P为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（　　）
A．图形关于y轴对称
B．点P的纵坐标的最大值为
C．
D．|PA|2+|PB|2≥4
8．（2024秋 天津期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 淮北一模）如图，点P（a，b）是以（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1）为顶点的正方形边上的动点，角θ以Ox为始边，OP为终边，定义．则（　　）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数y＝S（x），x∈[0，2π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π
（多选）10．（2025 邯郸模拟）已知直线l：y＝﹣1为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，F为C的焦点，圆M：x2+y2﹣6y+7＝0，P为C上第一象限内一点，直线PF与圆M相切于点N（N在第一象限），PD⊥l于点D，则（　　）
A．|NF|＝2
B．直线PF的方程为y＝x+1
C．
D．△PDF的面积为
（多选）11．（2024秋 酒泉期末）将圆x2+y2＝16上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为F1、F2，长轴两端点分别为A，B，则（　　）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆上恰有四个点M，使得
C．若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则△MF1F2内切圆半径的最大值为
D．若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在F1M的延长线上，MN是∠PMF2的角平分线，过F2作F2Q垂直MN，垂足为Q，则线段OQ（O为坐标原点）的长为定值4
（多选）12．（2024秋 鹰潭期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0）．动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是（　　）
A．C的方程为x2+y2+3x＝0
B．C关于直线x+y﹣2＝0对称的曲线方程为
C．在C上存在点D，使得D到点的距离为3
D．若E（0，6），F（2，2），则在C上不存在点M，使得|ME|＝|MF|
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 卓尼县校级期末）若△ABC的顶点B，C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（2，1），顶点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为 　 　．
14．（2024秋 深圳期末）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，若△F1FF2是等边三角形，则该抛物线的方程为 　 　．
15．（2024秋 东营期末）已知平面ABC⊥平面α，线段AB在平面α内，D为线段AB的中点，，∠CDB＝45°，点P为α内的动点，且点P到直线CD的距离为，则动点P的轨迹Γ的离心率为 　 　，如果，在平面α内过点B的直线与Γ交于M，N两点，则三棱锥C﹣AMN的体积的最大值为 　 　．
16．（2024秋 蒙阴县校级期末）已知离心率为e1的椭圆和离心率为e2的双曲线，b2＞0）有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点．线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 赤峰期末）“曲线M”：由半椭圆与半椭圆组成，其中a2＝b2+c2，a＞b＞c＞0．如图，设点F，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“曲线M”与x，y轴的交点，N为线段A1A2的中点．
（1）若等边△FF1F2的重心坐标为，求“曲线M”的方程；
（2）设P是“曲线M”的半椭圆上任意的一点．求证：当|PN|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；
（3）作垂直于y轴的直线与“曲线M”交于两点H，K，求线段HK中点的轨迹方程．
18．（2025 邯郸模拟）已知P为圆F1：（x+1）2+y2＝4a2（a＞1）上一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线交半径PF1于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C，双曲线Γ：1的一条渐近线被圆F1所截得的弦长为．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）过C上一点M作斜率为的直线l，交双曲线Γ于A，B两点，且M恰好为线段AB的中点，求出点M的坐标；
（3）若直线l′：y＝kx+4与曲线C交于D，E两点，求△ODE面积的取值范围．
19．（2024秋 张家口期末）已知⊙F1，⊙F2的圆心分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），半径分别为r1，r2，r1＝2，r2＝6，⊙P的圆心为点P（x，y），半径为r．
（Ⅰ）写出⊙F1，⊙F2的标准方程，并判断其位置关系；
（Ⅱ）若⊙P与⊙F1外切且⊙P与⊙F2内切，求圆心P的轨迹方程．
20．（2024秋 宁德期末）已知点T分别与两点M（﹣2，0），N（2，0）连线的斜率的乘积为，
（1）求点T的轨迹Γ的方程；
（2）已知直线与Γ交于A，B两点，，求k的值．
