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高考数学考前冲刺押题预测 复数
一．选择题（共8小题）
1．（2024 北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024 新课标Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024 新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
4．（2024 甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（　　）
A．﹣1i B．﹣1i C．i D．i
5．（2024 新课标Ⅲ）复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 定远县模拟）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）
A． B． C． D．2
7．（2024 新课标Ⅰ）设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（　　）
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
8．（2024 乙卷）设2（z）+3（z）＝4+6i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 五莲县期末）下面关于复数的四个命题中，真命题是（　　）
A．若复数z∈R，则∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z满足∈R，则z∈R
D．若复数z1，z2的满足z1z2∈R，则z1
（多选）10．（2024 西湖区校级期中）已知复数z1＝2﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2﹣i|＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．P1点的坐标为（2，﹣2）
B．2+2i
C．|z2﹣z1|的最大值为1
D．|z2﹣z1|的最小值为2
（多选）11．（2024 元氏县校级月考）已知i是虚数单位，下列说法中正确的有（　　）
A．若复数z满足|z|＝0，则z＝0
B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1 z2＝0
C．若复数z＝a+ai（a∈R），则z可能是纯虚数
D．若复数z满足z2＝3+4i，则z对应的点在第一象限或第三象限
（多选）12．（2024 上城区校级期中）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．i+i2+i3+i4＝0
B．3+i＞1+i
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第四象限
D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），则a2+b2＝　 　，ab＝　 　．
14．（2024 天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为　 　．
15．（2024 江苏）若复数z满足i z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　 　．
16．（2024 江苏）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
18．（2024 上海）已知z是实系数方程x2+2bx+c＝0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为Pz，
（1）若（b，c）在直线2x+y＝0上，求证：Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2＝1上；
（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2＝r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若Pz在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则Pz在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．
线段s与线段s1的关系 m、r的取值或表达式
s所在直线平行于s1所在直线
s所在直线平分线段s1
线段s与线段s1长度相等
19．（2024 全国）设复数z＝cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．
20．（2024 徐汇区校级模拟）设虚数z满足|2z+15||10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
高考数学考前冲刺押题预测 复数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】共轭复数；复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：复数，
共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．
2．（2024 新课标Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数对应复平面中的点；复数的乘法及乘方运算．
【专题】转化思想；数系的扩充和复数．
【答案】C
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：z＝i（﹣2+i）＝﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（2024 新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：z＝1+2i，则i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
4．（2024 甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（　　）
A．﹣1i B．﹣1i C．i D．i
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．
【解答】解：因为（1﹣i）2z＝3+2i，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．
5．（2024 新课标Ⅲ）复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵，
∴复数的虚部是．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
6．（2024 定远县模拟）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）
A． B． C． D．2
【考点】复数的实部与虚部．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．
【解答】解：
i
由得b．
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．
7．（2024 新课标Ⅰ）设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（　　）
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
【考点】复数的运算；命题的真假判断与应用；共轭复数．
【专题】探究型；简易逻辑；数系的扩充和复数．
【答案】B
【分析】根据复数的分类，由复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z＝i满足z2＝﹣1∈R，则z R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则z∈R，故命题p4为真命题．
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．
8．（2024 乙卷）设2（z）+3（z）＝4+6i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】方程思想；待定系数法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】利用待定系数法设出z＝a+bi，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可．
【解答】解：设z＝a+bi，a，b是实数，
则a﹣bi，
则由2（z）+3（z）＝4+6i，
得2×2a+3×2bi＝4+6i，
得4a+6bi＝4+6i，
得，得a＝1，b＝1，
即z＝1+i，
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 五莲县期末）下面关于复数的四个命题中，真命题是（　　）
A．若复数z∈R，则∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z满足∈R，则z∈R
D．若复数z1，z2的满足z1z2∈R，则z1
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】先设z＝a+bi，然后根据相应的概念与运算进行判断．
【解答】解：设z＝a+bi，
对于A项，若z∈R，则b＝0，此时，所以A正确；
对于B项，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi∈R，则ab＝0，所以a＝0或b＝0，则z不一定为实数，B错误；
对于C项，，则b＝0，所以z∈R，所以C正确；
对于D项，设z1＝﹣1+i，z2＝2+2i，则z1z2＝﹣4∈R，但，D错误；
故选：AC．
【点评】本题主要考查复数的四则运算和基本概念，属于中档题目．
（多选）10．（2024 西湖区校级期中）已知复数z1＝2﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2﹣i|＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．P1点的坐标为（2，﹣2）
B．2+2i
C．|z2﹣z1|的最大值为1
D．|z2﹣z1|的最小值为2
【考点】复数对应复平面中的点．
【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用复数的几何意义、圆的方程即可判断出正误．
【解答】解：A．复数z1＝2﹣2 i在复平面内对应的点为P1（2，﹣2），故A正确；
B．复数z1＝2﹣2 i，所以复数，故B正确；
C．D．设z2＝x+y i（x，y∈R），所以，所以x2+（y﹣1）2＝1，|z2﹣z1|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的点的距离，故|z2﹣z1|的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）11．（2024 元氏县校级月考）已知i是虚数单位，下列说法中正确的有（　　）
A．若复数z满足|z|＝0，则z＝0
B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1 z2＝0
C．若复数z＝a+ai（a∈R），则z可能是纯虚数
D．若复数z满足z2＝3+4i，则z对应的点在第一象限或第三象限
【考点】复数的模；虚数单位i、复数．
【专题】计算题；对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AD
