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高考数学考前冲刺押题预测 一、二次函数及方程、不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2024 松江区二模）已知某个三角形的三边长为a、b及c，其中a＜b．若a，b是函数y＝ax2﹣bx+c的两个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024春 闵行区校级期中）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4ax+c，a＞0，c∈R，若x1＜2＜x2且f（x1）＞f（x2），则下列说法正确的是（　　）
A．对任新实数λ≠﹣1，0，1，均有
B．对任意满足0＜|λ|＜1实数λ，均有
C．对任意满足|λ|＞1的实数λ，均有
D．存在实数λ≠﹣1，0，1，使得
3．（2024秋 徐州校级期中）若关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（，]
C． D．
4．（2023秋 谯城区校级期末）一元二次不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 内蒙古校级期中）已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4≤a≤4 B．﹣4＜a＜4 C．a≤﹣4或a≥4 D．a＜﹣4或a＞4
6．（2024秋 杨浦区校级期中）已知M＝{（x，y）|y＝tx2+（1﹣t）x，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则（　　）
A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．，S＜1 D．，S＞1
7．（2024秋 虹口区校级月考）方程x2+2ax﹣a＝0在区间（0，1）和（1，2）各有一个根的充要条件是（　　）
A．a∈（﹣∞，﹣1） B．
C． D．a∈（﹣2，﹣1）
8．（2024秋 龙凤区校级期中）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1（a＞0）的解集为{x|﹣1≤x≤2}，则a+2b+c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[1，+∞）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 定西期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥1}，则（　　）
A．b＞0且c＜0
B．4a+2b+c＝0
C．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＞2}
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
（多选）10．（2024秋 长沙校级期中）已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．不等式cx2+bx+a＜0的解集是
C．的最小值是
D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]
（多选）11．（2024秋 漯河校级期中）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2，3]＝2，[﹣1，8]＝﹣2，则下列说法正确的是（　　）
A．若[x]＝2，则2＜x＜3
B．
C．若[2x]＝x2，则x＝0或x＝2
D．不等式[x]2﹣2[x]≤3的解集为[﹣1，4）
（多选）12．（2024秋 宝安区校级期中）已知对任意的x＜0，不等式（ax﹣4）（x2+b）≥0恒成立，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0 B．b＜0
C．a2﹣b的最小值为8 D．的最小值为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 静安区校级期末）若关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为 　 　．
14．（2024秋 重庆校级期末）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣1，3]，则a﹣b﹣c的取值范围是 　 　．
15．（2024秋 衡南县期末）关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是　 　．
16．（2024秋 成都校级期中）若对任意实数x，总存在，使得不等式x2+xy+y2≥2y+ky﹣1成立，则实数k的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 阳江期末）设函数f（x）＝ax2﹣ax+4．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＞2x+2．
18．（2024秋 重庆校级期末）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．
（1）若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
（2）解关于x的不等式y＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b；
19．（2024秋 南宁期末）已知函数f（x）＝mx2﹣（m+2）x+2，m∈R．
（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
