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高考数学考前冲刺押题预测 函数应用
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}
2．（2024 海南）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
3．（2024 山东）设函数f（x），则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）
A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞）
4．（2024 山东）设f（x）若f（a）＝f（a+1），则f（）＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2024 江西二模）函数f（x）＝ln（x+1）的零点所在区间是（　　）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
6．（2024 浙江）设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
7．（2024 重庆）已知函数f（x），且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，﹣2]∪（0，] B．（，﹣2]∪（0，]
C．（，﹣2]∪（0，] D．（，﹣2]∪（0，]
8．（2024 甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（　　）（1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 永丰县校级期末）已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，则a的值可能为（　　）
A．﹣6 B．8 C．9 D．12
（多选）10．（2024 漳浦县校级学业考试）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f（﹣x）＝f（x）；② x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有0；③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（　　）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）
C．若0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D． x∈R， M∈R，使得f（x）≥M
（多选）11．（2024 金坛区校级期末）已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
（多选）12．（2024 临川区校级期末）已知函数f（x）（m∈R，e为自然对数的底数），则（　　）
A．函数f（x）至多有2个零点
B．函数f（x）至少有1个零点
C．当m＜﹣3时，对 x1≠x2，总有0成立
D．当m＝0时，方程f[f（x）]＝0有3个不同实数根
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　 　．
14．（2024 天津）已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　 　．
15．（2024 江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　 　．
16．（2024 福建）函数f（x）的零点个数是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
18．（2024 江苏）设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
19．（2024 兰考县校级期末）已知函数f（x）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
20．（2024 山西一模）已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．
高考数学考前冲刺押题预测 函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【答案】D
【分析】分别作出y＝f（x）和yx的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，
以及直线yx的图象，
关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，
即为y＝f（x）和yx+a的图象有两个交点，
平移直线yx，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，
有两个交点，可得a或a，
考虑直线与y在x＞1相切，可得axx2＝1，
由Δ＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），
综上可得a的范围是[，]∪{1}．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．
2．（2024 海南）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【考点】分段函数的应用．
【专题】作图题；压轴题；数形结合．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，根据f（a）＝f（b）＝f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab＝1，
则abc＝c∈（10，12）．
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
3．（2024 山东）设函数f（x），则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）
A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【专题】创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【答案】C
【分析】令f（a）＝t，则f（t）＝2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）＝t，
则f（t）＝2t，
当t＜1时，3t﹣1＝2t，
由g（t）＝3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）＝3﹣2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）＝0，
则方程3t﹣1＝2t无解；
当t≥1时，2t＝2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
4．（2024 山东）设f（x）若f（a）＝f（a+1），则f（）＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图象与性质．
【答案】C
【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．
【解答】解：当a∈（0，1）时，f（x），若f（a）＝f（a+1），可得2a，
解得a，则：f（）＝f（4）＝2（4﹣1）＝6．
当a∈[1，+∞）时．f（x），若f（a）＝f（a+1），
可得2（a﹣1）＝2a，显然无解．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
5．（2024 江西二模）函数f（x）＝ln（x+1）的零点所在区间是（　　）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】函数f（x）＝ln（x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】解：∵f（e﹣1）＝lne10，
f（2）＝ln3﹣1＞lne﹣1＝0，即f（e﹣1） f（2）＜0，
∴函数f（x）＝ln（x+1）的零点所在区间是 （e﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．
6．（2024 浙江）设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜﹣1，b＜0 B．a＜﹣1，b＞0 C．a＞﹣1，b＜0 D．a＞﹣1，b＞0
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；函数思想；方程思想；数形结合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【答案】C
【分析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
y′＝x2﹣（a+1）x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；
当a+1＞0，即a＞﹣1时，令y′＞0得x∈（a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点 函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如右图：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．
∴（a+1）3＜b＜0，﹣1＜a＜1
故选：C．