高考数学考前冲刺押题预测 圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 献县期末）已知F为椭圆的上焦点，M是椭圆C上一点，N为圆E：（x﹣3）2+y2＝1上一点，则|MN|+|MF|的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】设椭圆C的下焦点为F1，画出图形，由椭圆的定义推出|MF|＝4﹣|MF1|，得到|MN|+|MF|≤|ME|+r+4﹣|MF1|＝5+|ME|﹣|MF1|≤5+|EF1|，当且仅当F1，M，E三点在一条直线上时取等号．然后求解最大值．
【解答】解：圆E：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为E（3，0），半径r＝1，设椭圆C的下焦点为F1，如图，由椭圆的 定义知|MF|+|MF1|＝2a＝4，
所以|MF|＝4﹣|MF1|，所以|MN|+|MF|≤|ME|+r+4﹣|MF1|＝5+|ME|﹣|MF1|≤5+|EF1|，当且仅当F1，M，E三点在一条直线上时取等号．
因为E（3，0），F1（0，﹣1），所以，故．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，是中档题．
2．（2025 浙江模拟）已知抛物线C1：y2＝2px的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，且曲线C1与C2在第一象限相交于点P，O为坐标原点，若，则双曲线C2的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．4
【考点】圆锥曲线的综合；双曲线与平面向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】利用已知条件推出p＝2c，联立方程组求解P的横坐标，结合斜率的数量积，转化求解离心率即可．
【解答】解：抛物线C1：y2＝2px的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，
可得p＝2c，联立y2＝2px与，消去y可得b2x2﹣4a2cx﹣a2b2＝0，可得P的横坐标x，
，可得，p＝2c，
化简可得c2﹣a2＝2ac，即e2﹣2e﹣1＝0，e＞1，解得e．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
3．（2024秋 温州期末）已知直线l：y＝k（x+3）+1与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，分析曲线C的轨迹为半个椭圆，结合直线与椭圆的位置关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：y＝k（x+3）+1，恒过定点（﹣3，1），设P（﹣3，1），
曲线，变形可得y2＝1（y≥0），为椭圆y2＝1在x轴上方的部分，
椭圆y2＝1的上顶点为B，右顶点为A，则B（0，1），A（2，0），
又由P（﹣3，1），
则kPB＝0，kPA，
如图：如果l与曲线C有两个公共点，
则有kPA≤k＜kPB，即k＜0，即k的取值范围为[，0）．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及曲线的方程，属于中档题．
4．（2024秋 皇姑区期末）过M（1，0）倾斜角为45°的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，且满足2，则抛物线的方程为（　　）
A．2y2＝x B．3y2＝x C．y2＝2x D．y2＝3x
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意建立方程，即可求解．
【解答】解：由题意知直线AB的方程为y＝x﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣（2+2p）x+1＝0，
∴x1+x2＝2+2p①，x1x2＝1②，
又M（1，0），2，
∴（1﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣1，y2），
∴1﹣x1＝2x2﹣2，
∴x1＝3﹣2x2③，
由①②③解得p，
∴抛物线的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．
5．（2024秋 辽阳期末）定义双曲正弦函数，若双曲正弦函数在区间[a，b]上的值域与f（x）＝mex﹣m（m＞0）在区间[a，b]上的值域相同，则m的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．
C． D．（0，1）∪（2，+∞）
【考点】曲线与方程．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】分别分析两个函数的单调性，求出它们的值域，再根据函数的值域相同，得到一个方程组，进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解．
【解答】解：因为，
所以sinhx在[a，b]上单调递增，
所以sinhx在[a，b]上的值域为．
易知函数f（x）在[a，b]单调递增，
所以f（x）在[a，b]上的值域为[mea﹣m，meb﹣m]，
因为两个函数的值域相同，
所以，
即方程有两个不同的解，
整理得，
当ex﹣1＝0，即x＝0时，方程成立，
所以x＝0是方程的一个解；
当ex﹣1≠0，即x≠0时，只有一个解，
因为函数y＝ex在R上单调递增，且ex＞0，
所以函数在R上单调递减，
因为ex＞0且ex≠1，
所以且，
所以当且m≠1时，方程有且只有一个非0解，
综上所述：且m≠1．
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．
6．（2024秋 黑龙江校级期末）已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P（1，1），设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（　　）