20．（2024秋 徐汇区期末）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，给定数集A．若对任意的x1、x2∈R，当x1﹣x2∈A时，均有f（x1）﹣f（x2）∈A，则称函数y＝f（x）在集合A上封闭．
（1）若f（x）＝2024x+1，分别判断y＝f（x）在[0，+∞）和[0，l]上是否封闭？并说明理由；
（2）若y＝f（x）在{3}上封闭，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式2＜f（x）＜3；
（3）证明：“y＝f（x）在{1}上封闭，且在[0，+∞）上封闭”的必要条件是“y＝f（x）在[1，2]上封闭”．
高考数学考前冲刺押题预测 一、二次函数及方程、不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 松江区二模）已知某个三角形的三边长为a、b及c，其中a＜b．若a，b是函数y＝ax2﹣bx+c的两个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由a，b为函数f（x）＝ax2﹣bx+c的两个零点可得ax2﹣a（a+b）x+a2b＝ax2﹣bx+c，即可得，结合题意可得．
【解答】解：由a，b为函数f（x）＝ax2﹣bx+c的两个零点，故有a（x﹣a）（x﹣b）＝ax2﹣bx+c，
即ax2﹣a（a+b）x+a2b＝ax2﹣bx+c恒成立，
故a（a+b）＝b，a2b＝c，则，
由a，b，c为某三角形的三边长，且a＜b，
故1﹣a＞0，且，则，因为b+c＞a必然成立，
所以，即，解得，
所以a∈（，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题．
2．（2024春 闵行区校级期中）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4ax+c，a＞0，c∈R，若x1＜2＜x2且f（x1）＞f（x2），则下列说法正确的是（　　）
A．对任新实数λ≠﹣1，0，1，均有
B．对任意满足0＜|λ|＜1实数λ，均有
C．对任意满足|λ|＞1的实数λ，均有
D．存在实数λ≠﹣1，0，1，使得
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】B
【分析】由题意可知x1+x2＜4，化简得，根据与的大小关系确定λ的范围判断各个选项．
【解答】解：∵f（x）对称轴为x＝2，x1＜2＜x2，f（x1）＞f（x2），
∴（x1﹣2）＞（x2﹣2），
∴2﹣x1＞x2﹣2，
∴x1+x2＜4，
令，，
则X1+X2x1+x2，
X1﹣X2，
＝a（X1﹣X2）（X1+X2﹣4）
．
∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＜4，
∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，
∴．
∴B正确，C错误，
对于A：f（x1）＜f（x2） 0 λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故A错误，
对于D：，故不存在实数λ≠﹣1，0，1使得．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，属于中档题．
3．（2024秋 徐州校级期中）若关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（，]
C． D．
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先化简（ax﹣1）2＜x2为[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，再对a分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数a的取值范围．
【解答】不等式（ax﹣1）2＜x2可化为[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，
当a＝1时，原不等式等价于2x﹣1＞0，其解集为，不满足题意；
当a＝﹣1时，原不等式等价于2x+1＜0，其解集为，不满足题意；
当﹣1＜a＜1时，原不等式等价于，
其解集为，不满足题意；
当a＞1时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有3个整数解，所以，解得；
当a＜﹣1时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有3个整数解，所以，解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于难题．
4．（2023秋 谯城区校级期末）一元二次不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集可得到a＜0，，，把结果代入到所求不等式中即可求解．
【解答】解：据题意可知a＜0，，，则b＝3a，c＝2a，
所求的不等式可化为：2ax2﹣3ax+a＜0，
即2x2﹣3x+1＞0，
解得：x＞1或．
故选：C．
【点评】本题考查二次不等式的解法，属于中档题．
5．（2024秋 内蒙古校级期中）已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4≤a≤4 B．﹣4＜a＜4 C．a≤﹣4或a≥4 D．a＜﹣4或a＞4
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，利用判别式Δ≤0，求解即可．
【解答】解：不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则Δ＝a2﹣16≤0，
