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高考数学考前冲刺押题预测 抛物线
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 乌鲁木齐校级期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点，A（2，1），当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
2．（2024秋 大连期末）过抛物线x2＝4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 深圳期末）已知直线l经过抛物线y2＝12x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 牡丹江期末）已知抛物线的准线为l，则l与直线8x﹣4y+3＝0的交点坐标为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 广州期末）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．4
6．（2024秋 保定期末）已知点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 东城区期末）设坐标原点为O，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为线段OF的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若△ODF的周长为8，则p的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2024秋 成都期末）等腰直角△OAB内接于抛物线C：y2＝2px（p＞0），其中O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△OAB的面积为16，F为C的焦点，M为C上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 绵阳期末）过点M（m，0）（m＞0）的直线l1与抛物线E：y2＝4x交于A，B两点（A在第一象限），过A作直线l2与抛物线E的另一交点为D，直线l2与x轴交于点N（n，0）（n＞m，B，D均在第四象限），直线l1与直线l2的斜率分别为k1，k2，则（　　）
A．若m＝2，且k1＝1时，则|AB|＝16
B．若m＝4时，点O在以AB为直径的圆上
C．△MNB与△MND的面积之比为m：n
D．若点A（1，2），且k1+k2＝4，直线BD过定点（0，﹣1）
（多选）10．（2024秋 湖北期末）已知直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足依次为A1，B1，若AB长的最小值为4，则下列结论正确的有（　　）
A．p＝2
B．若AB的倾斜角为60°，点A在第一象限，则
C．若|AA1| |BB1|＝8，则AB的斜率为1
D．若点M，N在C上，且，则|AF|+|MF|+|NF|＝6
（多选）11．（2024秋 南通期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k（x﹣1）过抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与Γ交于点A，B，则下列结论正确的是（　　）
A．Γ的通径长为4
B．线段AB的中点在定直线上
C．直线OA，OB的斜率之积为定值
D．若A（4，4），直线OA与Γ的准线交于点C，则|BC|
（多选）12．（2024秋 涪城区校级期末）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（　　）
A．若A的纵坐标为2，则|AF|＝3
B．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为4
C．若，则直线AB恒过定点（2，0）
D．若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|＝2|OF|，则四边形OFBB′的周长为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 澄海区期末）已知抛物线C：y2＝4x，则C的焦点坐标为 　 　；若过C上一动点P作圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAMB面积的最小值是，则r＝ 　 　．
14．（2024秋 海淀区期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的点，点Q为其准线上的点，且满足QF⊥PF．若|PF|＝4，则点P的横坐标为 　 　，△PQF的面积为 　 　．
15．（2024秋 天津期末）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于，则p的值为　 　．
16．（2024秋 武威期末）已知A（0，2），抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，B（4，y0）为Γ上一点，若AB⊥AF，则|BF|＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 船营区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点M（4，m）在抛物线C上，点F为抛物线C的焦点，且|MF|＝8，过点（8，0）作直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最小值．
18．（2024秋 武汉期末）设抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交E于A、B两点，且|AB|的最小值为4．
（1）求E的方程；
（2）设过F的另一直线交E于C、D两点，且点M（2，2）在直线AC上．
（Ⅰ）证明：直线BD过定点N；
（Ⅱ）对于（1）中的定点N，当△AMN的面积为时，求直线AB的方程．
19．（2024秋 天心区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（4，a）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的方程，并求a的值；
（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若点B（﹣1，2）满足∠MBN＝90°，求直线l的方程．
20．（2024秋 站前区校级期末）已知抛物线y2＝﹣x与过点（﹣2，0）直线l相交于A、B两点，点O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若△OAB的面积等于3，求直线l的一般方程．