A．4x+3y﹣7＝0 B．3x+4y﹣7＝0 C．4x﹣3y﹣1＝0 D．3x﹣4y+1＝0
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】设M（x，y），求出点M的轨迹方程，设过点P（1，1）的直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出所以直线AB的斜率，求出直线AB的方程．
【解答】解：设M（x，y），
因为A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，
所以，
所以点M的轨迹方程为，
设过点P（1，1）的直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，所以，
因为P（1，1）为AB中点，所以x1+x2＝2，y1+y2＝2，
所以，
所以直线AB的斜率，
所以直线AB的方程为，
即3x+4y﹣7＝0．
故选：B．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，点差法的应用，属中档题．
7．（2024秋 龙岗区期末）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．曲线与y轴交于A、B两点，点P为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（　　）
A．图形关于y轴对称
B．点P的纵坐标的最大值为
C．
D．|PA|2+|PB|2≥4
【考点】曲线与方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，将x换成﹣x代入方程中，方程不变，此时可判断选项A；当x＞0时，方程x2﹣yx+y2﹣1＝0，根据Δ≥0，即可判断选项B；得到当x＞0和x＜0时的方程，利用基本不等式即可判断选项C，D．
【解答】解：对于选项A：将x换成﹣x代入方程中，方程不变，
所以图形关于y轴对称，故选项A正确；
对于选项B：当x＞0时，方程为x2﹣yx+y2﹣1＝0，
因为Δ＝y2﹣4（y2﹣1）≥0，
解得，
所以y的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：当x＞0时，方程为，
当且即当x＝y时，等号成立，
所以x2+y2≤2，
则，故选项C正确；
对于选项D：当x＜0时，方程为，
当且仅当x＝y时，等号成立，
所以，
则，
所以，故选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
8．（2024秋 天津期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；求椭圆的焦点和焦距．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得|MN|≥|ME|﹣1，再结合椭圆定义将|MN|﹣|MF1|化为，结合|MN|≥|ME|﹣2以及图形的几何性质即可求得答案．
【解答】 解：已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2 则F2（1，0），F1（﹣1，0），
又M为椭圆C：上任意一点，N为圆E：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4上任意一 点，则E（5，3），半径为2，
故，|MN|≥|ME|﹣2，当且仅当M，N，E共线，N在线段ME上时取等号，
所以 ＝|MN|+|MF2|﹣2|ME|+|MF2|﹣22≥|EF2|﹣22，当且仅当M，N，E，F2共线，M，N在线段EF2上时取等号，而，
故|MN|﹣|MF1|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆锥曲线的综合应用，圆的性质，重点考查了椭圆的性质及定义，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 淮北一模）如图，点P（a，b）是以（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1）为顶点的正方形边上的动点，角θ以Ox为始边，OP为终边，定义．则（　　）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数y＝S（x），x∈[0，2π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解；新定义类．
【答案】BCD
【分析】利用任意角三角函数的定义结合给定条件得到S（θ）和C（θ），代入法判断A，利用诱导公式判断B，利用诱导公式结合中心对称的定义判断C，先判断小区间内图形形状再结合轴对称性与中心对称性判断D即可．
【解答】解：由题意得a＝OPcosθ，b＝OPsinθ，
因为，，
所以，，
化简得，，
对于A，我们得到，
，故A错误；
对于B，我们得到，故B正确；
对于C，因为y＝S（x），，所以，
而，
故，
得到S（x）的图像关于点对称，故C正确；
对于D，因为y＝S（x），x∈[0，2π]，所以，
而，
所以S（x）+S（2π﹣x）＝0，故S（x）的图像关于点（π，0）对称，
而，
所以S（x）关于对称，且设S（x）在内与x轴围成封闭图形的面积为A，
故所求S（x）在[0，2π]内与x轴围成封闭图形的面积为4A，
当时，，且，
，
S（x）在上的图象关于点对称，在的图形与x轴围成图象面积等于以，为直角边的直角三角形面积，
故，则，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查新定义，解题关键是结合给定定义求出函数，然后利用判断图形形状，结合对称性得到所要求的图形面积即可，属于中档题．
（多选）10．（2025 邯郸模拟）已知直线l：y＝﹣1为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，F为C的焦点，圆M：x2+y2﹣6y+7＝0，P为C上第一象限内一点，直线PF与圆M相切于点N（N在第一象限），PD⊥l于点D，则（　　）
