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高考数学考前冲刺押题预测 排列与组合
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 唐山期中）从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（　　）
A．12 B．18 C．30 D．60
2．（2024春 保定期中）有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天．这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（　　）
A．32 B．36 C．48 D．56
3．（2024 市中区校级一模）甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
4．（2024春 唐山期中）4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（　　）
A．240 B．360 C．480 D．720
5．（2024春 朝阳区校级期中）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，仅有两人报同一项目的报名方法种数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
6．（2024春 盐都区校级期中）参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（　　）种．
A．120 B．96 C．240 D．144
7．（2024春 临汾期中）将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（　　）
A．56 B．126 C．210 D．462
8．（2024春 泊头市期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（　　）
A．16种 B．52种 C．88种 D．72种
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（　　）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
（多选）10．（2024秋 呼和浩特期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（　　）
A．若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C．若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D．若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
（多选）11．（2024秋 大连期末）已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（　　）
A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法
B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法
C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法
D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法
（多选）12．（2024春 南山区校级期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
三．填空题（共4小题）
13．（2024春 临汾期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 　 　种不同的涂色方法；若区域D不能涂甲油漆，则共有 　 　种不同的涂色方法．
14．（2024秋 湖南月考）从1，2，3，…，20中任意选取四元数组（a1，a2，a3，a4），满足ai+1﹣ai≥i+3（i＝1，2，3），则这样的四元数组（a1，a2，a3，a4）的个数为 　 　．（用数字作答）
15．（2024春 清江浦区校级期中）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为 　 　．
16．（2025 广东一模）如图，左边是编号为1、2、3、4的A型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的B型钢板，现将两堆钢板自上而下地堆放在一起．则B型钢板均不相邻的放法共 　 　种；乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法共 　 　种．
四．解答题（共4小题）
17．（2024春 南安市期中）将2个男生和4个女生排成一排：
（1）男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
（2）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答）
（3）2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
（4）4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答）
18．（2024秋 松江区校级月考）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
（1）7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；
（2）7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减．
19．（2024春 自流井区校级期中）用0，1，2，3，4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
（4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
20．（2024春 蓬江区校级期中）高二某班级周五的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育英语共6节课．
（1）如果语文与英语不相邻，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
高考数学考前冲刺押题预测 排列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 唐山期中）从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（　　）
A．12 B．18 C．30 D．60
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】从4名医生，3名护士中选3人组成一个医疗队，要求医生、护士都有，共有1名护士2名医生；2名护士1名医生两种情况，利用组合数表示出两种情况的结果，相加得到结果数．
【解答】解：由题意知本题是一个分类问题，
∵从4名医生，3名护士中选3人组成一个医疗队，要求医生、护士都有，
∴共有1名护士2名医生；2名护士1名医生两种情况，
∴共有18+12＝30种结果．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，考查分类计数原理，这种问题是排列组合中典型的问题，注意表示过程中数字不要弄混，是中档题．
2．（2024春 保定期中）有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天．这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（　　）
A．32 B．36 C．48 D．56
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】按周六分配到的精通日语的人数分类，结合组合数的运算列式计算即可．
【解答】解：周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法，
周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法，
所以分配方法的总数为18+18＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
3．（2024 市中区校级一模）甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：①若A学校只有1人去实习，
则不同的分配方案的种数是18；
②若A学校有2人去实习，
则不同的分配方案的种数是6，
则不同的分配方案的种数共有18+6＝24．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
4．（2024春 唐山期中）4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（　　）
A．240 B．360 C．480 D．720
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用插空法求解即可．
【解答】解：先排4幅不同的国画，有种，再将2幅油画插入，有种插法，
共有 4×3×2×1×5×4＝480种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
5．（2024春 朝阳区校级期中）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，仅有两人报同一项目的报名方法种数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意先分组再排列即可得解．
【解答】解：由题意，四名同学分为三组，其中一组2人，安排报名3个项目即可，
共有种不同的方法．
故选：D．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