【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．
7．（2024 重庆）已知函数f（x），且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，﹣2]∪（0，] B．（，﹣2]∪（0，]
C．（，﹣2]∪（0，] D．（，﹣2]∪（0，]
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】A
【分析】由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），
分别作出函数f（x）和y＝h（x）＝m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）＝1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m，
当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，
此时，
即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，
当m＝0时，x，只有1解，
当m≠0，由Δ＝9+4m＝0得m，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，
则m≤﹣2或0＜m，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
8．（2024 甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（　　）（1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；方程思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】把L＝4.9代入L＝5+lgV中，直接求解即可．
【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1，
解得V＝10﹣0.10.8，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
故选：C．
【点评】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 永丰县校级期末）已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，则a的值可能为（　　）
A．﹣6 B．8 C．9 D．12
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】结合题意可先对a进行分类：分a≤0及a＞0两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解．
【解答】解：由题意可得a≤0时，显然不成立；
当a＞0时，令f（x）＝t，
则由f（t）＝0得，t1＝﹣2a，t2＝0，t3＝a，
又方程f（f（x））＝0有8个不同的实根，
由题意结合可得，即，解得a＞8，
故选：CD．
【点评】本题主要考查了函数零点性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档试题．
（多选）10．（2024 漳浦县校级学业考试）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f（﹣x）＝f（x）；② x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有0；③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（　　）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）
C．若0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D． x∈R， M∈R，使得f（x）≥M
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可．
【解答】解：定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f（﹣x）＝f（x）；说明函数是偶函数；
② x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有0；说明函数在（0，+∞）是增函数；
③f（﹣1）＝0．
所以f（3）＜f（4）＝f（﹣4）成立，所以A不正确；
若f（m﹣1）＜f（2），可得|m﹣1|＜2，则m∈（﹣1，3），所以B不正确；
若y是奇函数，0，f（﹣1）＝0．可得x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），所以C正确；
因为函数是连续函数，又是偶函数，在x＞0时是增函数，所以 x∈R， M∈R，使得f（x）≥M，正确；
故选：CD．
【点评】本题考查函数的性质的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．
（多选）11．（2024 金坛区校级期末）已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】作出函数的图象分析出x1+x2＝﹣2，﹣2＜x1＜﹣1，x3x4＝1；再对答案进行分析．
【解答】解：由函数f（x），作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝﹣2，﹣2＜x1＜﹣1；
当y＝1时，|log2x|＝1，有 ；
所以；
由f（x3）＝f（x4）有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3+log2x4＝0；
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）∈（0，1）；
故选：BCD．
【点评】本题考查分段函数的性质，对数函数的性质，对数的运算，根据图象进行等价转化为二次函数进行求解的思想，属于中档题．
（多选）12．（2024 临川区校级期末）已知函数f（x）（m∈R，e为自然对数的底数），则（　　）
A．函数f（x）至多有2个零点
B．函数f（x）至少有1个零点
C．当m＜﹣3时，对 x1≠x2，总有0成立
D．当m＝0时，方程f[f（x）]＝0有3个不同实数根
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】作出函数y＝ex﹣1和函数y＝﹣x2﹣4x﹣4的图象，观察图象逐项分析即可得出答案．
【解答】解：作出函数y＝ex﹣1和函数y＝﹣x2﹣4x﹣4的图象如图所示，
当m＞0时，函数f（x）只有1个零点，
当﹣2＜m≤0时，函数f（x）有2个零点，
当m≤﹣2时，函数f（x）只有1个零点，故选项AB正确；
当m＜﹣3时，函数f（x）为增函数，故选项C正确；
当m＝0时，f（t）＝0，t1＝﹣2，t2＝0，当f（x）＝t1＝﹣2时，该方程有两个解，
当f（x）＝t2＝0时，该方程有两个解，所以方程f[f（x）]＝0有4个不同的解，故选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题以分段函数为背景，考查函数的零点，单调性，函数的图象与性质，考查推理论证能力，考查数形结合思想，考查直观想象，数学抽象，数学运算等核心素养，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　（4，8）　．
【考点】分段函数的应用．
【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，
得x2+ax+a＝0，
得a（x+1）＝﹣x2，
得a，
设g（x），则g′（x），
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，
当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，
得x2﹣ax+2a＝0，
得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，
当x≠2时，a
设h（x），则h′（x），
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，
要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，
则由图象知4＜a＜8，
故答案为：（4，8）
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键．
14．（2024 天津）已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　（0，1）∪（9，+∞）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，作出函数y＝f（x），y＝a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，
作出函数y＝f（x），y＝g（x）＝a|x﹣1|的图象，
当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，
则a＞0，此时g（x）＝a|x﹣1|，
当﹣3＜x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，g（x）＝﹣a（x﹣1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时﹣x2﹣3x＝﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a＝0，