高考数学考前冲刺押题预测 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 乌鲁木齐校级期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点，A（2，1），当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；综合法；逻辑思维．
【答案】A
【分析】P点到准线距离|PB|＝|PF|，△PAF的周长最小，则|PA|+|PB|最小，必须使得A，P，B三点共线，求出此时P点坐标，可求△PAF的面积．
【解答】解：如图所示：
过B垂直于C的准线x＝﹣1，垂足为B，由抛物线的定义知|PF|＝|PB|，
所以△PAF的周长为，要使周长最小，
则必须使得A，P，B三点共线，即点P在过A垂直于x＝﹣1的直线上（图中点P1处），
易求点，所以，△P1AF在AP1边上的高为1，
故其面积为．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
2．（2024秋 大连期末）过抛物线x2＝4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的弦及弦长．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．
【解答】解：当A在第一象限，过抛物线x2＝4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，
又，
过A作AC垂直准线交准线于点C，过B作BD垂直准线交准线于点D，过B作BM垂直直线AC交于点M，
设|BF|＝t，
则|AF|＝3t，|BD|＝t，|AC|＝3t，|AM|＝2t，|AB|＝4t，
则，
即，
即直线AB的斜率为，
当A在第四象限，由抛物线的对称性可得：直线AB的斜率为．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
3．（2024秋 深圳期末）已知直线l经过抛物线y2＝12x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的弦及弦长．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式求解．
【解答】解：已知直线l经过抛物线y2＝12x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，
则F（3，0），
由题意不妨设直线AB的方程为x＝my+3，
联立，
则y2﹣12my﹣36＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2＝﹣36，
又|AF|＝3|BF|，
则y1＝﹣3y2，
则|y1﹣y2，
则△OAB的面积为．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式，属中档题．
4．（2024秋 牡丹江期末）已知抛物线的准线为l，则l与直线8x﹣4y+3＝0的交点坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】求抛物线的准线方程；两条直线的交点坐标．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】求出直线l的方程，再将直线l的方程与直线8x﹣4y+3＝0的方程联立，可得出交点坐标．
【解答】解：已知抛物线方程为，
则其准线方程为，
联立，
解得，
因此，l与直线8x﹣4y+3＝0的交点坐标为．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
5．（2024秋 广州期末）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．4
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系求解．
【解答】解：由题意可得抛物线方程为x2＝4y，
则焦点坐标为（0，1），
则直线AB方程为y＝x+1，
联立，
消x可得：y2﹣6y+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝6，
即线段AB的长为y1+y2+2＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
6．（2024秋 保定期末）已知点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由点在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为，m＞0，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得kAB，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解．
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为，
∵点在准线上，∴即p＝4，
抛物线的方程为x2＝8y，即，
故点B为抛物线上的一点，
可设点B的坐标为，m＞0，
对求导可得，，
∴直线AB的斜率为，
由，，
则，解得，m＝6或（舍负），
∴点，由抛物线的定义可知，．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的定义与性质，属于中档题．
7．（2024秋 东城区期末）设坐标原点为O，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为线段OF的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若△ODF的周长为8，则p的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】抛物线的焦点三角形；抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】求解焦点坐标，求解D的横坐标，利用抛物线的定义，结合周长求解p即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），
M为线段OF的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，D的横坐标为：，
若△ODF的周长为8，可得2（）8，解得p＝4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是中档题．
