资源简介

高考数学考前冲刺押题预测 直线与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 和平区校级期中）已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，若l1∥l2，则a＝（　　）
A．﹣1或2 B．1 C．1或﹣2 D．﹣2
2．（2023秋 锡林郭勒盟期末）设直线l：x+y﹣2＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），P为l上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 岳麓区校级期中）已知直线l：x﹣y+1＝0，从点A（﹣2，3）射出的光线经直线l反射后经过点B（2，4），则光线从A到B的路程为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
4．（2024秋 北京校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，当点A、C分别在x、y轴上运动，点B到原点O的最大距离是（　　）
A． B． C． D．3
5．（2024秋 闵行区校级期中）在平面直线坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），给出下列命题：
①已知点P（3，1）和直线1：2x﹣y﹣1＝0，则d（P，l）；
②定点F1（﹣c，0）、F2（c，0），动点P（x，y）满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a（2c＞2a＞0），则点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点．
下列说法正确的是（　　）
A．命题①成立，命题②不成立
B．命题①不成立，命题②成立
C．命题①②都成立
D．命题①②都不成立
6．（2024秋 沈阳期中）下列结论正确的是（　　）
A．若直线ax+y+1＝0与直线4x+ay+2＝0平行，则它们的距离为
B．原点到直线kx+（2k+1）y﹣3k﹣1＝0的距离的最大值为2
C．点（5，0）关于直线y＝2x的对称点的坐标为（﹣3，4）
D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为m2+m
7．（2024秋 仁寿县期末）已知直线与直线l2：x﹣3ay+7＝0，则“a＝3”是“l1⊥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2024秋 江阳区校级期末）若点A（4，3），B（3，5）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．﹣1或2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长春校级期末）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（　　）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
（多选）10．（2024秋 桦南县校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．“a＝1”是“直线ax﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相平行”的充要条件
B．已知点A（2，1），，直线l过P（1，0）且与线段AB相交，则其倾斜角的范围是
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有四条公切线，则4＜m＜20
D．圆x2+y2＝2上有且仅有2个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离等于
（多选）11．（2024秋 渝北区校级期中）已知直线l：，O为坐标原点，则（　　）
A．直线l的倾斜角为120°
B．若O到直线l的距离为1，则c＝2
C．过O且与直线l平行的直线方程为
D．过O且与直线l垂直的直线方程为
（多选）12．（2024秋 淄博校级期中）在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
三．填空题（共4小题）
13．（2023秋 东莞市期末）一条光线从点A（0，1）射出，经直线y＝x反射后与圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程可以为 　 　．（写出满足条件的一条直线方程即可）
14．（2024秋 梅河口市校级期中）已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是　 　．
15．（2024秋 徐汇区校级月考）已知P，Q分别在直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣8，5），B（5，﹣1），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 　 　．
16．（2024 合肥模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义为A，B的“镜像距离”．若点A，B在曲线y＝ln（x﹣a）+2上，且dAB的最小值为2，则实数a的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 香河县校级期中）已知直线l经过点（0，﹣2），（，1）．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
18．（2024秋 肇东市校级期中）如图，已知，B（0，0），C（12，0），直线．
（1）证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标；
（2）若直线l等分△ABC的面积，求直线l的一般式方程．
19．（2024秋 顺德区校级期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，0），，
（1）求边AB的高线的方程；
（2）求边BC的中线的方程；
（3）求∠A的平分线的方程．
20．（2024秋 洮北区校级期末）已知直线l：（m+1）x+（m﹣2）y﹣（4m+1）＝0与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求|OA| |OB|的最小值；
（2）求|OA|+|OB|的最小值．
高考数学考前冲刺押题预测 直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 和平区校级期中）已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，若l1∥l2，则a＝（　　）