则由Δ＝（3﹣a）2﹣4a＝0，即a2﹣10a+9＝0，解得a＝1或a＝9，
当a＝9时，g（x）＝﹣9（x﹣1），g（0）＝9，此时不成立，∴此时a＝1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）＝﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）＝g（x）有两个不同的零点即可，
即x2+3x＝a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a＝0，
则由Δ＝（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，
若x＝1，则4＝0不成立，
故x≠1，
则方程等价为a||＝|x﹣15|，
设g（x）＝x﹣15，
当x＞1时，g（x）＝x﹣15，当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，
当x＜1时，g（x）＝x﹣155﹣4＝1，当且仅当﹣（x﹣1），即x＝﹣1时取等号，
则|g（x）|的图象如图：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，
则满足a＞9或0＜a＜1，
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）
【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
15．（2024 江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　（0，）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y＝a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．
16．（2024 福建）函数f（x）的零点个数是　2　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝0得x2﹣2＝0，解得x或x（舍去），
当x＞0时，由f（x）＝0得2x﹣6+lnx＝0，即lnx＝6﹣2x，
作出函数y＝lnx和y＝6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．
故函数f（x）的零点个数为2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）＝0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】压轴题；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；
（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．
【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200 πrh元，
底面积成本为160πr2元，
∴蓄水池的总建造成本为200 πrh+160πr2元
即200 πrh+160πr2＝12000π
∴h（300﹣4r2）
∴V（r）＝πr2h＝πr2 （300﹣4r2）（300r﹣4r3）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函数V（r）的定义域为（0，5）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）（300r﹣4r3），（0＜r＜5）
可得V′（r）（300﹣12r2），（0＜r＜5）
∵令V′（r）（300﹣12r2）＝0，则r＝5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r＝5，h＝8时该蓄水池的体积最大
【点评】本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．
18．（2024 江苏）设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）f（0）≥1 ﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，
（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．
【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1，
∵|a|＞0，∴﹣a＞0
∴ a≤﹣1
（2）当x≥a时，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，
如图所示：
当x≤a时，f（x）＝x2+2ax﹣a2，
∴．
综上所述：．
（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，Δ＝4a2﹣12（a2﹣1）＝12﹣8a2
当a或a时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当a时，Δ＞0，得：
即
进而分2类讨论：
当a时，a，
此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当a时，a；
此时不等式组的解集为[，+∞）．
当x，a；
此时不等式组的解集为（a，+∞）．
综上可得，
当a∈（﹣∞，]∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
当a∈（，）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当a∈[，]时，不等式组的解集为[，+∞）．
【点评】本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．
19．（2024 兰考县校级期末）已知函数f（x）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可．
（2）利用数形结合，以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣mx＝﹣f（x）＝﹣（﹣x2+2x）
从而m＝2．
（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，
则﹣1＜a﹣2≤1
∴1＜a≤3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．
20．（2024 山西一模）已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．
【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．
（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）＝t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．
（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）＝1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，∴f′（x）＝axlna+2x﹣lna＝2x+（ax﹣1）lna，
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）＝0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故f′（x）＝0有唯一解x＝0．
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 递减 极小值 递增
又函数y＝|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）＝t±1有三个根，
即y＝f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y＝t±1共有三个交点．
不妨取a＞1，y＝f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）＝1也是最小值，
当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t﹣1＜t+1，∴f（x）＝t+1有两个根，f（x）＝t﹣1只有一个根．
∴t﹣1＝fmin（x）＝f（0）＝1，∴t＝2．
（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|＝（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＝f（0）＝1，
（f（x））max＝max{f（﹣1），f（1）}，
而，
记，因为（当t＝1时取等号），
所以 在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）＝0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．
综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．
②当0＜a＜1时，由，
综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．
【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．
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