资源简介

高考数学考前冲刺押题预测 三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025 株洲一模）已知三个电流瞬时值的函数表达式为I1（t）＝sint，I2（t）＝sin（t+φ），I3（t）＝sin（t+2φ），φ∈（0，π），它们合成后的电流瞬时值的函数为I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）的部分图象如图所示，则I（t）的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
2．（2024秋 西湖区校级期末）下列命题正确的是（　　）
A．小于90°的角是锐角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．与﹣2024°终边相同的最小正角是136°
D．若α＝﹣2，则α是第四象限角
3．（2024秋 杭州期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 南关区校级期末）已知，，α、，则cos（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 绥化校级期末）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 和平区期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为2π，现将f（x）图象向右平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（﹣m，m）上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，π] D．
7．（2024秋 平和县校级期末）已知sin（α+β）＝2sinαsinβ，tanαtanβ＝﹣2，则tan（α+β）＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
8．（2024秋 雨花区校级期末）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点，则ω的范围为（　　）
A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 榆林期末）下列等式成立的有（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2024秋 抚顺期末）已知函数f（x）＝sinx+cosx+sin2x+cos2x，则（　　）
A．2π是f（x）的一个周期
B．f（x）的最大值为
C．f（x）是非奇非偶函数
D．关于x的方程f（x）＝f（2x）有无数个实数解
（多选）11．（2024秋 运城期末）已知函数，则下列正确的有（　　）
A．函数为奇函数
B．曲线y＝f（x）的对称中心为，k∈Z
C．f（x）在区间单调递减
D．f（x）在区间的最大值为1
（多选）12．（2024秋 信阳期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间x（单位：s）满足函数关系：y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中a，b，c，d为未知数），则下列有关函数y＝f（x）的描述正确的是（　　）
ωx+φ 0 π 2π
x a b d
f（x） 0 0 c 0
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）的图象可由函数y＝Asinωx的图象向右平移个单位得到
C．函数f（x）的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4
D．函数f（x）的图象与函数的图象重合
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 岳麓区校级期末）如图，函数ysin（ωx）（ω＞0）的图象和函数ycos（ωx）（ω＞0）的图象的连续两个交点为A，B，若，则ω的取值范围为 　 　．
14．（2024秋 泸州校级期末）设函数的最小正周期为π，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是　 　．
①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数；⑤由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍．
15．（2024秋 秦州区校级期末）已知ω∈N+，函数f（x）＝sin（ωx）在[，]上单调递减，则ω的最大值为 　 　．
16．（2024秋 永州期末）已知函数f（x）＝1﹣cos4ωx（ω＞0）在区间上单调递减，且在区间（0，）上恰有3个零点，则ω的取值范围是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 岳阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点A（，），过A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（2024秋 贵阳期末）已知曲线C：f（x）＝cosωxsinωx的两条相邻对称轴间的距离为．
（1）求ω的值和f（x）的单调区间；
（2）先将C向右平移个单位长度得到曲线C1，再把C1上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2：y＝g（x），求g（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值．
19．（2024秋 贵阳期末）角θ的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边与单位圆的交点为，且x＞0．
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）求的值．
20．（2024秋 张家界期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18°．三倍角公式是把形如sin3α，cos3α等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科．
（1）记cos3α＝f（cosα），试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
（2）若角α满足，求的值；
（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值．
高考数学考前冲刺押题预测 三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 株洲一模）已知三个电流瞬时值的函数表达式为I1（t）＝sint，I2（t）＝sin（t+φ），I3（t）＝sin（t+2φ），φ∈（0，π），它们合成后的电流瞬时值的函数为I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）的部分图象如图所示，则I（t）的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】先化简I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）为I（t）＝（2cosφ+1）sin（t+φ），再根据函数图象求出参数，进而写出I（t）解析式即可．
