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高考数学考前冲刺押题预测 椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 吉林期末）已知点O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 贵阳期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的面积为2π，两个焦点分别为F1，F2，点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原点的对称点，若四边形AF1BF2的周长为8，则四边形AF1BF2面积的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．2
3．（2024秋 蜀山区校级期末）已知椭圆Γ：的左、右焦点为F1，F2，上一点P满足PF1⊥PF2，A为线段PF2的中垂线与Γ的交点，若△APF1的周长为，则Γ的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 浏阳市期末）过椭圆上的点M作圆x2+y2＝b2的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m，n，若，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 鹰潭期末）已知点P为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为F1，F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，过点F1作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则△F1PF2面积为（　　）
A． B． C． D．3
6．（2024秋 湖北期末）已知点C是椭圆上的一点，设A，B是直线y＝x上任意两个不同的点，若|AB|＝4时，则使得△ABC是等腰直角三角形的点C有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
7．（2024秋 河池期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P在C上，若△PF1F2的内切圆的半径为，则|PO|＝（　　）
A．2 B． C． D．
8．（2024秋 东营期末）若直线x+3y﹣2m＝0与椭圆C：交于A，B两点，点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 衡阳校级期末）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝2．则下列说法中正确的是（　　）
A．|PF1|＝5，|PF2|＝3
B．离心率为
C．△PF1F2的面积为12
D．△PF1F2的外接圆面积为
（多选）10．（2024秋 东坡区期末）已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（　　）
A．C的焦点坐标为（2，0），（﹣2，0）
B．C的长轴长为
C．直线l的方程为x+y﹣3＝0
D．
（多选）11．（2024秋 南京期末）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为8
B．存在点P使得PF1的长度为4
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得PF1⊥PF2
D．△PF1F2内切圆半径的最大值为
（多选）12．（2024秋 郑州期末）椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是（　　）
A．若0＜m＜1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16
B．若直线kx﹣y﹣2＝0与C恒有公共点，则m的取值范围为[2，+∞）
C．若C上存在点P，使得0，则m的取值范围为[4，+∞）
D．若，P为C上一点，Q（1，1），F1为左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 大连期末）已知曲线是双曲线，曲线是椭圆，其离心率分别是e1和e2，则 　 　．
14．（2024秋 涪城区校级期末）已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，∠F1PF2的平分线PQ交x轴于点Q．若|PF1|＝3|QF1|，则椭圆C的离心率为 　 　．
15．（2024秋 涪城区校级期末）已知椭圆的右焦点是F，过点F作直线l交椭圆于点A，B，过点F与直线l垂直的射线交椭圆于点P，，且三点A，O，P共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为 　 　．
16．（2024秋 烟台期末）已知A，B为椭圆Γ：1（a＞b＞0）上关于原点O对称的两点（异于顶点），点C在椭圆上且AC⊥AB，设直线BC与x轴的交点为P，若|OP|2＝2，则椭圆Γ离心率的值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 长沙校级期末）已知椭圆E：1（a＞b＞0）焦距为2，离心率e是．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的弦AB，CD，其中B，D在x轴的上方，且B在D的右侧，设弦AB，CD的中点分别为M，N．
①若弦AB，CD的斜率均存在，求四边形ACBD面积的最小值；
②判断直线MN是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由．
18．（2024秋 济宁期末）在平面直角坐标系xOy中，对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d（M，N）．
已知椭圆C：的离心率为，其短轴上的点的集合记为M，椭圆C上的点的集合记为N，且d（M，N）＝1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C相切，且与圆O：x2+y2＝16交于A，B两点，线段AB上的点的集合记为G，圆O上的点的集合记为H．
①若点P为圆O上的一个动点，当△PAB的面积最大时，求d（G，H）；
②求d（G，H）+d（H，G）的值．
19．（2024秋 榆阳区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线PE，QE相交于点E，且它们的斜率之积是．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）若直线与点E的轨迹交于M，N两点，线段MN的中点为A．若直线OA的斜率为1，求线段MN的长．