A．|NF|＝2
B．直线PF的方程为y＝x+1
C．
D．△PDF的面积为
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意，推出抛物线C的方程，连接MN，此时MN⊥NF，代入公式即可判断选项A；结合∠MFN＝45°，可得直线PF的方程，进而可判断选项B；设出点P的坐标，列出等式即可判断选项C；根据三角形面积公式即可判断选项D．
【解答】解：因为y＝﹣1为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，
所以p＝2，
则抛物线C的方程为x2＝4y，
此时F（0，1），
易知圆M的圆心M（0，3），半径，
连接MN，
此时MN⊥NF，
所以，故选项A错误；
因为∠MFN＝45°，
所以直线PF的斜率为1，
所以直线PF的方程为y＝x+1，故选项B正确；
设P（m，n）（m＞0，n＞0），
此时n＝m+1，m2＝4n，
解得，，
所以，故选项C正确；
易知△PDF的面积S，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 酒泉期末）将圆x2+y2＝16上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为F1、F2，长轴两端点分别为A，B，则（　　）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆上恰有四个点M，使得
C．若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则△MF1F2内切圆半径的最大值为
D．若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在F1M的延长线上，MN是∠PMF2的角平分线，过F2作F2Q垂直MN，垂足为Q，则线段OQ（O为坐标原点）的长为定值4
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A选项：根据图象的变换即可求解；
B选项：根据焦点三角形在短轴端点处张角最大即可判断；
C选项：根据内切圆半径与三角形面积的关系即可求解；
D选项：根据椭圆光学性质判断出外角平分线即为切线，根据几何关系得到MF1∥OQ，从而得到直线MN和直线OQ方程，联立求得点Q坐标，即可求解
【解答】解：由题意得，椭圆C的方程为x2+（2y）2＝16，即，A错误；
当点M为上下顶点时，∠F1MF2最大，此时，，
所以椭圆上恰有四个点M，使得，B正确；
因为△MF1F2的周长为定值，
设内切圆半径为r，
则，
所以，C正确；
由椭圆的光学性质可知，MN为椭圆C在点M处的切线，且MF1∥OQ，
设点M（x0，y0），则直线MN的方程为x0x+4y0y﹣16＝0，
直线OQ的方程为，
联立两直线方程，得，
所以，
，
所以|0Q|＝4为定值，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆方程的应用，属于难题．
（多选）12．（2024秋 鹰潭期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0）．动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是（　　）
A．C的方程为x2+y2+3x＝0
B．C关于直线x+y﹣2＝0对称的曲线方程为
C．在C上存在点D，使得D到点的距离为3
D．若E（0，6），F（2，2），则在C上不存在点M，使得|ME|＝|MF|
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；运动思想；综合法；直线与圆；运算求解；新文化类．
【答案】ABD
【分析】设P（x，y），应用两点距离公式及已知得C的方程为x2+y2+3x＝0判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出EF的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D．
【解答】解：设P（x，y），则|PA|＝（x+1）2+y2，|PB|＝（x﹣3）2+y2，
所以，则9（x+1）2+9y2＝（x﹣3）2+y2，
整理得x2+3x+y2＝0，A对；
由上，设对称圆的圆心为（x，y），则，
所以对称的曲线方程为，B对；
由到圆心C的距离为，由圆C半径，
所以到圆C的最短距离为，故不存在D，使D到的距离为3，C错；
由E，F中点为（1，4），且，则EF的中垂线为，
圆心C到x﹣2y+7＝0的距离，
故在C上不存在点M，使得|ME|＝|MF|，D对．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 卓尼县校级期末）若△ABC的顶点B，C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（2，1），顶点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为 　　．
【考点】轨迹方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据相关点法，即可求解．
【解答】解：因为△ABC的顶点B，C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（2，1），顶点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，
设△ABC的重心G的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0）．
则△ABC的重心G的坐标满足，．
所以x0＝3x+1，y0＝3y①．
因为点A在圆x2+y2+4x﹣6y+9＝0上运动，
所以点A的坐标（x0，y0）满足方程x2+y2+4x﹣6y+9＝0，
即满足方程（x+2）2+（y﹣3）2＝4②．
将①代入②，得．