【分析】由已知可得|z|＝0，即z＝0判断A；设z1＝1+i，z2＝1﹣i，运算求解判断B；分a＝0和a≠0判断C；设z＝a+bi（a，b∈R），代入z2＝3+4i，由复数相等的条件列式求得a，b判断D．
【解答】解：对于A，|z|＝0，则z＝0，故A正确；
对于B，设z1＝1+i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|，可得z1 z2≠0，故B错误；
对于C，z＝a+ai（a∈R），若a＝0，则z为实数，若a≠0，则z为虚数，z不可能为纯虚数，故C错误；
对于D，设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，
∴，解得，或．
∴z对应的点在第一象限或第三象限，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
（多选）12．（2024 上城区校级期中）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．i+i2+i3+i4＝0
B．3+i＞1+i
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第四象限
D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【考点】复数对应复平面中的点；复数的模；复数与复平面中的轨迹问题．
【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用虚数单位i的运算性质判断A；根据两个虚数不能进行大小比较判断B；利用复数代数形式的乘除运算化简z进一步求得的坐标判断C；由复数模的几何意义判断D．
【解答】解：对于A，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，故A正确；
对于B，两个虚数不能进行大小比较，故B错误；
对于C，z＝（1+2i）2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，，
则复平面内对应的点的坐标为（﹣3，﹣4），位于第三象限，故C错误；
对于D，已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹是以（1，0）和（﹣1，0）为端点的线段的垂直平分线，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），则a2+b2＝　5　，ab＝　2　．
【考点】复数的运算．
【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），可得3+4i＝a2﹣b2+2abi，可得3＝a2﹣b2，2ab＝4，解出即可得出．
【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），
∴3+4i＝a2﹣b2+2abi，
∴3＝a2﹣b2，2ab＝4，
解得ab＝2，，．
则a2+b2＝5，
故答案为：5，2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（2024 天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为　2　．
【考点】复数的乘法及乘方运算．
【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）＝1+b+（1﹣b）i＝a，a，b∈R，
∴，
解得：，
∴2，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
15．（2024 江苏）若复数z满足i z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　2　．
【考点】复数的运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由i z＝1+2i，
得z，
∴z的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
16．（2024 江苏）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是　2　．
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．
【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，
∴a﹣2＝0，即a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零时，复数为虚数；（3）当实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数；（4）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限．
【解答】解：∵复数z＝m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，
∴（1）当m2﹣m﹣2＝0，即m＝﹣1，或m＝2时，复数为实数．
（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．
（3）当 m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1＝0时，即m＝1时，复数为纯虚数．
（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即 1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，一元二次不等式的解法，属于基础题．
18．（2024 上海）已知z是实系数方程x2+2bx+c＝0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为Pz，
（1）若（b，c）在直线2x+y＝0上，求证：Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2＝1上；
（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2＝r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若Pz在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则Pz在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．
线段s与线段s1的关系 m、r的取值或表达式
s所在直线平行于s1所在直线
s所在直线平分线段s1
线段s与线段s1长度相等
【考点】虚数单位i、复数；直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（b，c）在直线2x+y＝0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2＝1上；
（2）①求出虚根，虚根在定圆C：（x﹣m）2+y2＝r2（m、r∈R，r＞0），推出c＝﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②（b，c）是线段s上一点（非端点），实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2＝0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时Δ＜0，求出方程的根Pz，可推出Pz在圆C上．
（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．
【解答】解：（1）由题意可得2b+c＝0，
解方程x2+2bx﹣2b＝0，得
∴点或，
将点Pz代入圆C1的方程，等号成立，
∴Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2＝1上
（2）当Δ＜0，即b2＜c时，
解得，
∴点或，
由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2＝r2，
整理后得c＝﹣2mb+r2﹣m2，
∵Δ＝4（b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2＝r2，∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）
∴线段s为：c＝﹣2mb+r2﹣m2，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）．
若（b，c）是线段s上一点（非端点），
则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2＝0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）
此时Δ＜0，且点
在圆C上
（3）表
线段s与线段s1的关系 m、r的取值或表达式
s所在直线平行于s1所在直线 m＝1，r≠1
s所在直线平分线段s1 r2﹣（m﹣1）2＝1，m≠1
线段s与线段s1长度相等 （1+4m2）r2＝5
【点评】本题考查复数的基本概念，直线和圆的方程的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．
19．（2024 全国）设复数z＝cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．
【考点】复数的辐角和辐角主值．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．
【解答】解法一tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当时，得或，这时都有，
得，适合题意．
（ⅱ）当时，得或，这时都有，
得，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知或．
解法二z4＝cos4θ+isin4θ．
记φ＝4θ，得．①
．②
．③
∵，，
∴
当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ），或（ⅱ），
解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）或．
【点评】本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．
20．（2024 徐汇区校级模拟）设虚数z满足|2z+15||10|．
（1）计算|z|的值；
（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【考点】共轭复数；复数的模．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15||10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值
（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z＝c+bi（c，b∈R且b≠0））可得（）i∈R，即0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R且b≠0）则
∵|2z+15||10|
∴|（2a+15）+2bi||（a+10）﹣bi|
∴
∴a2+b2＝75
∴
∴|z|
（2）设z＝c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R
则有（）i∈R
∴0
∵b≠0
∴a
由（1）知5
∴a＝±5
【点评】本题主要考查了求解复数的模．解题的关键是要熟记复数模的概念：z＝a+bi（a，b∈R）则|z|!
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