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高考数学考前冲刺押题预测 圆与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 泸县校级期末）已知点A为直线3x+4y﹣7＝0上一动点，点B（4，0），且P（x，y）满足x2+y2+x﹣2＝0，则3|AP|+|BP|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 沈阳期末）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，其中a，b∈R，若两圆外切，则的取值范围为（　　）
A． B． C．[0，] D．
3．（2024秋 大兴区期末）已知直线l：y＝x+b和曲线，则“直线l与曲线C有且仅有一个公共点”是“﹣1＜b 1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024秋 深圳期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，直线l：（a+1）x+（2a﹣2）y﹣4a＝0，若直线l与圆C两交点记为A，B，点P为圆C上一动点，且满足CP∥AB，则最大值为（　　）
A． B．3 C．4 D．8
5．（2024秋 成都期末）以下四个命题表述正确的是（　　）
①若点A（1，2），圆的一般方程为x2+y2+2x﹣4y+1＝0，则点A在圆上；
②圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2；
③圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0外切；
④两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6＝0．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．（2025 柳州一模）若过点与圆x2+y2＝4相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 和平区期末）已知圆C：x2+y2＝5及直线l：（m+1）x+4y+m﹣1＝0（m∈R），给出下列结论：
①圆C被x轴截得的弦长为；
②直线l恒过定点（﹣1，1）；
③m＝1时，直线l被圆C截得弦长取最大值；
④直线l被圆C截得弦长最小值为．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2024秋 渝北区校级期中）若直线y＝k（x﹣3）﹣1与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 哈尔滨校级期末）圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+（y﹣a）2＝9没有公共点，则a的值可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4
（多选）10．（2024秋 开福区校级期末）以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线
D．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为：x+2y+6＝0
（多选）11．（2024秋 香坊区校级期末）若一个以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　）
A．圆和y轴相切
B．圆关于直线y＝﹣2x对称
C．对 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0与圆都相交
D．P（x，y）为圆上任意一点，则的最大值为9
（多选）12．（2024秋 赤峰期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝5，直线l：x﹣2y﹣8＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别切圆C于点A，B．则下列说法正确的是（　　）
A．四边形PACB的面积最小值为
B．M为圆C上一动点，则MP最小值为
C．|PA|最短时，弦AB直线方程为2x﹣4y﹣1＝0
D．|PA|最短时，弦AB长为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 泸县校级期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系为　 　．
14．（2024秋 天津期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，直线l过点P（4，3），若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 　 　．
15．（2024秋 西宁校级期末）已知P为圆（x+1）2+y2＝1上任意一点，A，B为直线3x+4y﹣7＝0上的两个动点，且|AB|＝2，则△PAB面积的取值范围是 　 　．
16．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0相交于点P，动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，则的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 重庆期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4（a＜2）及直线l：x﹣y+2＝0，直线l被圆C截得的弦长为．
（1）求a的值；
（2）求过点（3，2）并与圆C相切的直线的一般式方程．