A．﹣1或2 B．1 C．1或﹣2 D．﹣2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用直线平行的充要条件求出结果．
【解答】解：直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，若l1∥l2，则，整理得a2+a﹣2＝0，
解得a＝1或﹣2；
当a＝1时两直线平行，当a＝﹣2时，两直线重合；
故a＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：直线平行的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2．（2023秋 锡林郭勒盟期末）设直线l：x+y﹣2＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），P为l上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】先求得点A（﹣1，0）关于直线l的对称点A的坐标，则|A'B|即为|PA|+|PB|的最小值．
【解答】解．设点A（﹣1，0）关于直线l的对称点为A'（m，n），
则有，解之得，
则A'（2，3），
则|PA|+|PB|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查直线方程的应用，属于中档题．
3．（2024秋 岳麓区校级期中）已知直线l：x﹣y+1＝0，从点A（﹣2，3）射出的光线经直线l反射后经过点B（2，4），则光线从A到B的路程为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】求出A关于直线l的对称点A′的坐标，再求得A′B的长即得．
【解答】解：设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（m，n），
则由线段AA′被直线直线l垂直平分可得解得，
因为光线从A到B的路程即|A′B|的长，而|A′B|＝5．所以光线从A到B的路程为5．
故选：C．
【点评】本题考查了对称问题，是中档题．
4．（2024秋 北京校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，当点A、C分别在x、y轴上运动，点B到原点O的最大距离是（　　）
A． B． C． D．3
【考点】两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】取AC的中点D，连接BD，OD，根据数形结合分析可知|BO|≤|BD|+|DO|，根据B，O，D的位置关系即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x、y轴上运动，
取AC的中点D，连接BD，OD，
∵∠ACB＝90°，∴，，
由图可知，，
当B，O，D三点共线时，等号成立，
所以点B到原点O的最大距离是．
故选：A．
【点评】本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．（2024秋 闵行区校级期中）在平面直线坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），给出下列命题：
①已知点P（3，1）和直线1：2x﹣y﹣1＝0，则d（P，l）；
②定点F1（﹣c，0）、F2（c，0），动点P（x，y）满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a（2c＞2a＞0），则点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点．
下列说法正确的是（　　）
A．命题①成立，命题②不成立
B．命题①不成立，命题②成立
C．命题①②都成立
D．命题①②都不成立
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】对于①，设点Q是直线l：2x﹣y﹣1＝0上一点，且Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）＝max{|x﹣3|，|2x﹣2|}，讨论|x﹣3|与|2x﹣2|的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；
对于②，根据定义得|max{|x+c|，|y|}﹣max{|x﹣c|，|y|}|＝2a，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程即可判断．
【解答】解：对于①，设点Q是直线l：2x﹣y﹣1＝0上一点，且Q（x，2x﹣1），
可得d（P，Q）＝max{|x﹣3|，|2x﹣2|}，
由|x﹣3|≥|2x﹣2|，解得，即有d（P，Q）＝|x﹣3|，
当时，取得是最小值；
由|x﹣3|＜|2x﹣2|，解得或x＜﹣1，即有d（P，Q）＝|2x﹣2|，
d（P，Q）的范围是，无最值，
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确；
对于②，定点F1（﹣c，0）、F2（c，0），动点P（x，y），
满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a（2c＞2a＞0），
则max{|x+c|，|y|}﹣max{|x﹣c|，|y|}|＝2a，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0，
当时，有|x+c|﹣|x﹣c|＝2a，得；
当时，有0＝2a，此时无解；
当时，有x+c﹣y＝2a，a＜x；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线，
结合图像可知，点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线方程的应用，属于中档题．
6．（2024秋 沈阳期中）下列结论正确的是（　　）
A．若直线ax+y+1＝0与直线4x+ay+2＝0平行，则它们的距离为
B．原点到直线kx+（2k+1）y﹣3k﹣1＝0的距离的最大值为2
C．点（5，0）关于直线y＝2x的对称点的坐标为（﹣3，4）
D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为m2+m
【考点】两条平行直线间的距离；直线的截距式方程；恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】对于A选项由平行求出a的值，在排除重合的情况，求出两直线后求直线间的距离；
对于B选项通过直线方程求得定点坐标，由该点到定点的距离即是点到动直线的最大距离；
对于C选项通过对称直线与对称两点直线垂直，求出斜率后写出直线，联立方程求出交点即为两对称点中点，由中点坐标公式求得对称点坐标；