【解答】解：由题意知I1（t）＝sint，I2（t）＝sin（t+φ），I3（t）＝sin（t+2φ），
可得I（t）＝I1（t）+I2（t）+I3（t）
＝sint+sin（t+φ）+sin（t+2φ）
＝sint+sin（t+φ）+sintcos2φ+costsin2φ
＝sint（1+cos2φ）+sin（t+φ）+costsin2φ
＝2sintcos2φ+sin（t+φ）+2costsinφcosφ
＝2cosφ（sintcosφ+costsinφ）+sin（t+φ）
＝2cosφsin（t+φ）+sin（t+φ）
＝（2cosφ+1）sin（t+φ），
根据图象知，，
可得直线是I（t）的一条对称轴，且是最大值，
可得，解得，
又φ∈（0，π），
可得，
可得，
可得I（t）的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．
2．（2024秋 西湖区校级期末）下列命题正确的是（　　）
A．小于90°的角是锐角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．与﹣2024°终边相同的最小正角是136°
D．若α＝﹣2，则α是第四象限角
【考点】终边相同的角；象限角、轴线角；命题的真假判断与应用；任意角的概念．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A错误；
第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角，B错误；
对于C选项，因为﹣2024°＝﹣360°×6+136°，所以与﹣2024°角终边相同的最小正角是136°，C 正确；
对于D选项，若α＝﹣2≈﹣2×57.3°＝﹣114.6°，是第三象限角，错误．
故选：C．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
3．（2024秋 杭州期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】由二倍角公式，结合诱导公式求解．
【解答】解：已知，
则，
则．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角公式，重点考查了诱导公式，属中档题．
4．（2024秋 南关区校级期末）已知，，α、，则cos（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将cos（α+β）转化为，用余弦的和角公式展开求值即可．
【解答】解：∵，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
则
．
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
5．（2024秋 绥化校级期末）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性，求出ω的取值范围．
【解答】解：当，．
因为f（x）在上单调递增，
故，则0＜ω≤2．
当，，且，．
又因为函数在上有且仅有1个零点，
故讨论两种情况：①，或②．
解①可得ω，解②可得ω．
综上：ω的取值范围为．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的零点和单调性，属于中档题．
6．（2024秋 和平区期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为2π，现将f（x）图象向右平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（﹣m，m）上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，π] D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】首先利用函数的性质求出函数的解析式，进一步利用函数的图象的平移变换求出函数g（x）的解析式，最后求出参数m的取值范围．
【解答】解：函数的两条相邻对称轴之间的距离为4π，故ω；
所以f（x）＝sin（x），
现将f（x）图象向右平移后得到函数g（x）的图象，得到g（x）＝sin（）的图象，
由于函数g（x）的单调递增区间为[]（k∈Z），
在区间（﹣m，m）上单调递增，故（﹣m，m）应该是区间[]（k∈Z）的子集，
所以，故实数m的取值范围为（0，．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2024秋 平和县校级期末）已知sin（α+β）＝2sinαsinβ，tanαtanβ＝﹣2，则tan（α+β）＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得，进而tanα+tanβ＝﹣4，结合两角和的正切关系计算即可求解．
【解答】解：已知sin（α+β）＝2sinαsinβ，
得sinαcosβ+sinβcosα＝2sinαsinβ，
等式两边同时除以sinαsinβ，
得，
即，
又tanαtanβ＝﹣2，
所以tanα+tanβ＝﹣4，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
8．（2024秋 雨花区校级期末）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，若函数f（x）在上的图象与直线y＝2有且仅有一个交点，则ω的范围为（　　）
A．[2，5） B．[1，5） C．[1，2] D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】结合函数的对称性，及f（x）在区间上的单调性，可知，又函数f（x）与直线y＝2交点的横坐标为，从而得，进而可求出ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，
∴，所以，
又，得，
令f（x）＝2sinωx＝2，得，
∴f（x）在（0，+∞）上的图象与直线y＝2的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
∴，解得1≤ω＜5，
综上，ω的取值范围为[1，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 榆林期末）下列等式成立的有（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用两角和的正切可判断A的正误，利用辅助角公式可判断B的正误，利用两角差的余弦可判断C的正误，利用倍角公式和辅助角公式可判断D的正误，
【解答】解：对于A，因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，4，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数值的求法，考查运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 抚顺期末）已知函数f（x）＝sinx+cosx+sin2x+cos2x，则（　　）
A．2π是f（x）的一个周期
B．f（x）的最大值为
