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高考数学考前冲刺押题预测 统计
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南阳期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，a，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则a＝（　　）
A．20 B．21 C．23 D．24
2．（2025 焦作校级一模）设集合M＝{1，2，3，…，1000}，现对M的任意一非空子集X，令ax表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的ax的算术平均数为（　　）
A．501 B．500 C．1002 D．1001
3．（2024春 平定县校级期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代号t 1 2 3 4 5
成交额y（万元） 50 60 70 80 100
若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（　　）
A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元
4．（2024春 花都区校级期中）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且0.8x，现有一组测量数据为（31，22.4），则该数据的残差为（　　）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A．1.4 B．1.2 C．﹣1.2 D．﹣1.4
5．（2024秋 哈尔滨校级期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据（i，yi），其中i＝1，2，3，yi为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（　　）千人．
参考数据：log23≈1.6
A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2
6．（2024 包河区校级学业考试）已知一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据y1，y2， ，yn，其中yi＝xi+1（i＝1，2，3， ，n），则y1，y2， ，yn的平均数和中位数分别为（　　）
A．3，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5
7．（2024 滨海新区校级学业考试）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．下列说法错误的是（　　）
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：；n，，s．记样本平均数为，样本方差为s2，s2[s（）2][s（）2]
A．a＝0.005
B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32.25
8．（2024春 江阳区期末）给出以下四个命题：
①已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也为3；
②对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是4；
③已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则μ＝2；
④已知随机变量X服从二项分布，若E[3X+1]＝6，则n＝6．
其中，真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 贵阳月考）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到经验回归方程为，则（　　）
A．
B．y与x的样本相关系数r＞0
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
（多选）10．（2024 浙江学业考试）饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（　　）
A．A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．B班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在[40，50）之间
D．m＝0.25
（多选）11．（2024 浙江二模）有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是，方差是s2，极差为R，则下列判断正确的是（　　）
A．若ax1+b，ax2+b，ax3+b，ax4+b，ax5+b，ax6+b的平均数是，则
B．若x1，2x2，3x3，4x4，5x5，6x6的极差是R1，则R1＞R
C．若方差s2＝0，则x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6
D．若x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则第75百分位数是
（多选）12．（2024 历城区校级模拟）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（　　）
A．a＝0.004
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
三．填空题（共4小题）
13．（2025 盐城一模）已知等差数列{an}的公差不为0．若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 　 　．（用最简分数作答）
14．（2024 山西学业考试）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：
则样本中停车时长在区间（400，500]上的车辆数为 　 　辆．
15．（2024秋 浙江期中）已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则x2+y2的值为 　 　．
16．（2024秋 新会区校级月考）设a，b，c是正整数，且70≤a＜80，80≤b＜90，90≤c＜100，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 昌乐县校级期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标．以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标？
（3）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在（14，16]内的概率．
18．（2024秋 城关区校级期末）重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份．图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300），[300，320]．