20．（2024秋 吉林期末）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
高考数学考前冲刺押题预测 椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 吉林期末）已知点O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】综合题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】结合椭圆的定义，求出|PF2|，|PF1|，以及|F1F2|的值，再利用余弦定理求出cos∠PF2F1的值，进而求出其正弦值，则面积可求．
【解答】解：由题意可得 a＝3，b，c＝2，如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF2|＝2a﹣2c＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以cos∠PF2F1，
所以sin∠PF2F1，
则△PF1F2的面积为|PF2||F1F2| sin∠PF2F1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义，在焦点三角形中利用正余弦定理解决问题的解题思路，属于中档题．
2．（2024秋 贵阳期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的面积为2π，两个焦点分别为F1，F2，点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原点的对称点，若四边形AF1BF2的周长为8，则四边形AF1BF2面积的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．2
【考点】椭圆的焦点弦及焦半径；椭圆的定义．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆的定义及平行四边形的面积的求法求解．
【解答】解：已知椭圆C：1（a＞b＞0）的面积为2π，
则πab＝2π，
即ab＝2，
又点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原点的对称点，
则四边形AF1BF2为平行四边形，
又四边形AF1BF2的周长为8，
则4a＝8，
即a＝2，
则b＝1，
即椭圆方程为，
则四边形AF1BF2面积的最大值为2bc．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义及平行四边形的面积的求法，属中档题．
3．（2024秋 蜀山区校级期末）已知椭圆Γ：的左、右焦点为F1，F2，上一点P满足PF1⊥PF2，A为线段PF2的中垂线与Γ的交点，若△APF1的周长为，则Γ的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】利用垂直平分线得出|AP|＝|AF2|，结合△APF1的周长为，以及椭圆的定义得出，，根据勾股定理求e即可．
【解答】解：因为△APF1的周长为，
所以，
因为A为线段PF2的中垂线与Γ的交点，
所以|AP|＝|AF2|，
所以|AF2|+|AF1|+|PF1|，
由因为|AF1|+|AF2|＝2a，
所以，
所以，
又因为PF1⊥PF2，
，
所以，
即5a2＝8c2，
即，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆定义及性质的应用，属于中档题．
4．（2024秋 浏阳市期末）过椭圆上的点M作圆x2+y2＝b2的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m，n，若，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】设出相关点的坐标，借助垂直关系的坐标表示求出直线PQ方程，进而求出m，n，再代入已知并求出离心率．
【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），则，，
，，由MP切圆x2+y2＝b2于P，
得OP⊥MP，则，可得，
同理得：，因此直线PQ的方程为，
取y＝0，可得x，取x＝0，可得y，即，
因此，即a2＝3b2，
可得椭圆的离心率．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆与圆的综合，考查运算求解能力，是中档题．
5．（2024秋 鹰潭期末）已知点P为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为F1，F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，过点F1作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则△F1PF2面积为（　　）
A． B． C． D．3
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】作出辅助线，由三线合一得到|F1P|＝|PN|，OH为△NF1F2的中位线，|F2N|＝2|OH|＝1，设|F2P|＝m，由椭圆定义得到|F1P|＝4﹣m，根据|F1P|＝|PN|得到方程，求出，由余弦定理得到cos∠F1PF2，进而得到其正弦值，利用三角形面积公式得到答案．
【解答】解：点P为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为F1，F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，过点F1作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，如图所示，延长F1H，交PF2的延长线于点N，
∵PH为∠F1PF2的平分线，PH⊥F1N，由三线合一得△PF1N为等腰三角形，
即|F1P|＝|PN|，H为F1N的中点，
∵O为F1F2的中点，∴OH为△NF1F2的中位线，
故|F2N|＝2|OH|＝1，设|F2P|＝m，
由椭圆定义知，|F1P|＝2a﹣|F2P|＝4﹣m，
由|F1P|＝|PN|得4﹣m＝m+1，解得，
故，，
在△PF1F2中，由余弦定理得
，
故，
故．
故选：C．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，焦点三角形的应用，三角形的面积的求法，是中档题．
