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高考数学考前冲刺押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共8小题）
1．（2024 佳木斯校级期末）已知空间向量（1，0，1），（1，1，n），且 3，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 怀仁县校级期末）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若xyz，则（x，y，z）为（　　）
A．（，，） B．（，，）
C．（，，） D．（，，）
3．（2024 朝阳区校级期末）已知，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 宿迁期末）在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（　　）
A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）
5．（2024 衡阳县校级期末）已知，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 平凉期中）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（　　）
A．四点O、A、B、C必共面
B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面
D．五点O、P、A、B，C必共面
7．（2024 端州区校级期中）如图所示，四棱锥P﹣OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设，，，E是PC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024 怀柔区期末）若点A（1，2，3），点B（4，﹣1，0），且，则点C的坐标为（　　）
A．（3，0，1） B．（2，1，2）
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 兰山区校级期末）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（　　）
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
（多选）10．（2024 桥西区校级期中）给出下列命题，其中正确命题有（　　）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量∥，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知向量组{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}也是空间的一个基底
（多选）11．（2024 江阴市校级期末）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为（1，2，2）
（多选）12．（2024 龙川县校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．空间中任意两非零向量，共面
B．直线的方向向量是唯一确定的
C．若λμ（λ，μ∈R），则A，B，C，D四点共面
D．在四面体ABCD中，E，F为CB，CD中点，G为EF中点，则
三．填空题（共4小题）
13．（2024 宁德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），，则的坐标为 　 　．
14．（2024 温州期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴的对称点为A'（﹣1，﹣2），那么，在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为 　 　，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝　 　．
15．（2024 台湾开学）H：x﹣y+z＝2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则　 　为L的方向向量．
16．（2024 岳麓区校级期末）已知{，，}是空间的一个单位正交基底，向量23，{，，}是空间的另一个基底，用基底{，，}表示向量　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 乐山期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且点F为BC'与B'C的交点，点E在线段AC'上，有AE＝2EC'．
（1）求AC'的长；
（2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值．
18．（2024 大连月考）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
19．（2024 黄梅县校级月考）如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM：GA＝1：3，设，，，试用，，表示，．
20．（2024 景洪市校级期中）（1）如图所示，在棱长为2的正方体OABC﹣A1B1C1D1中，A1C1交B1D1于P．分别写出O、A、B、C、A1、B1、C1、D1、P的坐标．
（2）在空间直角坐标系中，A（2，3，5）、B（4，1，3），求A，B的中点P的坐标及A，B间的距离|AB|．
高考数学考前冲刺押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 佳木斯校级期末）已知空间向量（1，0，1），（1，1，n），且 3，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据 3求出n的值，再计算cos，求出与的夹角．
【解答】解：∵ 1+0+n＝3，
解得n＝2；
又||，（1，1，2），
∴cos，，
且，∈[0，π]，
∴与的夹角为．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的夹角计算问题，是基础题．
2．（2024 怀仁县校级期末）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若xyz，则（x，y，z）为（　　）
A．（，，） B．（，，）
C．（，，） D．（，，）
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．
【专题】计算题；待定系数法．
【答案】A
【分析】由题意推出，使得它用，，，来表示，从而求出x，y，z的值，得到正确选项．
【解答】解：∵（）
[（）][（）+（）]
，
而xyz，∴x，y，z．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的加减法，考查待定系数法，是基础题．
3．（2024 朝阳区校级期末）已知，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量运算的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】B
【分析】由x+2＝3，解得x＝1，从而cos，由此能求出向量与的夹角．
【解答】解：∵，，且，
∴x+2＝3，解得x＝1，
∴cos，
∴向量与的夹角为．
故选：B．
【点评】本题考查向量夹角的求法，考查向量数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024 宿迁期末）在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（　　）
A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）