（1）求直方图中的x；
（2）根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；
（3）在用电量为[240，260），[260，280），[280，300），[300，320]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在[240，260）的用户应抽取多少户？
19．（2024秋 渭南期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．
20．（2024秋 杨浦区校级期末）为提升某校高二学生的数学素养，随机选择100名学生进行基础知识掌握情况的测评（满分100分），根据测评结果的得分数据，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求x的值；
（2）估计这100名学生在测评中得分的70%分位数；
（3）若采用按比例分层抽样的方法从得分在[50，60），[60，70）的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人得分分别在[50，60）和[60，70）内各1人的概率．
高考数学考前冲刺押题预测 统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 南阳期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，a，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则a＝（　　）
A．20 B．21 C．23 D．24
【考点】百分位数．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：70%×10＝7，
该组数据的70%分位数是19，
则，解得a＝20．
故选：A．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2．（2025 焦作校级一模）设集合M＝{1，2，3，…，1000}，现对M的任意一非空子集X，令ax表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的ax的算术平均数为（　　）
A．501 B．500 C．1002 D．1001
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；子集与真子集．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，由集合子集的定义分2种情况讨论：①满足a1+an＝1001，②满足 a1+an≠1001，求出ax的算术平均数，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，集合M＝{1，2，3，…，1000}，设M的非空子集为 （a1，a2， ，da） （1≤a1＜a＜…＜a，≤1000，aa …，a，∈N），
对集合M的子集分为两类讨论：
①满足a1+an＝1001，这样的子集 an＝1001；
②满足 a1+an≠1001，此时可把两个非空集合 （a1，a2， an） 与 （1001﹣an，1001﹣an﹣1，…，1001﹣a1）配对，
易知这是两个不同的集合，且都是M的非空子集，
它们的最大数与最小数之和是（an+a1）+[（1001﹣a1）+（1001﹣a10）]＝1001×2，所以此时非空子集的d2的平均数为1001．
综上，M的所有非空子集的特征数a1的平均数为1001．
故选：D．
【点评】本题考查算术平均数的计算，涉及集合的子集，属于中档题．
3．（2024春 平定县校级期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代号t 1 2 3 4 5
成交额y（万元） 50 60 70 80 100
若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（　　）
A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】C
【分析】求出回归直线的样本中心点（，），进而求出纵截距，取
t
＝6即可得解．
【解答】解：由表格中数据得，（1+2+3+4+5）＝3，（50+60+70+80+100）＝72，
于是得回归直线经过样本中心点（3.72），即有72＝12×3，解得36，
从而得回归直线方程为：12t+36，当
t
＝6时，12×6+36＝108，
所以预测该店2021年双十一的成交额是108万元．
故选：C．
【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于中档题．
4．（2024春 花都区校级期中）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如如表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且0.8x，现有一组测量数据为（31，22.4），则该数据的残差为（　　）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A．1.4 B．1.2 C．﹣1.2 D．﹣1.4
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数据分析．
【答案】D
【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后将x＝31代入计算，再根据残差公式可得到结果．
【解答】解：由题意可知，，，
将（25，19）代入方程0.8x，得19﹣0.8×25＝﹣1，
所以0.8x﹣1，当x＝31，0.8×31﹣1＝23.8，
所以该数据的残差为22.4﹣23.8＝﹣1.4．
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程，以及残差，属于中档题．
5．（2024秋 哈尔滨校级期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据（i，yi），其中i＝1，2，3，yi为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程．已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（　　）千人．
参考数据：log23≈1.6
A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】令x＝log2i，由，求出，得回归方程，可求预测值．
【解答】解：令x＝log2i，则，
，又，
由，得，所以，
则，
下午2点时对应i＝4，可得，
故可预测下午2点时校门人流量为10.8千人．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
6．（2024 包河区校级学业考试）已知一组样本数据x1，x2， ，xn的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据y1，y2， ，yn，其中yi＝xi+1（i＝1，2，3， ，n），则y1，y2， ，yn的平均数和中位数分别为（　　）
A．3，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5