6．（2024春 盐都区校级期中）参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（　　）种．
A．120 B．96 C．240 D．144
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】将A，B捆绑，和C，D，E进行全排列，再把教师采用插空法插入，即可求得结果．
【解答】解：将A，B捆绑，和C，D，E进行全排列，共有：种方法，
又因为A，B相邻，将其当做一个元素，和C，D，E共形成5个空，但教师不站在两端，
故插入教师的方式共有：种，
故所有的安排方法有：种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
7．（2024春 临汾期中）将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（　　）
A．56 B．126 C．210 D．462
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相同元素分组问题隔板法求解．
【解答】解：将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额的分法，
类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆，
因此共有种不同的分法．
则不同的分配方案种数为126．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相同元素分组问题，属中档题．
8．（2024春 泊头市期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（　　）
A．16种 B．52种 C．88种 D．72种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：按照甲、乙是否在天和核心舱划分情况：
①甲、乙有且只有一人在天和核心舱，需要在除甲、乙外的四人中选两人去天和核心舱，剩下的三人去剩下的两个实验舱，
有72种不同的安排方案；
②甲、乙都不在天和核心舱，从甲、乙外的四人中选三人去天和核心舱，再将甲、乙安排去剩下的两个实验舱，且一人去一个实验舱，剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱，
有16种不同的安排方案．
根据分类加法计数原理，共有72+16＝88种不同的安排方案．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（　　）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中选一个地方，
对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，
故A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，
故B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，
又所有的方法数为53＝125，
所以恰有1人选泰山的概率是，
故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，
所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型概率公式，属中档题．
（多选）10．（2024秋 呼和浩特期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（　　）
A．若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C．若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D．若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于AB，先安排特殊的人甲或甲、乙、，再安排其它人即可；对于C，采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，即可求得结果；对于D，采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，即可求得结果．
【解答】解：对于A：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法，
所以排队方法有种，故A正确；
对于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法；
则所有的排队方法有种，故B错误；
对于C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有种排队方法，故C正确；
对于D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法，
故共有种排队方法，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 大连期末）已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（　　）
A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法
B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法
C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法
D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AB
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及插空法逐一判断即可．
【解答】解：已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，
对于A，活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，
有18种不同的方法，
即A正确；
对于B，5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，
有72种不同的方法，
即B正确；
对于C，将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，
有12种不同的方法，
即C错误；
对于D，活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，
有7种不同的方法，
即D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及插空法，属中档题．
（多选）12．（2024春 南山区校级期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BD
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解．
【解答】解：对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，
故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，
则有种情况，
故甲乙不相邻的排法种数为6×12＝72种情况，
故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，
故有种；
若最左端不排乙，
则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，
又乙不能在最右端，
则有种情况，
则共有24+54＝78种站法，
故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看作一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，
故有种，
故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024春 临汾期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 　1200　种不同的涂色方法；若区域D不能涂甲油漆，则共有 　960　种不同的涂色方法．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】1200；960．
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解．
【解答】解：若C，E的涂色相同，
则共有5×4×3×2×3＝360种方法；
若C，E的涂色不相同，
则共有5×4×3×2×（1×3+2×2）＝840种方法．
故共有1200种不同的涂色方法．
因为区域D不能涂甲油漆，
所以区域D的涂色方法有4种．
若C，E的涂色相同，
则共有4×4×3×3×2＝288种方法；
若C，E的涂色不相同，
则共有4×4×3×2×（1×3+2×2）＝672种方法．
故共有288+672＝960种不同的涂色方法．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
14．（2024秋 湖南月考）从1，2，3，…，20中任意选取四元数组（a1，a2，a3，a4），满足ai+1﹣ai≥i+3（i＝1，2，3），则这样的四元数组（a1，a2，a3，a4）的个数为 　70　．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】70．
【分析】将a1连同其右边的3个空位捆绑，a2连同其右边的4个空位捆绑，a3连同其右边的5个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组（a1，a2，a3，a4）的个数相当于从8个元素中选取4个．