【考点】空间向量运算的坐标表示；空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量的坐标表示，求出点的坐标，再求出线段AB的中点坐标．
【解答】解：空间直角坐标系O﹣xzy中，点A（3，﹣1，0），所以（3，﹣1，0），
又向量，且，
所以（7，9，﹣6），即点B（7，9，﹣6）；
所以线段AB的中点坐标为（，，），即（5，4，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与线段中点坐标公式，是基础题．
5．（2024 衡阳县校级期末）已知，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量的夹角公式，求出向量与的夹角的余弦值，可得向量与的夹角．
【解答】解：∵，，且x+0+2，
∴x＝1，（1，1，2）．
设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π），
则cosθ，
∴θ，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的夹角公式，属于基础题．
6．（2024 平凉期中）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（　　）
A．四点O、A、B、C必共面
B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面
D．五点O、P、A、B，C必共面
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】方程思想；平面向量及应用；空间向量及应用．
【答案】B
【分析】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．
【解答】解：由，1，可得四点P、A、B、C必共面．
故选：B．
【点评】本题考查了共面向量基本定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（2024 端州区校级期中）如图所示，四棱锥P﹣OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设，，，E是PC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】方程思想；空间位置关系与距离；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量加法法则得（），由此能求出结果．
【解答】解：∵四棱锥P﹣OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，
，，，E是PC的中点，
∴
（）
（）
．
故选：B．
【点评】本题考查向量的求法，考查向量加法定理等基础知识，考查数形结合思想等数学核心素养，是基础题．
8．（2024 怀柔区期末）若点A（1，2，3），点B（4，﹣1，0），且，则点C的坐标为（　　）
A．（3，0，1） B．（2，1，2）
C． D．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，设C（x，y，z），由空间向量的坐标计算公式可得关于x、y、z的方程组，解可得x、y、z的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设C（x，y，z），
则（x﹣1，y﹣2，z﹣3），（4﹣x，﹣1﹣y，﹣z），
又由，则，解可得，即点C的坐标为（3，0，1），
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的坐标计算，注意空间向量的坐标计算公式，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 兰山区校级期末）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（　　）
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析与判断，即可得出正确的答案．
【解答】解：对于A，若，则，的夹角θ满足cosθ＜0，
所以θ是钝角或θ＝π，所以选项A错误；
对于B，因为 1﹣2+3＝0，所以⊥，选项B正确；
对于C，根据向量的数量积定义知， 时，不一定成立，选项C错误；
对于D，因为λμ，所以向量、、不共面，
，，可以作为空间中的一组基底，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了空间向量的有关概念和运算律，也考查了分析与判断能力，是基础题．
（多选）10．（2024 桥西区校级期中）给出下列命题，其中正确命题有（　　）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量∥，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知向量组{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}也是空间的一个基底
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】直接利用向量的共线，向量的基底的定义判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，故A正确；
对于B：已知向量∥，则不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故B错误；
对于C：由于点A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面，故C正确；
对于D：已知向量组{，，}是空间的一个基底，若，则{，，}，即不共面，则可以是空间的一个基底，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的共线，向量的基底的定义，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．
（多选）11．（2024 江阴市校级期末）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为（1，2，2）
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面的法向量；命题的真假判断与应用；平面向量的投影向量．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用．
【答案】CD
【分析】选项A，因为，直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，直线l可能在平面α内，也可能与平面α平行；选项B，根据空间向量四点共面条件即可判断B；选项C，根据平面向量基底的定义可判断C；选项D，根据投影向量的公式即可判断D．
【解答】解：选项A，由已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
所以，所以，所以直线l α或l∥α，故A错误；
选项B，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，P，A，B，C四点不共面，故B错误；
选项C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；
选项D，由，，在上的投影向量为，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了空间向量的概念及基本运算，属于中档题．
（多选）12．（2024 龙川县校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．空间中任意两非零向量，共面
B．直线的方向向量是唯一确定的
C．若λμ（λ，μ∈R），则A，B，C，D四点共面
D．在四面体ABCD中，E，F为CB，CD中点，G为EF中点，则