【考点】平均数；中位数．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】由平均数的定义及x1，x2， ，xn的大小排列顺序与变化后的y1，y2， ，yn的大小排列顺序一致，即可求出结果．
【解答】解：由题意知，x1+x2+ +xn＝3n，
则，
又因为yi＝xi+1（i＝1，2，3， ，n），所以x1，x2， ，xn的大小排列顺序与变化后的y1，y2， ，yn的大小排列顺序一致，
由于x1，x2， ，xn的中位数为4，则y1，y2， ，yn的中位数为5．
故选：D．
【点评】本题考查平均数和中位数的应用，属于中档题．
7．（2024 滨海新区校级学业考试）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．下列说法错误的是（　　）
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：；n，，s．记样本平均数为，样本方差为s2，s2[s（）2][s（）2]
A．a＝0.005
B．估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32.25
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，加权平均数与方差的结论，即可分别求解．
【解答】解：根据题意可得（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，解得a＝0.005，∴A选项正确；
∴各组频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，
∴估计该年级学生成绩的中位数为77.14，∴B选项正确；
∵[80，90）与[90，100）的频率之比为6a：2a＝3：1，
∴估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5，∴C选项正确；
又成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10，
∴估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25，∴D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
8．（2024春 江阳区期末）给出以下四个命题：
①已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差也为3；
②对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是4；
③已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则μ＝2；
④已知随机变量X服从二项分布，若E[3X+1]＝6，则n＝6．
其中，真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】经验回归方程与经验回归直线；二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】B
【分析】由方差性质知①正确；根据回归直线过样本中心点可知②错误；根据正态分布曲线的对称性可求得③正确；根据数学期望的性质和二项分布期望公式可求得n，知④错误．
【解答】解：对于①，若D[X]＝3，则由方差性质知：D[X+2]＝3，①正确；
对于②，∵回归直线过样本中心点，∴2.8＝0.3m﹣m，解得：m＝﹣4，②错误；
对于③，若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则P（X＞﹣1）＝P（X＜5），∴，③正确；
对于④，∵E[3X+1]＝3E[X]+1＝6，∴，又，∴，解得n＝5，④错误．
故选：B．
【点评】本题考查方差性质，回归直线的性质，正态分布，二项分布，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 贵阳月考）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到经验回归方程为，则（　　）
A．
B．y与x的样本相关系数r＞0
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断．
【解答】解：根据题意可得，，，
所以样本中心点为（4，5），
对于A，将样本中心点（4，5）代入回归方程，解得0.08，故A正确；
对于B，由表中数据可得y随着x增大而增大，x与y正相关，所以相关系数r＞0，故B正确；
对于C，维修费用从小到大依次为2.2，3.8，5.5，6.5，7，第60百分位数为，故C正确；
对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，线性回归方程的应用，属于中档题．
（多选）10．（2024 浙江学业考试）饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（　　）
A．A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．B班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在[40，50）之间
D．m＝0.25
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AB
【分析】由频率分布直方图的平均值、百分位数的计算公式即可得到选项．
【解答】解：对于A，平均值10×（15×0.005+25×0.015+35×0.03+45×0.02+55×0.025+65×0.005）＝41，故A正确；
对于B，10（0.005+0.02+m+0.02+0.015+0.015）＝1，解得m＝0.025．
前4个矩形面积之和为0.7，前5个矩形面积之和为0.85，
故x2位于[50，60）中，
所以10×（0.005+0.02+0.025+0.02）+（x2﹣50）×0.015＝0.75，
解得，故B正确；
对于C，因为A班、B班产生饮料瓶数在[40，50）之间的概率都是0.02，
所以该校有学生1000人，
则5月份产生饮料瓶数在[40，50）之间的饮料瓶数为1000×0.2＝200，故C错误；
对于D，由B知m＝0.025，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的定义，属于中档题．
（多选）11．（2024 浙江二模）有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是，方差是s2，极差为R，则下列判断正确的是（　　）
A．若ax1+b，ax2+b，ax3+b，ax4+b，ax5+b，ax6+b的平均数是，则
B．若x1，2x2，3x3，4x4，5x5，6x6的极差是R1，则R1＞R
C．若方差s2＝0，则x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6
D．若x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则第75百分位数是