18．（2024秋 梧州期末）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN，求m的值．
19．（2024秋 宁波期末）在平面直角坐标系xOy中，圆心为（m，2m）（m＞0）的圆C与y轴相切，动直线l过点P（0，6）．
（1）当m＝4时，直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）圆C上存在点M满足，求实数m的取值范围．
20．（2024秋 宜宾校级期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0关于直线x﹣y+1＝0的对称圆的圆心为D，若直线l过点（1，4）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程．
高考数学考前冲刺押题预测 圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 泸县校级期末）已知点A为直线3x+4y﹣7＝0上一动点，点B（4，0），且P（x，y）满足x2+y2+x﹣2＝0，则3|AP|+|BP|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】通过构造关系|PB|＝3|PM|找到定点M，将最值转化为求3（|PA|+|PM|）的最值，进而转化为|AM|最值，则点线距求解可得．
【解答】解：∵x2+y2+x﹣2＝0，
∴．
∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，
设在x轴上存在定点M（a，0），使得圆上任意一点P（x，y），满足|PB|＝3|PM|，
则，
化简得8（x2+y2）﹣（18a﹣8）x+（9a2﹣16）＝0，
又∵x2+y2+x﹣2＝0，代入得18ax﹣9a2＝0，
要使等式恒成立，则1﹣2ax＝0，即a＝0．
∴存在定点M（0，0），使圆上任意一点P满足|PB|＝3|PM|，
则3|AP|+|BP|＝3|AP|+3|MP|＝3（|AP|+|MP|）≥3|AM|，
当A，P，M三点共线（A，M位于P两侧）时，等号成立．
又A点为直线3x+4y﹣7＝0上一动点，则|AM|的最小值即为点M到直线的距离，
由M（0，0）到直线距离，则．
故．
如图，过M作直线3x+4y﹣7＝0的垂线段，垂线段与圆C的交点即为取最值时的点P，此时取到最小值．
故选：D．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于中档题．
2．（2024秋 沈阳期末）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，其中a，b∈R，若两圆外切，则的取值范围为（　　）
A． B． C．[0，] D．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】依题意，得（a﹣1）2+b2＝9，利用的几何意义，是点（a，b）与D（5，3）连线的斜率，即可求得答案．
【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2＝1，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，a，b∈R，
∵圆C1与圆C2外切，
∴，整理得：（a﹣1）2+b2＝9，则的几何意义，是点（a，b）与D（5，3）连线的斜率，
如图：
设圆上的点为Q，则DQ的斜率为k，
DQ的方程为：y﹣3＝k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k+3＝0，所以3，
解得k∈[0，]．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查作图能力与运算能力，属于中档题．
3．（2024秋 大兴区期末）已知直线l：y＝x+b和曲线，则“直线l与曲线C有且仅有一个公共点”是“﹣1＜b 1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】首先根据题意得到曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的半圆，位于y轴及y轴右侧部分，再根据直线与曲线的位置关系得到﹣1＜b≤1或，即可得出结论．
【解答】解：因为，
所以曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的半圆，
位于y轴及y轴右侧部分，如图所示：
当直线y＝x+b过A（0，1）时，b＝1，直线与曲线有一个交点；
当直线y＝x+b过B（0，﹣1）时，b＝﹣1，直线与曲线有两个交点；
当直线y＝x+b与曲线相切时，，解得，
若直线y＝x+b与曲线C：有且仅有一个公共点，则﹣1＜b≤1或，
故“直线l与曲线C有且仅有一个公共点”是“﹣1＜b 1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，属中档题．
4．（2024秋 深圳期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，直线l：（a+1）x+（2a﹣2）y﹣4a＝0，若直线l与圆C两交点记为A，B，点P为圆C上一动点，且满足CP∥AB，则最大值为（　　）
A． B．3 C．4 D．8
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】先求出直线l恒过定点坐标，设AB的中点为N，根据向量的运算法则可得，分析可得当点N与点M重合时，取得最大值，再结合点到直线距离公式，弦长公式求解即可．
【解答】解：将直线l：（a+1）x+（2a﹣2）y﹣4a＝0整理可得a（x+2y﹣4）+x﹣2y＝0，
令，解得，
即直线l恒过定点M（2，1），
由题意知，圆心C（1，2），半径r＝2，
设AB的中点为N，
因为44，
所以，
当CM⊥AB时，取得最小值，此时点N恰与点M重合，