即所求轨迹方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，相关点法的应用，属中档题．
14．（2024秋 深圳期末）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，若△F1FF2是等边三角形，则该抛物线的方程为 　x2＝12y　．
【考点】圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线；求双曲线的焦点和焦距．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】x2＝12y．
【分析】由题意，得到双曲线的焦点坐标，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：因为双曲线的方程为，
所以c，
即F1（，0），F2（，0），|F1F2|＝2，
易知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），
若△F1FF2是等边三角形，
此时|FO|2+|OF2|2＝|FF2|2＝|F1F2|2，
即，
解得p＝6（负值舍去），
则该抛物线的方程为x2＝12y．
故答案为：x2＝12y．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
15．（2024秋 东营期末）已知平面ABC⊥平面α，线段AB在平面α内，D为线段AB的中点，，∠CDB＝45°，点P为α内的动点，且点P到直线CD的距离为，则动点P的轨迹Γ的离心率为 　　，如果，在平面α内过点B的直线与Γ交于M，N两点，则三棱锥C﹣AMN的体积的最大值为 　　．
【考点】轨迹方程；棱锥的体积．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】，．
【分析】由题意，利用椭圆的定义求出椭圆的离心率；求出底面积的最大值，进而可得三棱锥体积的最大值．
【解答】解：因为空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，
所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，
此时，，
则动点P的轨迹F的离心率e，
此时椭圆方程为，
设A，B为椭圆的焦点，
此时，，
设直线MN方程为，
联立，消去x并整理得，
设M（x1，y1），N（y2，y2），
由韦达定理得，，
所以，
令，
此时，
当且仅当t＝1，即m＝0时，等号成立，|y1﹣y2|取得最大值，最大值为2，
所以△AMN的面积的最大值S，
因为三棱锥C﹣AMN的高h，
所以三棱锥C﹣AMN的体积的最大值V．
故答案为：，．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
16．（2024秋 蒙阴县校级期末）已知离心率为e1的椭圆和离心率为e2的双曲线，b2＞0）有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点．线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 　　．
【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】设F2为右焦点，由题意，PF1⊥PF2，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解．
【解答】解：离心率为e1的椭圆和离心率为e2的双曲线，b2＞0）有公共的焦点，其中F1为左焦点，设F2为右焦点，半焦距为c，PF1＝x，PF2＝y，
Q为PF1中点，线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，O为F1F2中点，则OQ∥PF2，
由OQ⊥PF1，PF1⊥PF2，
则x2+y2＝4c2，x+y＝2a1，x﹣y＝2a2，所以（2a1）2+（2a2）2＝2×4c2，从而有，
故，
当且仅当，即时取等，所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线与椭圆的综合应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 赤峰期末）“曲线M”：由半椭圆与半椭圆组成，其中a2＝b2+c2，a＞b＞c＞0．如图，设点F，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“曲线M”与x，y轴的交点，N为线段A1A2的中点．
（1）若等边△FF1F2的重心坐标为，求“曲线M”的方程；
（2）设P是“曲线M”的半椭圆上任意的一点．求证：当|PN|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；
（3）作垂直于y轴的直线与“曲线M”交于两点H，K，求线段HK中点的轨迹方程．
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】（1），；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）由等边三角形重心坐标求得F，F1，F2坐标，知道c的值，由椭圆基本性质得出a，b的值，从而得出曲线方程；
（2）设动点坐标，由题意列出线段得等量关系，由二次函数的性质得到最小值点即得证；
（3）设出动直线，分别表示出H，K两点坐标，由中点坐标公式得到中点坐标，由坐标的特征找到关系式，从而得出轨迹方程．
【解答】解：（1）因为等边△FF1F2的重心坐标为，
所以．
在半椭圆中，
由，
可得b2＝4，a2＝7，
因此“曲线M”的方程为，．
（2）证明：设P（x，y），则，﹣c≤x≤0．
因为，开口向下，
对称轴为：，
所以当x＝0或x＝﹣c时，
|PN|取得最小值时，即P在点B1，B2或A1处．
（3）由题可知，直线HK的斜率k＝0，则设直线y＝t，﹣b＜t＜b，
设H在上，
当x≥0时，，解得，所以．
设K在半椭圆上，
当﹣b＜t＜b，x＜0时，．
HK的中点为，