8．（2024秋 成都期末）等腰直角△OAB内接于抛物线C：y2＝2px（p＞0），其中O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△OAB的面积为16，F为C的焦点，M为C上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA＝OB可求得x1＝x2，进而可求得AB＝4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y＝k（x+1），代入y2＝4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|＝|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为 ，换元，利用基本不等式求得最大值．
【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝2px1，y22＝2px2．
由OA＝OB得：x12+y12＝x22+y22，
∴x12﹣x22+2px1﹣2px2＝0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）＝0，
∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，
∴x1＝x2，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y＝xtan45°＝x，
与抛物线联立，解得或，
故AB＝4p，
∴S△OAB2p×4p＝4p2．
∵△AOB的面积为16，∴p＝2；
焦点F（1，0），设M（m，n），则n2＝4m，m＞0，设M 到准线x＝﹣1的距离等于d，
则．
令 m+1＝t，t＞1，则（当且仅当 t＝3时，等号成立）．
故 的最大值为，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 绵阳期末）过点M（m，0）（m＞0）的直线l1与抛物线E：y2＝4x交于A，B两点（A在第一象限），过A作直线l2与抛物线E的另一交点为D，直线l2与x轴交于点N（n，0）（n＞m，B，D均在第四象限），直线l1与直线l2的斜率分别为k1，k2，则（　　）
A．若m＝2，且k1＝1时，则|AB|＝16
B．若m＝4时，点O在以AB为直径的圆上
C．△MNB与△MND的面积之比为m：n
D．若点A（1，2），且k1+k2＝4，直线BD过定点（0，﹣1）
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系及弦长公式判断A；
联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系及可判断B；
面积问题可转化为B，D点纵坐标问题，可判断C；
联立直线与抛物线结合根与系数的关系可得解，利用A点坐标及点差法得出直线斜率，再由斜率之和为4，变形化简得出y2x3﹣y3x2＝﹣（x3﹣x2），结合直线lBD的方程可知过定点判断D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），
对A，m＝2，且k1＝1，所以l1：y＝x﹣2，
联立，
可得x2﹣8x+4＝0，
则x1+x2＝8，x1x2＝4，
所以，故A错误；
对B，m＝4，设l1：x＝ay+4，
联立，可得y2﹣4ay﹣16＝0，
则y1+y2＝4a，y1y2＝﹣16，
所以，
所以x1x2+y1y2＝0，即，
所以点O在以AB为直径的圆上，故B正确；
对C，由题意，
设l1：x＝uy+m，
联立，
可得y2﹣4uy﹣4m＝0，
所以y1y2＝﹣4m，
同理可得，y1y3＝﹣4n，
所以，故C正确；
对D，由，
两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
即，又由斜率定义可得人，
所以，
同理可得，
由k1+k2＝4，可得，
即，
两式作差得：y2x3﹣y3x2＝﹣（x3﹣x2），
由，
即y2x3﹣y3x2＝y（x3﹣x2）+x（y2﹣y3），
当x＝0时，代入可得y＝﹣1，
即直线恒过定点（0，﹣1），故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线方程的应用，属于难题．
（多选）10．（2024秋 湖北期末）已知直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足依次为A1，B1，若AB长的最小值为4，则下列结论正确的有（　　）
A．p＝2
B．若AB的倾斜角为60°，点A在第一象限，则
C．若|AA1| |BB1|＝8，则AB的斜率为1
D．若点M，N在C上，且，则|AF|+|MF|+|NF|＝6
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得抛物线的方程为y2＝4x，设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，结合根与系数关系可得y1+y2，y1y2，x1x2，x1+x2，由抛物线的定义可得|AF|，|BF|，|AB|，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：由题意得抛物线的焦点，准线方程为，
因为AB长的最小值为4，
所以2p＝4，
解得p＝2，故选项A正确；
所以抛物线的方程为y2＝4x，
设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣4＝0，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以，
，
易知，，
，
若AB的倾斜角为60°，
此时，
所以，y1y2＝﹣4，
所以，，
可得x1＝3，，
所以|AF|＝x1+1＝4，，
则|AF|＝3|BF|，故选项B正确；
若|AA1| |BB1|＝8，
此时，
所以|x1+1| |x2+1|＝8，
所以（x1+1）（x2+1）＝8，
可得x1x2+x1+x2+1＝8，
即1+4m2+2+1＝8，
解得m＝±1，
则直线AB的斜率为1或﹣1，故选项C错误；
设M（x3，y3），N（x4，y4），
因为，
所以F为△AMN的重心，
所以，y1+y3+y4＝0，
则|AF|+|MF|+|NF|＝x1+1+x3+1+x4+1＝6，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 南通期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k（x﹣1）过抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与Γ交于点A，B，则下列结论正确的是（　　）
A．Γ的通径长为4
B．线段AB的中点在定直线上
C．直线OA，OB的斜率之积为定值
D．若A（4，4），直线OA与Γ的准线交于点C，则|BC|