解得﹣4≤a≤4，所以a的取值范围是{a|﹣4≤a≤4}．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，是基础题．
6．（2024秋 杨浦区校级期中）已知M＝{（x，y）|y＝tx2+（1﹣t）x，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则（　　）
A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．，S＜1 D．，S＞1
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可．
【解答】解：对任意给定x∈[1，2]，则x2﹣x＝x（x﹣1）≥0，且t∈[0，1]，
可知x≤x+t（x2﹣x）≤x+x2﹣x＝x2，即x≤y≤x2，
所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中A（1，1）、B（2，2）、C（2，4），
d是M中两点间距离的最大值，
则dmax；
S是M中所有点构成的图形的面积，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次不等式的应用，属于难题．
7．（2024秋 虹口区校级月考）方程x2+2ax﹣a＝0在区间（0，1）和（1，2）各有一个根的充要条件是（　　）
A．a∈（﹣∞，﹣1） B．
C． D．a∈（﹣2，﹣1）
【考点】二次函数的性质与图象；充分条件与必要条件．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布与系数的关系，结合二次函数的图像，求出a的取值范围即可．
【解答】解：令f（x）＝x2+2ax﹣a，则 解得，
所以方程x2+2ax﹣a＝0在区间（0，1）和（1，2）各有一个根的充要条件是a∈（，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．
8．（2024秋 龙凤区校级期中）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1（a＞0）的解集为{x|﹣1≤x≤2}，则a+2b+c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[1，+∞）
【考点】解一元二次不等式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题设及对应二次函数性质知f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为且求参数关系及范围，进而求目标式范围．
【解答】解：由二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为，则b＝﹣a，
且，
即，所以，可得，
则，
所以1﹣3a∈[，1），
故a+2b+c＝1﹣3a的范围为[，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 定西期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥1}，则（　　）
A．b＞0且c＜0
B．4a+2b+c＝0
C．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＞2}
D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可．
【解答】解：由题意可知，
所以b＞0且c＜0，4a+2b+c＝4a+2a﹣2a＝4a＞0，故A正确，B错误；
不等式bx+c＞0 ax﹣2a＝a（x﹣2）＞0 x＞2，故C正确；
不等式cx2﹣bx+a＜0 ﹣2ax2﹣ax+a＝﹣a（2x﹣1）（x+1）＜0，
即（2x﹣1）（x+1）＞0，所以或x＜﹣1，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二次不等式的解法，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 长沙校级期中）已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0
B．不等式cx2+bx+a＜0的解集是
C．的最小值是
D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值；解一元二次不等式．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果．
【解答】解：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），
则﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，故A错误；
ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），
则，可得b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0．
不等式cx2+bx+a＜0化为：﹣6ax2﹣ax+a＜0，
由a＜0可得6x2+x﹣1＜0，解得，
所以不等式cx2+bx+a＜0的解集为，故B正确；
对于C，因为b＝﹣a，b＞0，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，当c＝2时，，
则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
当x＝1时，f（x）取到最大值f（1）＝1，
由f（x）＝﹣3得，x＝﹣1或x＝3，