因为CP∥AB，
所以CP⊥CM，
所以2d2，其中d为点C到直线AB的距离，
由C（1，2），M（2，1），知直线CM的斜率为1，
所以直线AB的斜率为1，
又直线AB过点M（2，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝x﹣2，即x﹣y﹣1＝0，
所以点C到直线AB的距离d，
所以2d2＝4，
即最大值为4．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握平面向量线性运算和数量积的运算法则，直线截圆所得弦长的求法，点到直线的距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．（2024秋 成都期末）以下四个命题表述正确的是（　　）
①若点A（1，2），圆的一般方程为x2+y2+2x﹣4y+1＝0，则点A在圆上；
②圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2；
③圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0外切；
④两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6＝0．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】分别求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：①若点A（1，2），圆的一般方程为x2+y2+2x﹣4y+1＝0，
当x＝1，y＝2时，x2+y2+2x﹣4y+1＝1+4+2﹣8+1＝0，则点A在圆上；故①正确，
②圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心为（1，4），
则圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离d，故②错误；
③圆C1：x2+y2+2x＝0的标准方程为（x+1）2+y2＝1，圆心C1（﹣1，0），半径r＝1，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16，圆心C2（2，4），半径R＝4，
圆心距离|C1C2|5，R+r＝4+1＝5，则|C1C2|＝R+r，
则两圆外切；故③正确，
④两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0，作差得2x﹣4y+12＝0，即x﹣2y+6＝0，
即两圆的公共弦所在的直线方程为x﹣2y+6＝0．故④错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查两圆位置关系的判断，求出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用两圆位置关系是解决本题的关键，是中档题．
6．（2025 柳州一模）若过点与圆x2+y2＝4相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意求出点（2，0）到圆心的距离为d，进而可得sin，结合二倍角的余弦公式计算即可求解．
【解答】解：过点（2，0）与圆x2+y2＝4相切的两条直线的夹角为α，
点（2，0）到圆心（0，0）的距离为d＝2，圆的半径为r＝2，
所以sin，于是cosα＝1﹣2sin21﹣2×（）2．
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离公式和二倍角的余弦公式，属于中档题．
7．（2024秋 和平区期末）已知圆C：x2+y2＝5及直线l：（m+1）x+4y+m﹣1＝0（m∈R），给出下列结论：
①圆C被x轴截得的弦长为；
②直线l恒过定点（﹣1，1）；
③m＝1时，直线l被圆C截得弦长取最大值；
④直线l被圆C截得弦长最小值为．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】求解直线系经过的定点，判断定点与圆的位置关系，然后求解判断4个结论的正误．
【解答】解：直线l：（m+1）x+4y+m﹣1＝0（m∈R），化为m（x+1）+（x+4y﹣1）＝0，
可得，解得x＝﹣1，y，所以直线恒过D（﹣1，）点，可知D在圆的内部，
所以圆C被x轴截得的弦长不是定值，所以①不正确．②不正确．
m＝1时，直线l为2x+4y＝0，即x+2y＝0，圆的圆心在直线上，直线l被圆C截得弦长最大值为直径，2，所以③正确．
圆心到定点的距离为：，直线l被圆C截得弦长最小值为2，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
8．（2024秋 渝北区校级期中）若直线y＝k（x﹣3）﹣1与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），求出直线与圆相切时k的值，再结合图形即可求解．
【解答】解：由得x2+y2＝2（y≥0），
所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），
当直线y＝k（x﹣3）﹣1与圆x2+y2＝2（y≥0）相切时，
圆心到直线的距离，
解得k＝﹣1或（舍去），
当直线y＝k（x+2）+1过点时，
直线斜率为，
结合图形可得实数k的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 哈尔滨校级期末）圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+（y﹣a）2＝9没有公共点，则a的值可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】圆C1与圆C2没有公共点，则两圆外离或内含，从而得到不等式，求出答案．