6．（2024秋 湖北期末）已知点C是椭圆上的一点，设A，B是直线y＝x上任意两个不同的点，若|AB|＝4时，则使得△ABC是等腰直角三角形的点C有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】椭圆的弦及弦长．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】设点，利用点到直线距离公式可得点C到直线l的距离为，讨论C为直角顶点，C不是直角顶点，结合|AB|＝4时，可得使得△ABC是等腰直角三角形的点C个数．
【解答】解：已知椭圆方程为，椭圆与直线l均关于原点对称，
设点，则点C到直线l的距离为
．
若AB＝4时，
（1）当C为直角顶点，如下图1，则|AB|＝4，d＝2＜4，
满足△ABC为等腰直角三角形的点C有四个；
（2）当C不是直角顶点，如上图2，则|AB|＝4，d＝4，满足△ABC是等腰直角三角形的非
直角顶点C有两个．
故AB＝4时，使得△ABC是等腰直角三角形的点C有6个，所以C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题．
7．（2024秋 河池期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P在C上，若△PF1F2的内切圆的半径为，则|PO|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由椭圆的性质，结合三角形的面积公式求解．
【解答】解：已知椭圆，
则a＝2，，c＝1，
则△PF1F2的周长为2a+2c＝6，
又△PF1F2的内切圆的半径为，
则△PF1F2的面积为，
不妨设P在第一象限，
则，
即，
则xP＝0，
则|PO|．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．
8．（2024秋 东营期末）若直线x+3y﹣2m＝0与椭圆C：交于A，B两点，点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得线段AB的中点坐标，结合斜率关系可得，代入离心率公式中即可求解．
【解答】解：易知m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（a2+9b2）y2﹣12mb2y+（4m2﹣a2）b2＝0，
此时Δ＞0，
所以，，
则线段AB的中点为，
因为|PA|＝|PB|，
所以PM⊥AB，
又，
所以3，
整理得，
则椭圆C的离心率为．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 衡阳校级期末）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝2．则下列说法中正确的是（　　）
A．|PF1|＝5，|PF2|＝3
B．离心率为
C．△PF1F2的面积为12
D．△PF1F2的外接圆面积为
【考点】椭圆的焦点三角形；求椭圆的离心率．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出a，b，c，结合椭圆定义求解判断A；利用离心率定义判断B；确定三角形形状求解判断CD．
【解答】解：由题可得，a＝4，，，
如图，P是椭圆上的点，
则|PF1|+|PF2|＝2a＝8，又|PF1|﹣|PF2|＝2，
对于A，|PF1|＝5，|PF2|＝3，故A正确；
对于B，离心率为，故B正确；
对于C，因为，
所以△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，
则，故C错误；
对于D，由选项C知，△PF1F2的外接圆直径为线段PF1，
则该圆半径为，面积为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了椭圆的性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 东坡区期末）已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（　　）
A．C的焦点坐标为（2，0），（﹣2，0）
B．C的长轴长为
C．直线l的方程为x+y﹣3＝0
D．
【考点】椭圆的中点弦．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AB
【分析】由椭圆标准方程确定a，b，c，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线l方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确．
【解答】解：由题可得，，b＝2，，且焦点在y轴上，
对于A，B，椭圆的焦点坐标为（0，2），（0，﹣2），
长轴长为，故A、B错误；
对于C，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为M（1，2）为线段AB的中点，所以x1+x2＝2，y1+y2＝4，
则，，
两式作差变形得：，
即直线l的斜率k＝﹣1，
所以直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y﹣3＝0，故C正确；
对于D，联立，化简得3x2﹣6x+1＝0，则Δ＝36﹣12＞0，
所以x1+x2＝2，，
所以，故D正确．
故选：AB．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 南京期末）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为8
B．存在点P使得PF1的长度为4
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得PF1⊥PF2
D．△PF1F2内切圆半径的最大值为
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对A，先根据椭圆的基本量关系求解方程，再根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，根据PF1⊥PF2可得P的轨迹，再分析与椭圆的交点个数即可；对D，根据△PF1F2的面积表达式分析即可．
【解答】解：已知椭圆，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
对A，过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，
则△ABF2的周长为4a＝8，
故A正确；
对B，由题意可得：a＝2，b＝1，，
根据椭圆性质可得a﹣c≤|PF1|≤a+c，
即，
故|PF1|＜4，
即不存在点P，使得PF1的长度为4，
故B错误；
对C，根据PF1⊥PF2可得P的轨迹为以F1F2为直径的圆，
即x2+y2＝3，不包括F1，F2两点，
易得该圆与椭圆有四个交点，
即椭圆上存在4个不同的点P，使得PF1⊥PF2，
故C正确；
对D，△PF1F2的周长为，
设△PF1F2的内切圆半径为r，