f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，
因f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，最大值为1，
从而得n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，
因此2≤n2﹣n1≤4，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查韦达定理与不等式的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 漯河校级期中）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2，3]＝2，[﹣1，8]＝﹣2，则下列说法正确的是（　　）
A．若[x]＝2，则2＜x＜3
B．
C．若[2x]＝x2，则x＝0或x＝2
D．不等式[x]2﹣2[x]≤3的解集为[﹣1，4）
【考点】解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解；新定义类．
【答案】BD
【分析】由[x]的定义，分别判断AB选项；C选项由定义得到不等关系，解出范围，再由x2为整数求得x的可取值；D选项先将[x]看作未知数解一元二次不等式得到[x]的范围，再由定义得到x的取值范围．
【解答】解：[x]表示不超过x的最大整数，
对于A，[x]＝2，所以2≤x＜3，故A错误；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，由，得0≤x≤2且x≠1．
因为x2为整数，故x＝0或或或x＝2，故C错误；
对于D，[x]2﹣2[x]≤3得（[x]﹣3）（[x]+1）≤0，解得﹣1≤[x]≤3，
由[x]＝﹣1，得﹣1≤x＜0，由[x]＝3，得3≤x＜4；所以不等式的解集为[﹣1，4），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查取整函数的应用，考查计算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 宝安区校级期中）已知对任意的x＜0，不等式（ax﹣4）（x2+b）≥0恒成立，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞0 B．b＜0
C．a2﹣b的最小值为8 D．的最小值为
【考点】解一元二次不等式；运用基本不等式求最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】当b≥0时，可得对任意的x＜0恒成立，无解，可得b＜0，又当a≥0，不等式x2+b≤0不恒成立，从而可得，可判断AB，进而计算可判断CD．
【解答】解：对于选项A，当b＜0时，作出函数y＝ax﹣4和y＝x2+b的图象的示意图如图所示，
当a≥0时，显然ax﹣4＜0恒成立，此时x2+b≤0不恒成立，
由对任意的x＜0，不等式（ax﹣4）（x2+b）≥0恒成立，
所以，故选项A错误；
对于选项B，当b≥0时，x2+b≥0恒成立，
由对任意的x＜0，不等式（ax﹣4）（x2+b）≥0恒成立，
则ax﹣4≥0对任意的x＜0恒成立，
所以对任意的x＜0恒成立，此时a不存在，所以b＜0，故选项B正确；
对于选项C，所以，所以，
当且仅当，即a＝﹣2时取等号，所以a2﹣b的最小值为8，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 静安区校级期末）若关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）　．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当a2﹣4＝0时，即a＝±2，将a的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时a的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当a2﹣4＝0时，即a＝±2，
若a＝2时，原不等式为4x﹣1≥0，解可得：x，则不等式的解集为{x|x}，不是空集；
若a＝﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，不符合题意；
②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，
若（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，则有，解可得﹣2＜a，
则当不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集不为空集时，有a＜﹣2或a且a≠2，
综合可得：实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．
14．（2024秋 重庆校级期末）若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣1，3]，则a﹣b﹣c的取值范围是 　（﹣2，1]　．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】方程思想；转化法；不等式；运算求解．
【答案】（﹣2，1]．
【分析】由题意得0≤ax2+bx+c恒成立，从而可得ax2+bx+c≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}，然后结合二次方程与二次不等式的转化关系及方程的根与系数关系可求得a，b，c的关系，进而可求．
【解答】解：当a＞0时，若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}，
则0≤ax2+bx+c恒成立，即解集为R，b2﹣4ac≤0①，