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意可得焦点F的坐标，进而可得p的值，可得通径的长，判断出A的真假；设直线l的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得AB的中点D的坐标，求出点D的轨迹方程，判断出B的真假；由B选项方程，可得直线OA，OB的斜率之积，判断出C的真假；由点A的坐标，可得直线OA的方程，求出点C的坐标，可得直线l的方程，与抛物线的方程联立，可得点B的坐标，可得|BC|的值，判断出D的真假．
【解答】解：因为直线y＝k（x﹣1）过抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得焦点F（1，0），即p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x，
A中，可得抛物线Γ的通径为2p＝4，所以A正确；
B中，由题意可得k≠0，设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入抛物线的方程可得：y2﹣4my﹣4＝0，
可得y1+y2＝4m，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，y1y2＝﹣4，x1x21，
所以AB的中点D（2m2+2，2m），
设点D（x，y），可得，整理可得：y2＝2x﹣4，即AB的中点在定曲线y2＝2x﹣4上，而不是在定直线上，所以B不正确；
C中，由B选项分析， x1x2+y1y2＝1﹣4＝﹣3，即为定值，所以C正确；
D中，因为A（4，4），可得直线OA的方程为y＝x，令x＝﹣1，可得y＝﹣1，即C（﹣1，﹣1），
可得kAB，所以直线AB的方程为y（x﹣1），即xy+1，联立，
整理可得y2﹣3y﹣4＝0，解得y＝4或y＝﹣1，
可得B（，﹣1），可得BC∥x轴，即|BC|＝|﹣1|，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 涪城区校级期末）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（　　）
A．若A的纵坐标为2，则|AF|＝3
B．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为4
C．若，则直线AB恒过定点（2，0）
D．若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|＝2|OF|，则四边形OFBB′的周长为
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】由点A纵坐标可得点A坐标，即可判断选项A错误；设直线AB方程，与抛物线方程联立，利用|AB|＝x1+x2+p表示|AB|，即可得到选项B正确；设直线AB方程，与抛物线方程联立，计算x1x2，y1y2，利用可得选项C正确；利用条件计算点B，B′坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误．
【解答】解：已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，
则p＝2，F（1，0），准线方程l：x＝﹣1．
对于A．由A的纵坐标为2，
则A（1，2），
故|AF|＝2，
选项A错误．
对于B．如图，设直线AB方程为：x＝my+1，
由，
得y2﹣4my﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
则，当m＝0时，|AB|min＝4，
选项B正确．
对于C．如图，设直线AB方程为：x＝my+t，
由，
得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
则，
解得t＝2，
即直线AB方程为：x＝my+2，恒过定点（2，0），
选项C正确．
对于D．如图，设点B在第四象限．
由题意得，|OF|＝1，
则|BB′|＝2|OF|＝2．
由准线方程为x＝﹣1，
得xB＝1，
故B（1，﹣2），B'（﹣1，﹣2），
则，
即四边形OFBB′的周长为，
选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 澄海区期末）已知抛物线C：y2＝4x，则C的焦点坐标为 　（1，0）　；若过C上一动点P作圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAMB面积的最小值是，则r＝ 　　．
【考点】抛物线的焦点与准线；圆上的点到定点的距离及其最值．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1，0）；．
【分析】由抛物线的性质，结合三角形的面积公式及二次函数最值的求法求解．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x，
则C的焦点坐标为（1，0）；
过C上一动点P作圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线，切点分别为A，B，
则，
则四边形PAMB的面积为2|PB| r，
设P（x0，y0），
则12，
又四边形PAMB面积的最小值是，
则，
则．
故答案为：（1，0）；．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了三角形的面积公式及二次函数最值的求法，属中档题．
14．（2024秋 海淀区期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的点，点Q为其准线上的点，且满足QF⊥PF．若|PF|＝4，则点P的横坐标为 　3　，△PQF的面积为 　　．
【考点】抛物线的焦点三角形；抛物线的焦点与准线．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】3；．
【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式求解．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，
则F（1，0），
设P（x0，y0），
则，
即，
不妨设y0＞0，
即，
则，
则Q（﹣1，t），
则，
即，
则，
则，
即△PQF的面积为．
故答案为：3；．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式，属中档题．
15．（2024秋 天津期末）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于，则p的值为　3　．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】3．
【分析】作出辅助线，根据直线AB的斜率表达出梯形CMNF的上底和下底以及高，列出方程，即可求出p．
【解答】解：易知，直线AB的方程为，四边形CMNF为梯形，且FC∥NM.