【解答】解：从1，2，3，…，20中任意选取四元数组（a1，a2，a3，a4），满足ai+1﹣ai≥i+3（i＝1，2，3），即a2﹣a1≥4，a3﹣a2≥5，a4﹣a3≥6，
将a1连同其右边的3个空位捆绑，a2连同其右边的4个空位捆绑，a3连同其右边的5个空位捆绑分别看作一个元素，
四元数组（a1，a2，a3，a4）的个数相当于从8个元素中选取4个，故这样的四元数组（a1，a2，a3，a4）的个数是70．
故答案为：70．
【点评】本题考查了计数原理，组合数的原理，考查了捆绑法的使用．属于中档题．
15．（2024春 清江浦区校级期中）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为 　60　．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】60．
【分析】分两种情况分类计算，一种是A基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可．
【解答】解：当A基地只有甲同学在时，
那么总的排法是36种；
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，
那么总的排法是种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为36+24＝60种．
故答案为：60．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
16．（2025 广东一模）如图，左边是编号为1、2、3、4的A型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的B型钢板，现将两堆钢板自上而下地堆放在一起．则B型钢板均不相邻的放法共 　1440　种；乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法共 　336　种．
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】1440，336．
【分析】第一空：用插空法分析：先将A型钢板放好，再将B型钢板插在其空位中，由分步计数原理计算可得答案；
第二空：分析可得乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的情况，再将甲号、丙号钢板安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，第一空：先将A型钢板放好，有A44＝24种放法，
排好后，有5个空位，再将B型钢板插在其空位中，有A53＝60种情况，
则有24×60＝1440种不同的放法，
第二空：要求乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等，
则乙号钢板上方为1、4的A型钢板，下方为2、3的A型钢板或者上方为2、3的A型钢板，下方为1、4的A型钢板，
则A型钢板的放法有A22×A22×A22＝8种，
排好后，有6个空位，则甲号钢板有6种放法，
排好后，有7个空位，则丙号钢板有7种放法，
则有8×7×6＝336种放法；
故答案为：1440，336．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024春 南安市期中）将2个男生和4个女生排成一排：
（1）男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
（2）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答）
（3）2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
（4）4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答）
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）480；
（2）144；
（3）288；
（4）30．
【分析】（1）先对女生排列再用插空法可得答案；
（2）先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果；
（3）根据间接法，总的减去对立面可求得结果；
（4）先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果．
【解答】解：将2个男生和4个女生排成一排，
（1）先对女生排列有种方法，
再用插空法排列有种方法，
则总计有种方法；
（2）先对女生排列有种方法，
男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有，
则总计有种方法；
（3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法，
另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法，
所以两个男生都不和甲相邻的排法有
种；
（4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种，
然后根据插空法排另外一个男生有种，
则总计有种方法．
【点评】本题考查了插空法，重点考查了间接法，属中档题．
18．（2024秋 松江区校级月考）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
（1）7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；
（2）7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）720；
（2）20．
【分析】（1）将较高的3个学生捆成一个元素，按“先捆绑，再松绑”的方法即可求得答案；
（2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边即可求得答案．
【解答】解：（1）将较高的3个学生捆成一个元素，与另4个学生构成5个学生自由排列有种方法，捆成一个元素的三学生内部可自由排列，有种方法，
所以共有 720种；
（2）因为最高的站在中间，
所以从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边，
共有 20种．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．
19．（2024春 自流井区校级期中）用0，1，2，3，4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
（4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）125；
（2）100；
（3）30；
（4）36．
【分析】（1）三位数字的电话号码，数字可以重复，首位可以是0，由分步乘法计数原理计算即可；
（2）排成三位数，首位不能为0，先排首位，再排其他位，由分步乘法计数原理计算即可；
（3）排成能被2整除的无重复数字的三位数，分为2类，个位为0或者个位为2，4，再排其他位，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可；
（4）先排个位，再排首位，最后排其他位，根据分步乘法计数原理计算即可．
【解答】解：（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，
共有5×5×5＝53＝125（个）．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，
首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，
因此，共有4×5×5＝100（个）．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，
因此，可以分两类，一类是末位数字是0，
则有4×3＝12（种）排法；
一类是末位数字不是0，
则末位有2种排法，即2或4，再排首位，
因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，
因此有2×3×3＝18（种）排法，
因此有12+18＝30（种）排法，
即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
（4）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：
第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．
由分步计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
20．（2024春 蓬江区校级期中）高二某班级周五的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育英语共6节课．
（1）如果语文与英语不相邻，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】计算题；转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）480种；
（2）384种；
（3）504种．
【分析】（1）根据语文与英语不相邻用插空法，即可求解；
（2）f分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和，即可求解；
（3）根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法，即可求解．
【解答】解：（1）由语文与英语不相邻，
可以将其它4门课先排，再将语文与英语插入，可得不同的排法有480种；
（2）如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，
所以共有120+384＝504种；
（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，
则有种．
【点评】本题主要考查排列数的求解，属于中档题．
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