则，
故当最大时r最大，此时P为上下顶点，
，
则，
解得，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
（多选）12．（2024秋 郑州期末）椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是（　　）
A．若0＜m＜1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16
B．若直线kx﹣y﹣2＝0与C恒有公共点，则m的取值范围为[2，+∞）
C．若C上存在点P，使得0，则m的取值范围为[4，+∞）
D．若，P为C上一点，Q（1，1），F1为左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为
【考点】椭圆的弦及弦长；求椭圆的焦点和焦距．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：若0＜m＜1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝4×4＝16，∴A选项正确；
若直线kx﹣y﹣2＝0与C恒有公共点，则直线所过定点（0，﹣2）在椭圆C内或上，
∴，且m2≠16，m＞0，∴m≥2且m≠4∴B选项错误；
若C上存在点P，使得0，
则或，
解得m∈[4，+∞），∴C选项正确；
若，则a＝4，b，c＝3，且焦点在x轴上，F2（3，0），
∵P为C上一点，Q（1，1）在椭圆内，
∴|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|≥2a﹣|QF2|＝8，
当且仅当P，Q，F2三点共线时，等号成立，∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 大连期末）已知曲线是双曲线，曲线是椭圆，其离心率分别是e1和e2，则 　　．
【考点】求椭圆的离心率；求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】换元整理可得双曲线，椭圆的标准方程，进而可得两个曲线的离心率，再求出答案．
【解答】解：因为是双曲线，也就是xy＝1，令x＝p+q，y＝p﹣q，则（p+q）（p﹣q）＝1，即p2﹣q2＝1，即，
所以，，则，则离心率；
因为x2﹣xy+y2＝1是椭圆，令x＝m+n，y＝m﹣n，代入得到：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2＝1，即m2+2mn+n2﹣m2+n2+m2﹣2mn+n2＝1，
整理可得：m2+3n2＝1，即，所以，，则，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线，椭圆的标准方程的求法及双曲线和椭圆的离心率的求法，属于中档题．
14．（2024秋 涪城区校级期末）已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，∠F1PF2的平分线PQ交x轴于点Q．若|PF1|＝3|QF1|，则椭圆C的离心率为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由椭圆的性质，结合内角平分线定理及椭圆的定义求解．
【解答】解：因为F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，∠F1PF2的平分线PQ交x轴于点Q．且|PF1|＝3|QF1|，
所以，
可得|PF2|＝3|QF2|，
故|PF1|+|PF2|＝3|QF1|+3|QF2|，
即2a＝3×2c，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了内角平分线定理及椭圆的定义，属中档题．
15．（2024秋 涪城区校级期末）已知椭圆的右焦点是F，过点F作直线l交椭圆于点A，B，过点F与直线l垂直的射线交椭圆于点P，，且三点A，O，P共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】
【分析】先证明四边形AFPF′是矩形，然后利用已知条件求出△AF′B三边的比例，再利用椭圆的定义求出|AF′|和|AF|与a的关系式，最后利用|AF′|2+|AF|2＝|F′F|2＝4c2即得离心率．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，由于A，O，P三点共线，
故由椭圆的对称性知|OA|＝|OP|，而|OF|＝|OF′|，故四边形AFPF′是平行四边形，
又因为FP⊥FA，故四边形AFPF′是矩形，
由于四边形AFPF′是矩形，故，，
从而可设|AF′|＝5k，|AB|＝12k，|BF′|＝13k，
此时30k＝|AF′|+|AB|+|BF′|＝|AF′|+|AF|+|BF|+|BF′|＝2a+2a＝4a，
这得到，所以，，
最后由|AF′|2+|AF|2＝|F′F|2，可得4c2，整理可得，
从而椭圆的离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆定义的应用及直角三角形的性质的应用，属于中档题．
16．（2024秋 烟台期末）已知A，B为椭圆Γ：1（a＞b＞0）上关于原点O对称的两点（异于顶点），点C在椭圆上且AC⊥AB，设直线BC与x轴的交点为P，若|OP|2＝2，则椭圆Γ离心率的值为 　　．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；作差法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】．
【分析】设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），C（x2，y2），由，得P的坐标为（2x1，0），利用点差法得到，结合已知可求得，根据kAB kAC＝﹣1，可求得，可求椭圆的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），C（x2，y2），
由，可得，
所以，所以2x1＝xP，
所以P的坐标为（2x1，0），
因为A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，所以，
两式相减可得，
又，
所以，又，
又AC⊥AB，所以kAB kAC＝﹣1，
所以，
所以 ，即，
所以椭圆Γ离心率的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查点差法的应用，椭圆的离心率的求法，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 长沙校级期末）已知椭圆E：1（a＞b＞0）焦距为2，离心率e是．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的弦AB，CD，其中B，D在x轴的上方，且B在D的右侧，设弦AB，CD的中点分别为M，N．