【考点】极差．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及极差的定义和百分位数的计算方法，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于A中，由（ax1+b+ax2+b+ax3+b+ax4+b+ax5+b+ax6+b）[a（x1+x2+x3+x4+x5+x6）]+b＝a （x1+x2+x3+x4+x5+x6）+b，即，所以A正确；对于B中，例如：若样本数据﹣10，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，可得极差为R＝10，此时数据x1，2x2，3x3，4x4，5x5，6x6的极差为R1＝10，此时R＝R1，所以B不正确；对于C中，由，若s2＝0，可得x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6，所以C正确；
对于D中，由6×75%＝4.5，所以数据的75分位数为x5，所以D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查平均数、百分位数、方差和极差的计算，是中档题．
（多选）12．（2024 历城区校级模拟）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90）内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100）内的同学成绩方差为10．则（　　）
A．a＝0.004
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】数形结合；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，由各组频率之和为1求参数a；
对于B，可由频率分布直方图面积与0.5比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建立方程求解可得；
对于C，两组求加权平均数可得；
对于D，由两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可．
【解答】解：对于A，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝200a＝1，解得a＝0.005，故A错误；
对于B，前两个矩形的面积之和为（2a+3a）×10＝50a＝0.25＜0.5，
前三个矩形的面积之和为（2a+3a+7a）×10＝120a＝0.6＞0.5，
设该年级学生成绩的中位数为m，则m∈[70，80），
根据中位数的定义得0.25+（m﹣70）×0.035＝0.5，解得m≈77.14分，
所以估计该年级学生成绩的中位数约为77.14分，故B正确；
对于C，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为：
分，故C正确；
对于D，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为：
，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 盐城一模）已知等差数列{an}的公差不为0．若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 　　．（用最简分数作答）
【考点】百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】选取的4项按原来的顺序仍然成等差数列，设首项为am，公差为kd（k∈N*），则四项分别为am，am+k，am+2k，am+3k，由题意求得k的范围，再由等差数列的前n项和公式结合概率求解．
【解答】解：选取的4项按原来的顺序仍然成等差数列，设首项为am，公差为kd（k∈N*），
则四项分别为am，am+k，am+2k，am+3k，
则m≥1且m+3k≤100，即1≤m≤100﹣3k，
∵m∈N*，且100﹣3k≥1，可得k≤33．
即当该四项公差为kd时，共有（100﹣3k）种方法，其中k∈N*且1≤k≤33，
则共有97+94+91+...+1种方法．
而从100项中任取4项共有3921225．
∴则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率统计及其有关概念，考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是中档题．
14．（2024 山西学业考试）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：
则样本中停车时长在区间（400，500]上的车辆数为 　3　辆．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得（400，500]的频率，进而求得（400，500]的频数，从而得解．
【解答】解：设（400，500]的频率为x，
则根据题意可得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，
则所求为100×0.03＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，属基础题．
15．（2024秋 浙江期中）已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则x2+y2的值为 　65　．
【考点】平均数；方差．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】65．
【分析】由平均数和方差的定义求解即可．
【解答】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以8，解得x+y＝11，
由，得（x﹣8）2+（y﹣8）2＝17，
则x2+y2﹣16x﹣16y+64+64＝x2+y2﹣16（x+y）+128＝17，即x2+y2＝65．
故答案为：65．
【点评】本题考查平均数和方差的应用，属于中档题．
16．（2024秋 新会区校级月考）设a，b，c是正整数，且70≤a＜80，80≤b＜90，90≤c＜100，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为 　253或254　．
【考点】方差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】253或254．
【分析】设，根据数据a，b，c的方差为可化简为，推出s2要取到最小值，需（c﹣a）2最小切最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时a，b，c的值，求得答案．
【解答】解：设，则数据a，b，c的方差为
，
显然c﹣a＝（c﹣b）+（b﹣a）且c＞b＞a，
故s2要取到最小值，需（c﹣a）2最小，最小值为90﹣79＝11，
设b﹣a＝t（t∈N*，0＜t＜11），则c﹣b＝11﹣t，
则，
当t＝5或t＝6时，s2取到最小值，
即c＝90，b＝84或b＝85时，s2取到最小值，
故当数据a，b，c的方差最小时，即a＝79，c＝90，b＝84或a＝79，c＝90，b＝85，
a+b+c的值为253或254．
故答案为：253或254．
【点评】本题主要考查方差的计算，考查计算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 昌乐县校级期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标．以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标？