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】由空间中任意两个向量都共面判断A；由直线的方向向量定义判断B；由共面定理的推理判断C；根据向量的平行四边形去则判断D．
【解答】解：对于A，空间中任意两个向量都共面，故A正确；
对于B，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B错误；
对于C，因为，所以，因为（1﹣λ﹣μ）+λ+μ＝1，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，因为E，F为CB，CD中点，G为EF中点，所以，，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查空间向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 宁德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），，则的坐标为 　（1，1，2）　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1，1，2）．
【分析】直接根据空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵A（1，2，3），B（4，5，9），
∴（3，3，6），
∴（1，1，2），
故答案为：（1，1，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．
14．（2024 温州期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴的对称点为A'（﹣1，﹣2），那么，在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为 　（﹣1，﹣2，﹣3）　，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝　　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，再由两点间距离公式能求出|B'C'|．
【解答】解：在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称轴点B'坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），
若点C（1，﹣1，2）关于xOy平面的对称点为点C'，
则C′（1，﹣1，﹣2），
∴|B'C'|．
故答案为：（﹣1，﹣2，﹣3）；．
【点评】本题考查对称点的坐标的求法，考查对称点的性质、两点间距离公式的求法等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是基础题．
15．（2024 台湾开学）H：x﹣y+z＝2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则　（2，﹣1，﹣3）　为L的方向向量．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据所给的平面的方程，写出平面的一个法向量，设出直线的一个方向向量，根据两个向量之间的关系得到两个向量的数量积等于0，求出未知数，得到要求的直线的方向向量．
【解答】解：∵x﹣y+z＝2为坐标空间中一平面
∴平面的一个法向量是
设直线L的方向向量为
∵L在H上，
∴与平面H的法向量垂直
故
∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，
∴
故
解得b＝﹣1，c＝﹣3
故答案为：（2，﹣1，﹣3）
【点评】本题考查空间向量运算的坐标表示，本题解题的关键是写出平面的法向量，然后根据两个向量之间的关系得到结论．
16．（2024 岳麓区校级期末）已知{，，}是空间的一个单位正交基底，向量23，{，，}是空间的另一个基底，用基底{，，}表示向量　（）（）+3　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（）（）+3．
【分析】设x（）+y（）+z，再利用空间向量的相等，列出方程组求解即可
【解答】解：设x（）+y（）+z，
则（x+y）（x﹣y）z，
∵23，
∴，∴，
∴（）（）+3，
故答案为：（）（）+3．
【点评】本题考查了空间向量基本定理，向量相等的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 乐山期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且点F为BC'与B'C的交点，点E在线段AC'上，有AE＝2EC'．
（1）求AC'的长；
（2）将用基向量来进行表示．设xyz，求x，y，z的值．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】数形结合；综合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1），利用数量积运算性质即可得出．
（2），再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出．
【解答】解：（1），
85，
∴．
（2）
，
∴．
【点评】本题考查了数量积运算性质、平行六面体、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（2024 大连月考）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）．
（2），．
【分析】（1）利用向量运算法则直接求解．
（2）利用向量运算法则，求出，再由||2（）2，计算即可．
【解答】解：（1），
∴．
（2）
，
∴，
∴||2（）2（1+1+1+1+2），
∴．
【点评】本题考查向量的求法，考查向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（2024 黄梅县校级月考）如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM：GA＝1：3，设，，，试用，，表示，．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】数形结合；数形结合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据向量的加减法计算即可．
【解答】解：
（）
；
．
【点评】本题主要考查向量的加减法和几何表示，属于基础题．
20．（2024 景洪市校级期中）（1）如图所示，在棱长为2的正方体OABC﹣A1B1C1D1中，A1C1交B1D1于P．分别写出O、A、B、C、A1、B1、C1、D1、P的坐标．
（2）在空间直角坐标系中，A（2，3，5）、B（4，1，3），求A，B的中点P的坐标及A，B间的距离|AB|．
【考点】空间向量运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知中正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是正方形A1B1C1D1的中心点，易得到O、A、B、C、A1、B1、C1、D1、P的坐标；
（2）根据已知中，A，B两点的坐标，代入中点坐标公式和两点之间的距离公式，可得答案．
【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2
又∵P是正方形A1B1C1D1的中心点，
∴O（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）
A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），P（1，1，2）
（2）∵A（2，3，5）、B（4，1，3），
∴A，B的中点P的坐标为（3，2，4）
∴|AB|2
【点评】本题考查的知识点是空间两点之间的距离，空间点的坐标表示，中点公式，难度不大，属于基础题．
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