故ax2+bx+c≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}，
所以x＝﹣1，x＝3为方程ax2+bx+c＝2的根，
即，
故b＝﹣2a，c＝2﹣3a，
所以b2﹣4ac＝4a2﹣4a（2﹣3a）≤0，a＞0，
解得，
所以a﹣b﹣c＝a+2a+3a﹣2＝6a﹣2∈（﹣2，1]．
故答案为：（﹣2，1]．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了方程根与系数关系的应用，属于中档题．
15．（2024秋 衡南县期末）关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是　（，]∪[，）　．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；分类法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（，]∪[，）．
【分析】先将原不等式转化为[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，再对a分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a的取值范围．
【解答】解：不等式（ax﹣1）2＜x2可化为[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，
①当a＝1时，原不等式等价于2x﹣1＞0，其解集为（，+∞），不满足题意；
②当a＝﹣1时，原不等式等价于2x+1＜0，其解集为（﹣∞，），不满足题意；
③当a＞1时，原不等式等价于（x）（x）＜0，其解集为（，），
∵其解集中恰有2个整数，∴，解得：a；
④当﹣1＜a＜1时，原不等式等价于（x）（x）＞0，其解集为（﹣∞，）∪（，+∞），不满足题意；
⑤当a＜﹣1时，原不等式等价于（x）（x）＜0，其解集为（，），
∵其解集中恰有2个整数，∴，解得：a，
综合以上，可得：a∈（，]∪[，），
故答案为：（，]∪[，）．
【点评】本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题，属于有一定难度的题．
16．（2024秋 成都校级期中）若对任意实数x，总存在，使得不等式x2+xy+y2≥2y+ky﹣1成立，则实数k的取值范围是 　{k|}　．
【考点】一元二次不等式恒成立问题．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】{k|}．
【分析】不等式整理为关于x的二次不等式恒成立，利用Δ≤0转化为存在，成立，求出的最大值即可得出．
【解答】解：因为x2+xy+y2≥2y+ky﹣1，
所以x2+xy+y2﹣2y﹣ky+1≥0，
因为对任意实数x，不等式成立，所以Δ＝y2﹣4（y2﹣2y﹣ky+1）≤0，化简整理可得，﹣3y2+8y+4ky﹣4≤0，
故存在，成立，
因为在上单调递增，
所以，所以，解得．
故答案为：{k|}．
【点评】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 阳江期末）设函数f（x）＝ax2﹣ax+4．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＞2x+2．
【考点】解一元二次不等式；一元二次不等式恒成立问题．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）[0，16）；
（2）见解析．
【分析】（1）分两种情况讨论，即可求得结果；
（2）先将f（x）＞2x+2转化为关于x的一元二次不等式，根据a的取值范围进行分类讨论求解．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝4＞0，成立；
当a≠0时，f（x）＞0在R上恒成立，
所以，解得0＜a＜16；
综上a的取值范围为[0，16）；
（2）因为f（x）＞2x+2，则ax2﹣ax+4＞2x+2，整理可得（ax﹣2）（x﹣1）＞0，
当a≠0时，方程（ax﹣2）（x﹣1）＝0的两根为，
当，即a＞2时，解得或x＞1；
当，即a＝2时，（ax﹣2）（x﹣1）＞0的解为x≠1；
当，即0＜a＜2时，解得x＜1或；
当a＝0时，原不等式为﹣2（x﹣1）＞0，解得x＜1；
综上，当a＝0时，解集为{x|x＜1}；
当0＜a＜2时，解集为{x|x＜1或；
当a＝2时，解集为{x|x≠1}；
当a＞2时，解集为或x＞1}．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
18．（2024秋 重庆校级期末）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．
（1）若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
（2）解关于x的不等式y＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b；
【考点】一元二次不等式恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系；解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）当b＜1时，解集为{x|b＜x＜1}；
当b＝1时，解集为 ；
当b＞1时，解集为{x|1＜x＜b}；
【分析】（1）由题设ax2+x﹣1＝0有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值；
（2）由题设x2﹣（b+1）x+b＜0，应用分类讨论求一元二次不等式的解集；
【解答】解：（1）若b＝1，{x|y＝0}有且只有一个元素，