【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，
圆C2：x2+（y﹣a）2＝9的圆心为（0，a），半径为3，
圆C1与圆C2没有公共点，则两圆外离或内含，
所以|C1C2|＞3+1＝4或|C1C2|＜3﹣1＝2，即或，
所以或或，
﹣3，2不满足要求，﹣1，4满足要求．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 开福区校级期末）以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线
D．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为：x+2y+6＝0
【考点】直线与圆的位置关系；命题的真假判断与应用；恒过定点的直线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；简易逻辑；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用直线系判断A；圆心到直线的距离判断B；两个圆的位置关系判断C；求解两个圆的公共弦方程判断D；
【解答】解：直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）即mx+4（y﹣3）＝0对m∈R恒成立，所以直线恒过定点（0，3），所以A正确；
圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心（1，4）到直线4x﹣3y+3＝0的距离为d1≠2，所以B不正确；
圆C1：x2+y2+2x＝0的圆心（﹣1，0）半径为1，圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0的圆心（2，4），半径为4，
两个圆的圆心距为：d5＝1+4，所以两个圆外切，所以了两个圆有恰有三条公切线，所以C正确；
两圆x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心（﹣2，2），半径为：2，
x2+y2+2x﹣12＝0的圆心（﹣1，0），半径为：，圆心距为：，半径和为：2，半径差为：，所以两个圆相交，两个圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为：x﹣2y+6＝0，所以D不正确；
故选：AC．
【点评】本题考查命题的真假的判断，直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的判断与应用，是中档题．
（多选）11．（2024秋 香坊区校级期末）若一个以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　）
A．圆和y轴相切
B．圆关于直线y＝﹣2x对称
C．对 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0与圆都相交
D．P（x，y）为圆上任意一点，则的最大值为9
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，由圆心到直线距离与圆的半径比较即可判断；对于B，由圆心在直线y＝﹣2x上易判断；对于C，由直线经过的定点在圆内，即可判断；对于D，利用所求式的几何意义，结合图形即可求得其最大值．
【解答】解：对于A，因圆心C（2，﹣4）到直线x＝0的距离为2，小于半径4，即直线x＝0与圆相交，故A错误；
对于B，因圆心（2，﹣4）在直线y＝﹣2x上，故圆关于直线y＝﹣2x对称，即B正确；
对于C，对 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0即a（x﹣2）﹣y﹣1＝0，则直线经过定点（2，﹣1），
而该点在圆（x﹣2）2+（y+4）2＝16内，故 a∈R，直线ax﹣y﹣2a﹣1＝0与圆都相交，即C正确；
对于D，依题意，P（x，y）在C：（x﹣2）2+（y+4）2＝16上，圆心C（2，4），半径r＝4，
而可理解为圆上的点P（x，y）与点A（﹣1，0）的距离d，
由图知dmax＝|CA|+r4＝9，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 赤峰期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝5，直线l：x﹣2y﹣8＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别切圆C于点A，B．则下列说法正确的是（　　）
A．四边形PACB的面积最小值为
B．M为圆C上一动点，则MP最小值为
C．|PA|最短时，弦AB直线方程为2x﹣4y﹣1＝0
D．|PA|最短时，弦AB长为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解．
【解答】解：对于A，由切线长定理可得|PA|＝|PB|，又因为|CA|＝|CB|，所以△PAC △PBC，
所以四边形PACB的面积，
因为，当CP⊥l时，|CP|取最小值，且 ，
所以四边形PACB的面积的最小值为，故A正确；
对于B，因为，所以MP最小值为，故B错误；
对于C，由题意可知点A，B，在以CP为直径的圆上，
设P（2a+8，a），其圆的方程为：，
化简为x2﹣（2a+8）x+y2﹣（a+1）y+a＝0，与方程x2+（y﹣1）2＝5相减可得：（2a+8）x+（a﹣1）y﹣（a+4）＝0，
则直线AB的方程为（2a+8）x+（a﹣1）y﹣（a+4）＝0，当|PA|最短时，CP⊥l，则 ，
解得a＝﹣3，故直线AB的方程为2x﹣4y﹣1＝0，故C正确；
对于D，当|PA|最短时，圆心C 到直线 2x﹣4y﹣1＝0的距离，
所以弦AB长为，故D正确．