C．f（x）是非奇非偶函数
D．关于x的方程f（x）＝f（2x）有无数个实数解
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由已知结合三角函数的周期性检验选项A；结合三角函数取得最值的条件检验选项B；结合函数的奇偶性检验选项C；先对f（x）＝f（2x）进行化简，然后结合正弦函数的周期性判断D即可求解．
【解答】解：因为f（x+2π）＝sin（x+2π）+cos（x+2π）+sin（2x+4π）+cos（2x+4π）
＝sinx+cosx+sin2x+cos2x＝f（x），所以2π是f（x）的一个周期，A正确；
sinx+cosx，当且仅当，k∈Z时，等号成立，
sin2x+cos2x，当且仅当时，等号成立，
因为k2π，k1∈Z，k2∈Z，所以f（x）的最大值小于，B不正确．
f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）+sin（﹣2x）+cos（﹣2x）＝﹣sinx+cosx﹣sin2x+cos2x，
则f（﹣x）≠f（x），f（﹣x）≠﹣f（x），即f（x）为非奇非偶函数，C正确；
由f（x）＝f（2x）可得sinx+cosx+sin2x+cos2x＝sin2x+cos2x+sin4x+cos4x，
所以sinx+cosx＝sin4x+cos4x，即sin（x）＝sin（4x），
所以x4x2kπ，或xπ﹣（4x）+2kπ，k∈Z，
则x或x，k∈Z，即满足题意的x有无数个，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性对称性，奇偶性的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 运城期末）已知函数，则下列正确的有（　　）
A．函数为奇函数
B．曲线y＝f（x）的对称中心为，k∈Z
C．f（x）在区间单调递减
D．f（x）在区间的最大值为1
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BD
【分析】对于A，先求出，进而可判断；
对于B，利用正弦函数的对称中心求解即可；
对于C，利用正弦函数的单调性即可判断；
对于D，利用正弦函数的单调性和有界性求解即可．
【解答】解：对于A，因为，
所以2，
所以为偶函数，故A错误；
对于B，令2x＝kπ，k∈Z，则，k∈Z，
所以曲线y＝f（x）的对称中心为，k∈Z，故B正确；
对于C，当时，，y＝sin2x单调递减，
所以在区间上单调递增，故C错误；
对于D，当时，，sin2x∈[，1]，
所以f（x）∈[，1]，
所以在区间上的最大值为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 信阳期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间x（单位：s）满足函数关系：y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中a，b，c，d为未知数），则下列有关函数y＝f（x）的描述正确的是（　　）
ωx+φ 0 π 2π
x a b d
f（x） 0 0 c 0
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）的图象可由函数y＝Asinωx的图象向右平移个单位得到
C．函数f（x）的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4
D．函数f（x）的图象与函数的图象重合
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据五点法求出f（x）的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．
【解答】解：由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，
，，，，
所以，
选项A，，故A错误；
选项B，由于，其图象可由的图象向右平移个单位得到，故B正确；
选项C，函数f（x）的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，故C正确；
选项D，由于，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识点：函数的解析式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 岳麓区校级期末）如图，函数ysin（ωx）（ω＞0）的图象和函数ycos（ωx）（ω＞0）的图象的连续两个交点为A，B，若，则ω的取值范围为 　　．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据对称性知|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形，结合三角函数的周期，求出三角形的底和高，利用列不等式求解即可．
【解答】解：根据对称性知|AB|＝|BC|，
三角函数的周期，且|AC|＝T，取AC的中点D，连接BD，
则，
由，得或，
则，
则，
因为，所以，解得2＜T≤4，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦函数及余弦函数图象及性质的应用，属于中档题．
14．（2024秋 泸州校级期末）设函数的最小正周期为π，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是　2　．
①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数；⑤由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；整体思想；演绎法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】2
【分析】根据函数的周期和对称轴可以得到解析式，然后对5个结论分别进行判断，从而得到答案．
【解答】解：函数y＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，
所以 ，得到ω＝2得，到y＝sin（2x+φ），
令，k∈Z，
代入对称轴，得，k∈Z，
因为，所以k＝0，得，
所以函数解析式为，
令，k∈Z，得，k∈Z，
所以对称中心的坐标为，k∈Z，
所以，①图象关于点 对称，错误，
②图象关于点 对称，正确，
令，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，
所以③在 上是增函数，错误，
④在 上是增函数，正确，
由函数对称中心的坐标为，k∈Z，
可得相邻零点的差是 的整数倍，
所以⑤由f（x1）＝f（x2）＝0 可得 x1﹣x2必是π的整数倍，错误．
故答案为：2．
【点评】本题考查根据函数的性质求正弦型函数解析式，求正弦型函数的对称中心，单调区间，属于中档题．
15．（2024秋 秦州区校级期末）已知ω∈N+，函数f（x）＝sin（ωx）在[，]上单调递减，则ω的最大值为 　10　．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】10．
【分析】依题意，可得，k∈Z，再结合，ω∈N+，即可求得答案．
【解答】解：∵x∈[，]，∴ωx∈[，]，
又f（x）＝sin（ωx）在[，]上单调递减，