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，所以y1+y2＝2p，所以y0＝p，
作MK⊥x轴于点K，则|MK|＝p．
因为直线AB的斜率为1，所以△FMC为等腰直角三角形，故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p，
所以，|FC|＝2p，
所以四边形CMNF的面积为，
解得p＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2024秋 武威期末）已知A（0，2），抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，B（4，y0）为Γ上一点，若AB⊥AF，则|BF|＝ 　5　．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据题意，AB⊥AF即，利用数量积的坐标运算和点B（4，y0）在抛物线上求得p＝2，最后再由抛物线的定义求解．
【解答】解：已知A（0，2），抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，B（4，y0）为Γ上一点，
则，，，
因为AB⊥AF，
所以，
又，
所以，
解得y0＝4，
所以p＝2，
所以．
故答案为：5．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 船营区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点M（4，m）在抛物线C上，点F为抛物线C的焦点，且|MF|＝8，过点（8，0）作直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最小值．
【考点】根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（Ⅰ）y2＝16x；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得：，然后求解即可；
（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ky+8，联立，然后结合韦达定理及三角形的面积公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点M（4，m）在抛物线C上，点F为抛物线C的焦点，且|MF|＝8，
由抛物线的定义可得：，
即p＝8，
即抛物线C的方程为y2＝16x；
（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ky+8，
联立，
消x得：y2﹣16ky﹣128＝0，
则Δ＝（﹣16k）2﹣4×1×（﹣128）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝16k，y1y2＝﹣128，
则，
当且仅当k＝0时取等号，
即△AOB面积的最小值为．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属中档题．
18．（2024秋 武汉期末）设抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交E于A、B两点，且|AB|的最小值为4．
（1）求E的方程；
（2）设过F的另一直线交E于C、D两点，且点M（2，2）在直线AC上．
（Ⅰ）证明：直线BD过定点N；
（Ⅱ）对于（1）中的定点N，当△AMN的面积为时，求直线AB的方程．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）y2＝4x．
（2）（Ⅰ）证明见解答．
（Ⅱ）4x+3y﹣4＝0或3x﹣4y﹣3＝0．
【分析】（1）借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可；
（2）（i）设直线AC方程：x＝my+2﹣2m，A（x1，y1），C（x3，y3），直曲联立．另外，由前问求出B，D．进而得到直线BD方程，化简得到m（2x+y）+1﹣2x＝0，即可求出定点．
（ii）先求出|MN|和直线MN方程，还求出点A（x1，y1）到直线MN的距离，根据面积公式计算出A点坐标，即可求出直线AB方程．
【解答】解：（1）设直线AB方程：x＝ty，代入抛物线y2＝2px中，化简得y2﹣2pty﹣p2＝0，
设．A（x1，y1）B（x2，y2），则根据韦达定理可得y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣p2．
所以，
当t＝0时，有|AB|的最小值为2p．
所以2p＝4，故E的方程为y2＝4x．
（2）（Ⅰ）证明：设直线AC方程：x＝my+2﹣2m，A（x1，y1），C（x3，y3），
由消去x得y2﹣4my+8m﹣8＝0．所以①，
又由（1）知，，∴，同理∴D（）．
所以直线BD的斜率，
所以直线BD方程为，化简得y1y3x+（y1+y3）y+4＝0②，
由①②得（8m﹣8）x+4my+4＝0，即m（2x+y）+1﹣2x＝0．
由得，即证明直线BD过定点N（2，﹣1）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，
直线MN方程为：2x﹣y﹣2＝0，
点A（x1，y1）到直线MN的距离，
所以，所以y＝﹣4或6．
因此A点坐标为（4，﹣4）或（9，6）．
且F（1，0），，
所以直线AB方程为4x+3y﹣4＝0或3x﹣4y﹣3＝0．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
19．（2024秋 天心区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（4，a）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的方程，并求a的值；
（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若点B（﹣1，2）满足∠MBN＝90°，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；a＝±4．
（2）x﹣y﹣1＝0．
【分析】（1）由抛物线的方程，结合抛物线的定义求解；
（2）由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及韦达定理求解即可．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为，
因为点A（4，a）在抛物线C上，且|AF|＝5，
所以，
解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x，
又因为点A（4，a）在抛物线C上，
所以a2＝16，
即a＝±4．
（2）由（1）可知抛物线的焦点F（1，0），
显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
由，
消去x整理得y2﹣4my﹣4＝0，
所以Δ＝16m2+16＞0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以，x1x2＝（my1+1）（my2+1）＝m2y1y2+m（y1+y2）+1＝1，
又B（﹣1，2），
所以，，
因为∠MBN＝90°，
所以，
即x1x2+（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝0，
即1+4m2+2+1﹣4﹣8m+4＝0，
解得m＝1，
所以直线l的方程为x＝y+1，
即x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
20．（2024秋 站前区校级期末）已知抛物线y2＝﹣x与过点（﹣2，0）直线l相交于A、B两点，点O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若△OAB的面积等于3，求直线l的一般方程．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）x﹣y+2＝0或x+y+2＝0．
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；
（2）把△OAB的面积转化为△OCA，△OCB的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）已知抛物线y2＝﹣x与过点（﹣2，0）直线l相交于A、B两点，点O为坐标原点．
由题意l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty﹣2，
代入抛物线方程可得y2+ty﹣2＝0，
则Δ＝t2﹣4×1×（﹣2）＞0，
设，
则y1+y2＝﹣t，y1y2＝﹣2，
所以．
（2）记（2，0）为点C，
由（1）有，
所以，
所以，
解得：t＝±1，
所以直线l的方程为：x﹣y+2＝0或x+y+2＝0．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
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