即线段HK中点的轨迹方程为：．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于难题．
18．（2025 邯郸模拟）已知P为圆F1：（x+1）2+y2＝4a2（a＞1）上一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线交半径PF1于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C，双曲线Γ：1的一条渐近线被圆F1所截得的弦长为．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）过C上一点M作斜率为的直线l，交双曲线Γ于A，B两点，且M恰好为线段AB的中点，求出点M的坐标；
（3）若直线l′：y＝kx+4与曲线C交于D，E两点，求△ODE面积的取值范围．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长；直线与圆锥曲线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【分析】（1）由题意，取双曲线的一条渐近线为，利用点到直线的距离公式、弦长公式以及椭圆的定义即可求解；
（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），可得，利用直线l的斜率为，解得y0＝6x0，代入曲线方程中求出M的坐标，再进行验证即可；
（3）将直线方程与曲线方程联立，根据Δ＞0，求出直线斜率的取值范围，利用韦达定理、三角形面积公式以及基本不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）易知双曲线Γ的渐近线为，
取一条渐近线为，
即，
此时圆心F1（﹣1，0）到直线的距离为，
因为圆F1的半径为2a，
所以弦长为，
解得a＝2，
因为|QF1|+|QF2|＝2a＝4＞|F1F2|＝2，
所以动点Q的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，
则曲线C的标准方程为；
（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
因为A，B两点均在双曲线上，
所以，
两式作差得，
因为直线l的斜率为，
所以，
即，
解得y0＝6x0，
此时，
所以，
解得，
因为y0＝6x0，
所以或，
经检验，均满足题意，
所以点M的坐标为或；
（3）联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+32kx+52＝0，
此时Δ＝48（4k2﹣13）＞0，
解得或，
设D（x3，y3），E（x4，y4），
由韦达定理得，，
所以|x3﹣x4|＝2|x3﹣x4|＝2
，
令，
此时4k2+3＝t2+16，
所以，
因为t＞0，
所以，当且仅当t＝4，即时，等号成立，
此时Δ＞0，
所以，
则∈．
故△ODE面积的取值范围为．
【点评】本题考查曲线方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 张家口期末）已知⊙F1，⊙F2的圆心分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），半径分别为r1，r2，r1＝2，r2＝6，⊙P的圆心为点P（x，y），半径为r．
（Ⅰ）写出⊙F1，⊙F2的标准方程，并判断其位置关系；
（Ⅱ）若⊙P与⊙F1外切且⊙P与⊙F2内切，求圆心P的轨迹方程．
【考点】轨迹方程；根据定义求椭圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（Ⅰ）⊙F1：（x+2）2+y2＝4，⊙F2：（x﹣2）2+y2＝36；两圆内切；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据圆的几何性质，即可求解；
（Ⅱ）根据椭圆的定义，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得⊙F1：（x+2）2+y2＝4，⊙F2：（x﹣2）2+y2＝36；
又|F1F2|＝4＝r2﹣r1，∴两圆内切；
（Ⅱ）设圆P的半径为r，
则根据题意可得|PF1|＝r1+r，|PF2|＝r2﹣r，
∴|PF1|+|PF2|＝r1+r2＝8＞|F1F2|＝4，
∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝8，2c＝4，
∴a＝4，c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝12，
∴圆心P的轨迹方程为．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，动点轨迹问题的求解，属中档题．
20．（2024秋 宁德期末）已知点T分别与两点M（﹣2，0），N（2，0）连线的斜率的乘积为，
（1）求点T的轨迹Γ的方程；
（2）已知直线与Γ交于A，B两点，，求k的值．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）设T（x，y），代入斜率公式求解即可；
（2）设出直线l的方程，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点坐标，将|PA|＝|PB|，转化成直线PD与直线AB垂直，代入斜率公式求解即可．
【解答】解：（1）设T（x，y），
因为M（﹣2，0），N（2，0），
所以，，
此时，
即，
整理得，
则点T的轨迹Γ的方程为；
（2）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得，
此时Δ＞0，
由韦达定理得，
所以，
此时AB中点，
因为|PA|＝|PB|，
所以直线PD与直线AB垂直，
所以kPDk＝﹣1，
即，
解得．
则．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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