所以ax2+x﹣1＝0有且仅有一个根，
当a＝0时，x﹣1＝0，即x＝1，则{x|y＝0}＝{1}，满足题设；
当a≠0时，Δ＝1+4a＝0，即，则{x|y＝0}＝{2}，满足题设；
所以a的取值集合为．
（2）由ax2+x﹣b＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b，得x2﹣（b+1）x+b＝（x﹣b）（x﹣1）＜0，
当b＜1时，解集为{x|b＜x＜1}；
当b＝1时，解集为 ；
当b＞1时，解集为{x|1＜x＜b}．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，还考查了含参数二次不等式求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
19．（2024秋 南宁期末）已知函数f（x）＝mx2﹣（m+2）x+2，m∈R．
（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【考点】一元二次不等式恒成立问题；解一元二次不等式．
【专题】分类讨论；判别式法；分类法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）2．
（2）m＝0时，解集为{x|x＜1}；
m＝2时，解集为{x|x≠1}；
m＜0时，解集为{x|x＜1}；
0＜m＜2时，解集为{x|x＜1或x}；
m＞2时，解集为{x|x或x＞1}．
【分析】（1）讨论m＝0时和m≠0时，不等式f（x）≥0恒成立时m的取值情况，求解即可．
（2）不等式为mx2﹣（m+2）x+2＞0，讨论m的取值情况，即可求出不等式的解集．
【解答】解：（1）m＝0时，f（x）≥0可化为﹣2x+2≥0，不满足题意；
m≠0时，不等式f（x）≥0为mx2﹣（m+2）x+2≥0，
应满足，解得m＝2；
所以实数m的值为2．
（2）不等式f（x）＞0为mx2﹣（m+2）x+2＞0，
m＝0时，不等式化为﹣2x+2＞0，解得x＜1；
m≠0时，不等式为（x﹣1）（mx﹣2）＞0，
若m＝2，则不等式为（x﹣1）2＞0，解得x≠1；
若m＜0，则1，不等式为（x﹣1）（x）＜0，解得x＜1；
若0＜m＜2，则1，不等式为（x﹣1）（x）＞0，解得x＜1或x；
若m＞2，则1，不等式为（x﹣1）（x）＞0，解得x或x＞1；
综上，m＝0时，解集为{x|x＜1}；
m＝2时，解集为{x|x≠1}；
m＜0时，解集为{x|x＜1}；
0＜m＜2时，解集为{x|x＜1或x}；
m＞2时，解集为{x|x或x＞1}．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20．（2024秋 徐汇区期末）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，给定数集A．若对任意的x1、x2∈R，当x1﹣x2∈A时，均有f（x1）﹣f（x2）∈A，则称函数y＝f（x）在集合A上封闭．
（1）若f（x）＝2024x+1，分别判断y＝f（x）在[0，+∞）和[0，l]上是否封闭？并说明理由；
（2）若y＝f（x）在{3}上封闭，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式2＜f（x）＜3；
（3）证明：“y＝f（x）在{1}上封闭，且在[0，+∞）上封闭”的必要条件是“y＝f（x）在[1，2]上封闭”．
【考点】解一元二次不等式；元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；证明题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维；新定义类．
【答案】（1）y＝f（x）在[0，+∞）上封闭，在[0，1]上不封闭，理由见解析；
（2）2＜f（x）＜3的解集为∪（4，5）；
（3）证明见解析．
【分析】根据题目新定义对应求解即可．
【解答】解：（1）y＝f（x）在[0，+∞）上封闭，在[0，1]上不封闭，理由如下，
任取x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2024（x1﹣x2）∈[0，+∞）所以y＝f（x）在[0，+∞）上封闭，
取x1＝1，x2＝0，则x1﹣x2＝1∈[0，1]，此时f（x1）﹣f（x2）＝2024 [0，1]，所以y＝f（x）在[0，1]上不封闭．
（2）y＝f（x）在{3}上封闭，则任意x1﹣x2＝3都有f（x1）﹣f（x2）＝3，所以f（x+3）﹣f（x）＝3，
当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，此时f（x）∈[﹣1，3），
所以x∈[3，6）时，f（x）∈[2，6），所以2＜f（x）＜3只在x∈[0，3）、x∈[3，6）上有解，
当x∈[0，3），2＜x2﹣2x＜3可得，
当x∈[3，6），f（x）＝f（x﹣3）+3＝x2﹣8x+18，则2＜x2﹣8x+18＜3可得3＜x＜4或4＜x＜5，
综上，2＜f（x）＜3的解集为∪（4，5）．
（3）证明：y＝f（x）在（1}上封闭，易得f（x+1）＝f（x）+1，所以f（x+n）＝f（x）+n，n∈Z，y＝f（x）在[0，+∞）上封闭，
则任取x1﹣x2≥0，都有f（x1）﹣f（x2）≥0成立，若1≤x1﹣x2≤2，则x2+1≤x1≤x2+2，
故f（x2+1）≤f（x1）≤f（x2+2）即f（x2）+1≤f（x1）≤f（x2）+2，故1≤f（x1）﹣f（x2）≤2，
所以y＝f（x）在[1，2]上封闭，
综上，“y＝f（x）在{1}上封闭，且在[0，+∞）上封闭”的必要条件是“y＝f（x）在[1，2]上封闭”．
【点评】本题考查新定义与集合、函数定义的结合问题，属于中档题．
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