故答案为：ACD．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 泸县校级期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系为　相交　．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【专题】转化思想；优选法；直线与圆；运算求解．
【答案】相交．
【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断．
【解答】解：化为标准方程：x2+（y﹣2）2＝4，
化为标准方程：（x﹣1）2+y2＝4，
记C1，C2的半径分别为R，r，圆心距为d，根据标准方程，C1，C2的圆心分别是（1，0），（0，2），
故圆心距，而，
故两圆相交．
故答案为：相交．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于中档题．
14．（2024秋 天津期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，直线l过点P（4，3），若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 　x＝4或3x﹣4y＝0　．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x＝4或3x﹣4y＝0．
【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．
【解答】解：已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，
则圆心坐标为（3，1），半径为1，
又直线l过点P（4，3），且与圆C相切，
当直线的斜率不存在时，显然x＝4满足题意，
当直线的斜率存在时，不妨设直线方程为y﹣3＝k（x﹣4），
由题意可得：，
即，
即直线方程为y﹣3（x﹣4），
即3x﹣4y＝0．
故答案为：x＝4或3x﹣4y＝0．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
15．（2024秋 西宁校级期末）已知P为圆（x+1）2+y2＝1上任意一点，A，B为直线3x+4y﹣7＝0上的两个动点，且|AB|＝2，则△PAB面积的取值范围是 　[1，3]　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】[1，3]．
【分析】由题意可得，圆心（﹣1，0）到直线3x+4y﹣7＝0的距离d，即可求得圆上一点P到直线3x+4y﹣7＝0的距离d1取值范围为d﹣r≤d1≤d+r，即1≤d1≤3，再结合三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：∵圆（x+1）2+y2＝1，
∴圆的半径r＝1，圆心为（﹣1，0），
∴圆心（﹣1，0）到直线3x+4y﹣7＝0的距离d，
∴直线与圆的位置关系为相离，
∴圆上一点P到直线3x+4y﹣7＝0的距离d1取值范围为d﹣r≤d1≤d+r，即1≤d1≤3，
∵|AB|＝2，
∴，
故△PAB面积的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于中档题．
16．（2024秋 乌鲁木齐期末）已知直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0相交于点P，动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，则的取值范围是 　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据l1，l2所过定点以及二者垂直确定点P的轨迹方程，再根据动点A，B在圆C：x2+y2﹣14x+2y+47＝0上，且|AB|＝2，确定AB的中点E的轨迹方程，结合，以及两圆上两点间的距离范围，即可求得答案．
【解答】解：由直线l1：tx+y+t+1＝0与直线l2：x﹣ty+t﹣1＝0，
可得t×1+1×（﹣t）＝0，所以直线l1与直线l2垂直，直线l1过定点M（﹣1，﹣1），l2过定点N（1，1），
所以点P的轨迹是以MN为直径的圆，
由MN的中点坐标为O（0，0），|MN|2，
所以圆心为（0，0），半径r，
所以点P的轨迹方程是x2+y2＝2，
所以点P的轨迹是以点O（0，0）为圆心，半径的圆，
因为圆C的方程为（x﹣7）2+（y+1）2＝3，所以圆心C（7，﹣1），半径，
取AB的中点E，连接CE，则|CE|，
所以点E的轨迹是以点C为圆心，半径的圆，
所以，
而，且，即圆x2+y2＝2与点E的轨迹外离；
因为|OC|﹣r1﹣r3≤|PE|≤|OC|+r1+r3，即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 重庆期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4（a＜2）及直线l：x﹣y+2＝0，直线l被圆C截得的弦长为．
（1）求a的值；
（2）求过点（3，2）并与圆C相切的直线的一般式方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）a＝1；
（2）3x+4y﹣17＝0或x＝3．
【分析】（1）根据直线被圆截得的弦长，可得圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式列式即可求解；
（2）首先判定点（3，2）在圆外，然后分切线斜率存在和斜率不存在分别求解即可．
【解答】解：（1）由已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4（a＜2），
即圆心C（1，a），半径r＝2，
因为直线l被圆C截得的弦长为．
所以圆心到直线l：x﹣y+2＝0的距离，
解得a＝1或a＝5，
又a＜2，所以a＝1；