设t＝ωx十，
则y＝sint在[，]上单调递减，
∴，k∈Z，
解得十8k≤ω≤4十6k（k∈Z），
又，ω∈N+，
∴1≤ω≤12，
当k＝0时，ω∈[，4]；
当k＝1时，ω∈[，10]，又ω∈N+，
故ω的最大值为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2024秋 永州期末）已知函数f（x）＝1﹣cos4ωx（ω＞0）在区间上单调递减，且在区间（0，）上恰有3个零点，则ω的取值范围是　　．
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】当时，求出4ωx的取值范围，根据函数f（x）在区间内的零点个数可得出关于ω的不等式；当时，求出4ωx的取值范围，根据函数f（x）在区间上的单调性，可得出关于ω的不等式组，综合可得出ω的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）＝1﹣cos4ωx（ω＞0）在区间上恰有3个零点，
令f（x）＝0，可得cos4ωx＝1，当时，0＜4ωx＜10πω，
所以，6π＜10πω≤8π，解得，
又因为函数f（x）＝1﹣cos4ωx（ω＞0）在区间上单调递减，
当时，，
所以，解得，k∈N，
由解得，故k＝0，则，
综上所述，正实数ω的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 岳阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点A（，），过A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）求的值；
（2）求的值．
【考点】求两角和与差的三角函数值；任意角的三角函数的定义．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）结合三角函数的定义求解；
（2）结合二倍角公式及同角三角函数的关系求解．
【解答】解：（1）由题意得角的终边与单位圆O相交于A，且，
所以；
（2） ．
【点评】本题考查了三角函数的定义，重点考查了二倍角公式及同角三角函数的关系，属中档题．
18．（2024秋 贵阳期末）已知曲线C：f（x）＝cosωxsinωx的两条相邻对称轴间的距离为．
（1）求ω的值和f（x）的单调区间；
（2）先将C向右平移个单位长度得到曲线C1，再把C1上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2：y＝g（x），求g（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）ω＝2；单调递增区间为[]（k∈Z）；单调递减区区间为[]（k∈Z）；（2）最小值为﹣1，最大值为2．
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出ω的值和函数的单调区间；
（2）利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的值域．
【解答】解：（1）f（x）＝cosωxsinωx＝2sin（），
由于两条相邻对称轴间的距离为，故函数的最小值正周期为π，
所以ω＝2；
故函数f（x）＝2sin（2x）；
令（k∈Z），整理得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
令（k∈Z），整理得kπ（k∈Z），
故函数的单调递减区区间为[]（k∈Z）．
（2）先将C向右平移个单位长度得到曲线C1的函数图象y＝2sin（2x），再把C1上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2：y＝g（x）＝2sin（x）的图象．
由于x∈[0，π]，
所以，
故，故g（x）∈[﹣1，2]．
当x＝0时，函数的最小值为﹣1，当x时，函数的最大值为2．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 贵阳期末）角θ的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边与单位圆的交点为，且x＞0．
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）求的值．
【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）sin，；（2）．
【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出结果；
（2）利用三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】解：（1）由于角θ的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边与单位圆的交点为，且x＞0．
故x，
所以sin，．
（2）由（1）得：，sin2θ＝2sinθcosθ；
所以．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
20．（2024秋 张家界期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18°．三倍角公式是把形如sin3α，cos3α等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科．
（1）记cos3α＝f（cosα），试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
（2）若角α满足，求的值；
（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）cos3α＝4cos3α﹣3cosα，证明见解答；
（2）；
（3）黄金分割值为．
【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）利用（1）的结论化简，从而可求出cos2α，同（1）可得sin3α，从而化简求值即可；
（3）由cos54°＝sin36°，利用三倍角公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系转化为关于sin18°的方程，求解即可．
【解答】解：（1）cos3α＝4cos3α﹣3cosα，证明如下：
cos3α＝cos（2α+α）
＝cos2αcosα﹣sin2αsinα
＝（2cos2α﹣1）cosα﹣2sin2αcosα
＝（2cos2α﹣1）cosα﹣2（1﹣cos2α）cosα
＝4cos3α﹣3cosα．
（2）由（1）及已知得：，
解得，
同理（1）易得：sin3α＝3sinα﹣4sin3α，
∴，
由得，
∴．
（3）∵cos54°＝sin36°，即cos（3×18°）＝sin（2×18°），
∴4cos318°﹣3cos18°＝2sin18°cos18°，
两边除去cos18°得：4cos218°﹣3＝2sin18°，即4（1﹣sin218°）﹣3＝2sin18°，
化简得：4sin218°+2sin18°﹣1＝0，解得（负舍），
由题意知黄金分割值为．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数与二倍角公式，属中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