对于D选项由解析式得到直线的截距，由线段长求得三角形面积．
【解答】解：对于A选项：直线ax+y+1＝0与直线4x+ay+2＝0平行，由题意得a2﹣4＝0，∴a＝±2，当a＝2时，两直线均为2x+y+1＝0；
当a＝﹣2时，两直线分别为：2x﹣y﹣1＝0，2x﹣y+1＝0，
∴两直线距离，故A选项错误；
对于B选项：直线kx+（2k+1）y﹣3k﹣1＝0即（x+2y﹣3）k+（y﹣1）＝0过定点A（1，1），
∴原点到直线的距离在直线和OA垂直时取得，∴最大距离，故B选项错误；
对于C选项：∵直线y＝2x的斜率为kl＝2，则（5，0）和其对称点的连线l1的斜率，
∴，
联立方程组，解得，即对称点坐标（1×2﹣5，2×2﹣0）＝（﹣3，4），故C选项正确；
对于D选项：由解析式可得直线的截距为x＝m，y＝2m+2，
∴所围成的三角形的面积，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：直线的方程，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2024秋 仁寿县期末）已知直线与直线l2：x﹣3ay+7＝0，则“a＝3”是“l1⊥l2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；充分不必要条件的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：由于直线与直线l2：x﹣3ay+7＝0，
当a＝3时，直线l1为9x+y+1＝0，直线l2：x﹣9y+7＝0，故：两直线垂直；
当两直线垂直时，或a＝0，解得：a＝3或a＝0；
故“a＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2024秋 江阳区校级期末）若点A（4，3），B（3，5）到直线l：2x+ay+1＝0的距离相等，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．﹣1或2
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解．
【解答】解：若A，B在直线l的同侧，则，解得a＝1．
若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点，则7+4a+1＝0，解得a＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长春校级期末）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（　　）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
【考点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线系方程求出直线l所过定点坐标判断
A
、
C
；求出使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直的k值判断
B
；根据弦长公式求出弦长可判断
D
．
【解答】解：对于
A
、
C
，由l：kx﹣y+2k＝0，得k（x+2）﹣y＝0，令，解得，
所以直线l恒过定点（﹣2，0），故
A
错误；
因为直线l恒过定点（﹣2，0），而（﹣2）2+02＝4＜16，即（﹣2，0）在圆O：x2+y2＝16内，
所以直线
l
与圆
O
相交，故
C
正确；
对于
B
，直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，则当k＝﹣2时，满足直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故
B
正确；
对于
D
，k＝﹣1时，直线l：x+y+2＝0，圆心到直线的距离为d，
所以直线
l
被圆
O
截得的弦长为222，故
D
错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，是中档题．
（多选）10．（2024秋 桦南县校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．“a＝1”是“直线ax﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相平行”的充要条件
B．已知点A（2，1），，直线l过P（1，0）且与线段AB相交，则其倾斜角的范围是
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有四条公切线，则4＜m＜20
D．圆x2+y2＝2上有且仅有2个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离等于
【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系；圆上的点到直线的距离及其最值．
【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据两直线平行的充要条件、直线与线段的交点、圆与圆的位置关系、直线和圆的位置关系对选项进行分析即可．
【解答】解：对于A：由直线ax﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相平行，
得a×（﹣a）﹣（﹣1）×1＝0，解得a＝±1，
当a＝1时，直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y﹣2＝0平行，
当a＝﹣1时，直线x+y﹣1＝0与直线x+y﹣2＝0平行，
所以a＝1”是“直线ax﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相平行”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：因为kPA1，所以直线PA的倾斜角为，
因为kPB，所以直线PB的倾斜角为，故B正确；
对于C：圆C1：x2+y2+2x＝0，即（x+1）2+y2＝1，圆心C1（﹣1，0），半径r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0，即（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，
圆心C2（2，4），半径r2，
因为两圆恰有四条公切线，所以两圆外离，
即|C1C2|＞1，解得4＜m＜20，故C正确；
对于D：圆x2+y2＝2的圆心为（0，0），半径为，
圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为，
所以圆x2+y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离等于，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，属中档题．