①若弦AB，CD的斜率均存在，求四边形ACBD面积的最小值；
②判断直线MN是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由．
【考点】椭圆的定点及定值问题；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）①；
②直线MN恒过点．
【分析】（1）根据焦距得到c的值，再根据离心率以及a2＝b2+c2求得a，b的值；
（2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，根据面积公式求得最值；②根据①表示出M，N的坐标，考虑直线MN斜率存在和不存在两种情况，可得到定点．
【解答】解：（1）根据题意有a＝2，c＝1，解得b2＝a2﹣c2＝3，
因此E的方程：；
（2）①设lAB：x＝my+1（m≠0），B（x2，y2），A（x1，y1），那么，
联立直线lCD和椭圆E方程可得，
所以，
所以，
根据弦长公式可得：，
同理可得：，
因此，
设t＝m2+1（t＞1），那么四边形ACBD的面积
当m2＝1，面积S的最小值是；
②因为，
所以，将代替m，可得，
当，即m2≠1时，，
，
当y＝0时，，经验证直线MN过点；
当，即m2＝1时，，过点．
综上，直线MN恒过点．
【点评】本题考查椭圆综合应用，属于中档题．
18．（2024秋 济宁期末）在平面直角坐标系xOy中，对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d（M，N）．
已知椭圆C：的离心率为，其短轴上的点的集合记为M，椭圆C上的点的集合记为N，且d（M，N）＝1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C相切，且与圆O：x2+y2＝16交于A，B两点，线段AB上的点的集合记为G，圆O上的点的集合记为H．
①若点P为圆O上的一个动点，当△PAB的面积最大时，求d（G，H）；
②求d（G，H）+d（H，G）的值．
【考点】椭圆的定点及定值问题；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①d（G，H）＝2；
②8．
【分析】（1）根据条件d（M，N）＝1，可得b＝1，再利用离心率即可求出a2，c2，进而求得椭圆的方程；
（2）①对于直线AB的斜率存在与不存在进行分情况讨论，分别求出两种情况下△PAB的面积的最大值，从而求得d（G，H）；
②在①的基础上数形结合得出d（G，H）和d（H，G），从而求和．
【解答】解：（1）因为d（M，N）＝1，且椭圆的离心率为，
所以，
解得a＝3，b＝1，
则椭圆C的方程为；
（2）设圆心O到直线AB的距离为d．
①当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝kx+m，
联立，消去y并整理得（9k2+1）x2+18kmx+9m2﹣9＝0，
此时Δ＝（18km）2﹣4（9k2+1）（9m2﹣9）＝0，
解得m2＝9k2+1，
则，
因为k2≥0，
所以，
即，
可得d∈[1，3），
则
，
设f（d）＝（4﹣d）（d+4）3，函数定义域为[1，3），
则f′（d）＝4（2﹣d）（d+4）2，
当1≤d＜2时，f′（d）＞0，f（d）单调递增；
当2＜d＜3时，f′（d）＜0，f（d）单调递减，
所以当d＝2时，f（d）取得极大值，极大值f（2）＝432，
即S△PAB的最大值为；
当直线AB的斜率不存在时，
由（1）可知，直线AB的方程为x＝±3，
联立，
解得，
此时，
因为，
所以△PAB的面积最大时，d＝2，
对于线段AB上任意点E，连接OE并延长与圆O交于点F，
则F是圆O上与E最近的点，
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值2，
所以d（G，H）＝2；
②对于线段AB上任意点E，连接OE并延长与圆O交于点F，
此时F是圆O上与E距离最近的点，
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值4﹣d，
所以d（G，H）＝4﹣d，
对于圆O上任意点R，由R向线段AB引垂线，垂足为S，
当S在线段AB上时，S是线段AB上与R距离最近的点，
当S不在线段AB上时，线段AB上的点与点R距离最近的点的距离小于2d，
所以当RS经过圆心O时，RS取得最大值4+d，
所以d（H，G）＝4+d．
故d（G，H）+d（H，G）＝8．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 榆阳区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线PE，QE相交于点E，且它们的斜率之积是．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）若直线与点E的轨迹交于M，N两点，线段MN的中点为A．若直线OA的斜率为1，求线段MN的长．
【考点】直线与椭圆的综合；轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）设点E（x，y），根据题意建立等式求解即可；
（2）先利用点差法求得k，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可．
【解答】解：（1）设点E（x，y），
由于直线QE，PE的斜率之积是，
所以，可得，
所以E的轨迹方程为：．
（2）设N（x2，y2），M（x1，y1），
因为线段MN的中点为A，所以，
所以，所以，
根据题可得，，
两式作差得：，所以，
因为kOA＝1，所以，所以MN的方程为，
联立MN方程和椭圆方程可得，化简得3x2﹣2x﹣3＝0，
根据韦达定理可得，且根的判别式Δ＞0，
所以．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
20．（2024秋 吉林期末）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据椭圆右焦点F（1，0），且过点，从而可求解．
（2）根据题意求出直线方程为y＝x﹣1，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意可得直线l的方程为y＝x﹣1，
与椭圆方程联立，得7x2﹣8x﹣8＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
故
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查运算求解能力，属中档题．
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