（2）由（1）得a＝1，则圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4（a＜2），
圆心C（1，1），半径r＝2，
因为（3﹣1）2+（2﹣1）2＞4，所以点（3，2）在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即 kx﹣y﹣3k+2＝0，
此时，解得，
此时，切线方程为3x+4y﹣17＝0，
当切线斜率不存在时，直线x＝3与圆C相切，
综上所述，所求切线方程为3x+4y﹣17＝0或x＝3．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，属中档题．
18．（2024秋 梧州期末）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN，求m的值．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．
（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．
【解答】解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为 ，
∵，有 ，
∴，解得 m＝4．
【点评】本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．
19．（2024秋 宁波期末）在平面直角坐标系xOy中，圆心为（m，2m）（m＞0）的圆C与y轴相切，动直线l过点P（0，6）．
（1）当m＝4时，直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）圆C上存在点M满足，求实数m的取值范围．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x﹣y+6＝0或x﹣7y+42＝0．
（2）．
【分析】（1）当m＝4时，求解圆的方程，推出圆心C到直线l的距离，通过直线l的斜率是否存在转化求解即可．
（2）记圆C的半径为r，可得r＝m，设M（x，y），由推出x2+（y﹣3）2＝9，通过|r﹣r1| |CC1| r+r1，转化求解即可．
【解答】解：（1）当m＝4时，圆心C为（4，8），圆心为（4，8）的圆C与y轴相切，圆的半径为4，圆C的方程（x﹣4）2+（x﹣8）2＝16，
则圆心C到直线l的距离为，
若直线l的斜率不存在时，则l：x＝0，此时直线l与圆C相切，不符合题意，
若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝kx+6，即kx﹣y+6＝0，
则，得7k2﹣8k+1＝0，解得，
∴直线l的方程为x﹣y+6＝0或x﹣7y+42＝0．
（2）记圆C的半径为r，∵m＞0，则r＝m，
设M（x，y），由得（﹣x，﹣y）（﹣x，6﹣y）＝0，
化简得：x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，
∴M的轨迹为圆，记圆心为C1（0，3），半径为r1＝3，
圆C上存在点M满足，即圆C和圆C1有公共点，
∴|r﹣r1| |CC1| r+r1，
∴，
∴m2﹣6m+9≤5m2﹣12m+9≤m2+6m+9，
∴，
解得，因为m＞0，∴，
∴实数m的取值范围为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20．（2024秋 宜宾校级期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0关于直线x﹣y+1＝0的对称圆的圆心为D，若直线l过点（1，4）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x＝1或3x+4y﹣19＝0．
（2）x﹣y+3＝0或x+y﹣5＝0．
【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可；
（2）由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可．
【解答】解：（1）由题意可知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0的圆心坐标C（2，2），半径r＝1，
当直线的斜率不存在时，直线l过点（1，4）．即l的方程为x＝1时，此时直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线l过点（1，4）．设直线的方程为y﹣4＝k（x﹣1），
即化为一般式：kx﹣y﹣k+4＝0，直线l与圆C相切，则，
即，解得，所以l的方程为：，即3x+4y﹣19＝0．
综上，当直线l与圆C相切，直线l的方程为x＝1或3x+4y﹣19＝0．
（2）圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0的圆心坐标C（2，2），半径r＝1，
设D（a，b），因为圆C关于直线x﹣y+1＝0的对称圆的圆心为D，
所以，解得，圆D的圆心为（1，3），半径为1．
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l过圆D的圆心，，不符合题意；
当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l过点（1，4）．
设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），即化为一般式：kx﹣y﹣k+4＝0，圆心D到直线l的距离．
若直线l与圆D交于A，B两点，，根据勾股定理可得，
所以，解得k＝±1，
所以直线l的方程为x﹣y+3＝0或x+y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
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