（多选）11．（2024秋 渝北区校级期中）已知直线l：，O为坐标原点，则（　　）
A．直线l的倾斜角为120°
B．若O到直线l的距离为1，则c＝2
C．过O且与直线l平行的直线方程为
D．过O且与直线l垂直的直线方程为
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式；直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据直线l方程，得直线的倾斜角，可判断A；根据点到直线的距离公式计算可判断B，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断CD．
【解答】解：直线l可化为：，
所以斜率，得倾斜角为150°，故A错误；
由点到直线的距离公式得d1，得|c|＝2，
所以c＝±2，故B错误；
设与直线l平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以n＝0，
即平行直线方程为，故C正确；
设与直线l垂直的直线方程为，
因为垂直直线方程经过原点，所以m＝0，
即垂直直线方程为，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，点到直线距离公式的应用，两直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 淄博校级期中）在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率；命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可．
【解答】解：当0°＜α＜90°时，其斜率k＝tanα＞0，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tanα，所以 B正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β＝α+k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确．
故选：AB．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2023秋 东莞市期末）一条光线从点A（0，1）射出，经直线y＝x反射后与圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程可以为 　x＝1或15x﹣8y﹣15＝0　．（写出满足条件的一条直线方程即可）
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x＝1或15x﹣8y﹣15＝0．
【分析】先求出A关于y＝x的对称点，然后结合反射的性质及直线与圆相切的性质即可求解．
【解答】解：因为A（0，1）关于y＝x对称的点A′（1，0），
则反射光线经过点A′（1，0），
当反射光线的斜率不存在时，直线x＝1与圆C相切，符合题意；
当反射光线的斜率存在时，可设直线方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
由直线与圆相切可得，1，
解得，k，此时直线方程为15x﹣8y﹣15＝0．
故答案为：x＝1或15x﹣8y﹣15＝0．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，还考查了点关于直线的对称点的求解，属于中档题．
14．（2024秋 梅河口市校级期中）已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是　（2，1）　．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（2，1）．
【分析】先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得b＜1；③若点M在点A的左侧，求得，综合起来可得结论．
【解答】解：由题意可得，三角形ABC的面积为SAB OC＝4，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0）
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由，可得点N的坐标为（），
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则，且，解得a，b；
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于2，即MB yN＝2，
即（） ，解得a0，故b＜1，
③若点M在点A的左侧，则2，b＞a，设直线y＝ax+b和AC的交点为P，
则由，求得点P的坐标为（），
此时，|NP|，
此时，点C（0，2）到直线y＝ax+b的距离为
由题意可得，三角形CPN的面积等于2，即．
化简可得（2﹣b）2＝2|a2﹣1|．
由于此时0＜a＜b＜1，
∴（2﹣b）2＝2|a2﹣1|＝2﹣2a2．
两边开方可得2﹣b，则2﹣b＜，即b＞2，
综合以上可得，b的取值范围是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
15．（2024秋 徐汇区校级月考）已知P，Q分别在直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣8，5），B（5，﹣1），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 　13　．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到|AP|+|QB|最小值即可得解．
【解答】解：P，Q分别在直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣8，5），B（5，﹣1），
所以直线l1与l2间的距离为，，
过B（5，﹣1）作直线l垂直于l1：x﹣y+1＝0，如图，
则可设直线l的方程为x+y+c＝0，代入B（5，﹣1），解得c＝﹣4，
所以直线l的方程为x+y﹣4＝0，
将B（5，﹣1）沿着直线l往上平移个单位到B′点，设B′（a，﹣a+4），
则，解得a＝4或a＝6（舍去），则B′（4，0），
连接AB′交直线l1于点P，过P作PQ⊥l2于Q，连接BQ，
有BB′∥PQ，|BB′|＝|PQ|，即四边形BB′PQ为平行四边形，
则|PB′|＝|BQ|，即有|AP|+|QB|＝|AP|+|PB′|＝|AB′|，
显然|AB′|是直线l1上的点与点A，B′距离和的最小值，
因此|AP|+|QB|的最小值，即|AP|+|PB′|的最小值|AB′|，
因为A（﹣8，5），B′（4，0），所以，