（3）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在（14，16]内的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解；
（2）根据平均数与中位数的概念，即可求解；
（3）根据分层抽样的概念及古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）×2＝1，解得a＝0.1；
（2）根据题意可得平均数的估计值为：
1×0.04+3×0.06+5×0.1+7×0.1+9×0.3+11×0.2+13×0.1+15×0.08+17×0.02＝9.12＞9，
∵前几组的频率依次为0.04，0.06，0.1，0.1，0.3，
∴中位数的估计值为：899，
∴以样本估计总体可估计该市区高中生阅读量达标；
（3）∵在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的频率之比为0.1：0.08：0.02＝5：4：1，
∴采用分层抽样的方法抽取了10人中，在（12，14]，（14，16]，（16，18]中分别抽取的人数为5，4，1，
∴从这10人中随机抽取两人一共有45种抽法，
又所抽选的两人周平均阅读时间均在（14，16]内有6种抽法，
∴所求概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，平均数与中位数的求解，分层抽样的概念，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
18．（2024秋 城关区校级期末）重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份．图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300），[300，320]．
（1）求直方图中的x；
（2）根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；
（3）在用电量为[240，260），[260，280），[280，300），[300，320]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在[240，260）的用户应抽取多少户？
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】对应思想；数形结合法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；
（2）由小矩形最高的一组底边中点求出众数，利用中位数两边频率相等求出中位数的值；
（3）利用分层抽样计算月均用电量在[240，260）内应抽取的户数．
【解答】解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，
解得x＝0.0075；
（2）由小矩形最高的一组是[240，260），
所以众数为（240+260）＝250；
又因为（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，
所以中位数应在[240，260）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣240）＝0.5，
解得a＝244；
（3）月均用电量在[240，260）内的户数为0.0125×20×100＝25，
在[260，280）内的户数为0.0075×20×100＝15，
在[280，300）内的户数为0.005×20×100＝10，
在[300，320]内的户数为0.0025×20×100＝5，
从中抽取11户，抽取比例为，
所以月均用电量在[240，260）内应抽取的户数为255．
【点评】本题考查了频率分布列方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是中档题．
19．（2024秋 渭南期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.06；
（2）平均数为174.1，中位数为174.5；
（3）．
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率；
（2）根据中位数的概念，即可求解；
（3）确定第8组有2人，分别编号后用列举法写出样本空间，计数后可计算出概率．
【解答】解：（1）根据题意可得第七组频率为；
（2）根据题意可得平均数估计为：
0.06×187.5+0.02×192.5＝174.1，
因为前几组的频率依次为0.04，0.08，0.2，0.2，
所以中位数在[170，175）内，
所以中位数为174.5；
（3）由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为a，b，c，d，1，2，
从这6人中任选2人，所得样本空间为：
{ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12}，有15个样本点，
其中两名男生在同一组的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，12，共7个，
所以所求概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应，属中档题．
20．（2024秋 杨浦区校级期末）为提升某校高二学生的数学素养，随机选择100名学生进行基础知识掌握情况的测评（满分100分），根据测评结果的得分数据，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求x的值；
（2）估计这100名学生在测评中得分的70%分位数；
（3）若采用按比例分层抽样的方法从得分在[50，60），[60，70）的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人得分分别在[50，60）和[60，70）内各1人的概率．
【考点】频率分布直方图的应用；中位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.03；（2）92.5；（3）．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；
（2）估根据百分位数的概念，即可求解；
（3）根据分层抽样及古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得（0.005+0.01+0.015+x+0.04）×10＝1，解得x＝0.03；
（2）∵各组的频率依次为0.05，0.1，0.15，0.3，0.4，
∴估计这100名学生在测评中得分的70%分位数为92.5；
（3）∵[50，60），[60，70）两组的频率之比为0.05：0.1＝2：4，
∴在[50，60）中抽取2人，在[60，70）中抽取4人，
∴再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，
则选取的2人得分分别在[50，60）和[60，70）内各1人的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
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