所以|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为|AB′|+|PQ|．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的相关性质，考查计算能力，属于中档题．
16．（2024 合肥模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义为A，B的“镜像距离”．若点A，B在曲线y＝ln（x﹣a）+2上，且dAB的最小值为2，则实数a的值为 　1　．
【考点】两点间的距离公式；函数的最值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】依题意求出y＝ln（x﹣a）+2的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果．
【解答】解：由函数y＝ln（x﹣a）+2可得y﹣2＝ln（x﹣a），即x＝ey﹣2+a，
所以y＝ln（x﹣a）+2的反函数为y＝ex﹣2+a，
由点B（x2，y2）在曲线y＝ln（x﹣a）+2上可知点B1（y2，x2）在其反函数y＝ex﹣2+a上，
所以相当于y＝ex﹣2+a上的点B1（y2，x2）到曲线y＝ln（x﹣a）+2上点A（x1，y1）的距离，
即，
利用反函数性质可得y＝ex﹣2+a与y＝ln（x﹣a）+2关于y＝x对称，
所以可得当AB1与y＝x垂直时，取得最小值为2，
因此A，B1两点到y＝x的距离都为1，
过点A，B1的切线平行于直线y＝x，斜率为1，即，
可得x＝a+1，y＝ln（a+1﹣a）+2＝2，即A（a+1，2），
A点到y＝x的距离，解得，
当时，与y＝x相交，不合题意，
因此．
故答案为：．
【点评】本题考查了“镜像距离”和导函数的几何意义，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 香河县校级期中）已知直线l经过点（0，﹣2），（，1）．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
【考点】直线的两点式方程．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出斜率，利用点斜式即可得出．
（2）令y＝0，解得x，可得与x轴的交点．再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）kl．
∴直线l的方程为yx﹣2．
（2）令y＝0，解得x，可得与x轴的交点．
∴直线l与两坐标轴围成三角形的面积S．
【点评】本题考查了直线的方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（2024秋 肇东市校级期中）如图，已知，B（0，0），C（12，0），直线．
（1）证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标；
（2）若直线l等分△ABC的面积，求直线l的一般式方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；恒过定点的直线．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；定点为；
（2）．
【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标；
（2）判断△ABC为正三角形，推理点D为AB的三等分点（靠近点B），由求得|AE|＝9，设E（a，b），利用求出点E坐标，即得直线方程．
【解答】解：（1）由，整理得，
由解得，即直线l经过定点；
（2）
如图，因，B（0，0），C（12，0），，
则，|BC|＝12，，
即△ABC为正三角形，又由，可知点D为AB的三等分点（靠近点B），
则，由题意，直线l必与边CA相交（否则若与边BC相交于点E，则，不合题意），
设交点为E，
直线l等分△ABC的面积，
则，即，解得|AE|＝9，
则|CE|＝3，
设点E（a，b），
由，可得，解得，即，
又，，
则，
直线l过点，
故直线l的方程为：，
即．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程，属于中档题．
19．（2024秋 顺德区校级期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，0），，
（1）求边AB的高线的方程；
（2）求边BC的中线的方程；
（3）求∠A的平分线的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x＝0；（2）；（3）．
【分析】（1）因直线AB即x轴，得到边AB上的高线斜率不存在，又经过点C，即得；
（2）先求边BC的中点，再由两点式即可求得；
（3）∠A的平分线AD的斜率为k，由两直线的夹角公式列出方程，求得k的值，检验后由点斜式即得．
【解答】解：（1）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（1，0），，
依题意，直线AB即x轴，故边AB上的高线必垂直于x轴，且经过点，
故边AB的高线的方程为x＝0；
（2）边BC的中点为，因边BC的中线经过点A（﹣1，0），
故中线方程为：，即；
（3）
如图，设∠A的平分线AD的斜率为k，而边AB和AC的斜率分别为，
则由，解得或．
当时，由图知，显然不符合题意；
当时，因A（﹣1，0），则∠A的平分线的方程为，即．
【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 洮北区校级期末）已知直线l：（m+1）x+（m﹣2）y﹣（4m+1）＝0与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求|OA| |OB|的最小值；
（2）求|OA|+|OB|的最小值．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先判断直线l经过定点（3，1），设直线的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得；
（2）利用（1）的结论，借助于常值代换法和基本不等式即可求得
【解答】解：（1）由l：（m+1）x+（m﹣2）y﹣（4m+1）＝0整理得，（x+y﹣4）m+x﹣2y﹣1＝0，
令，解得，即直线l经过定点（3，1）．
不妨设直线l的方程为，则有（*），
由（*）和基本不等式可得，，解得ab≥12，
当且仅当a＝3b时，即a＝6，b＝2时，等号成立，
故当|OA|＝a＝6，|OB|＝b＝2时，|OA| |OB|＝ab的最小值为12；
（2）因|OA|+|OB|＝a+b，由（1）得，，
则，当且仅当时，等号成立，
故当时，|OA|+|OB|＝a+b取得最小值．
【点评】本题考查了直线的方程，基本不等式的运用，是中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