资源简介

高考数学考前冲刺押题预测 空间向量及其运算
一．选择题（共8小题）
1．（2024 山西二模）已知（﹣3，2，5），（1，x，﹣1），且 2，则x的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024 锦州期末）如果向量（2，﹣1，3），（﹣1，4，2），（1，﹣1，m）共面，则实数m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
3．（2024秋 天津校级期中）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，用，，表示，则等于（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
4．（2024 大东区校级期末）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 西山区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，N是BC的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 福州期末）已知（λ+1，0，1），（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2024 成都期中）已知向量（1，2，0），（0，2，1），，的夹角为θ，则sinθ＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 许昌期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，设，，，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 兰州期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是（2，4，x），（2，y，2），若||＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
（多选）10．（2024 苏州期末）已知向量（1，2，3），（3，0，﹣1），（﹣1，5，﹣3），下列等式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（2024 新化县校级期末）已知空间中三点A（2，1，﹣1），B（1，0，2），C（0，3，﹣1），则（　　）
A． B．AB⊥AC
C．cos∠ABC D．A，B，C三点共线
（多选）12．（2024 福州期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，，，．若，，则（　　）
A． B．
C．A，P，D′三点共线 D．A，P，M，D四点共面
三．填空题（共4小题）
13．（2024 上海）已知向量（1，0，2），（2，1，0），则与的夹角为　 　．
14．（2024 未央区校级期末）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝　 　．
15．（2024 吉林校级二模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝2，3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为　 　．
16．（2024 松江区二模）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若xyz，则x+y+z＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 太原期末）如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且λ，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求DE的最小值．
18．（2024 合肥期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若∥，求；
（Ⅱ）若⊥，求cos，的值．
19．（2024 闵行区校级期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，3，4，设，，．
（1）试用、、表示；
（2）求MN的长度．
20．（2024 静安区二模）设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
（1）求向量与的数量积；
（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
高考数学考前冲刺押题预测 空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 山西二模）已知（﹣3，2，5），（1，x，﹣1），且 2，则x的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】空间向量及应用．
【答案】B
【分析】由题意可得 3×1+2x+5×（﹣1）＝2，解方程可得．
【解答】解：∵（﹣3，2，5），（1，x，﹣1），
∴ 3×1+2x+5×（﹣1）＝2，
解得x＝5
故选：B．
【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属基础题．
2．（2024 锦州期末）如果向量（2，﹣1，3），（﹣1，4，2），（1，﹣1，m）共面，则实数m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量共面，可知存在x，y，使得，列出方程组，求出实数m的值．
【解答】解：∵向量（2，﹣1，3），（﹣1，4，2），（1，﹣1，m）共面，
∴存在x，y，使得，
∴（2，﹣1，3）＝（﹣x+y，4x﹣y，2x+my），
∴，解得x，y，m＝1．
∴实数m的值是1．
故选：B．
【点评】本题考查实数值的求法，共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024秋 天津校级期中）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，用，，表示，则等于（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：∵点M为AB的中点，∴（），
∵点N为OC的中点，∴，
∴（）．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题．
4．（2024 大东区校级期末）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
【解答】解：．
故选：A．
【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
5．（2024 西山区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，N是BC的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合向量的加法法则和空间向量基本定理，即可求解．
【解答】解：∵六面体ABCD﹣A1B1C1D1为平行六面体，
∴，
又∵，，，N是BC的中点，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了向量的线性运算，以及空间向量基本定理的应用，属于基础题．
6．（2024 福州期末）已知（λ+1，0，1），（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据可得出，然后即可得出，从而解出λ，μ即可．
【解答】解：∵∥，
∴设，
∴（3，2μ﹣1，2）＝（kλ+k，0，k），
∴，解得，
∴λ+μ＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
7．（2024 成都期中）已知向量（1，2，0），（0，2，1），，的夹角为θ，则sinθ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用向量夹角数量积公式cosθ先求出cosθ，再由同角三角函数关系式求出sinθ．
【解答】解：∵向量（1，2，0），（0，2，1），，的夹角为θ，
∴cosθ，
∴sinθ．
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的夹角的正弦值的求法，考查向量夹角数量积公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8．（2024 许昌期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用．
【答案】A
【分析】根据空间向量的几何运算、向量的三角形法则可得结果．
【解答】解：根据向量的三角形法则得到
．
故选：A．
【点评】本题考查考查空间向量以及线性运算，考查空间向量的几何运算、向量的三角形法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 兰州期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是（2，4，x），（2，y，2），若||＝6且l1⊥l2，则x+y的值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】由||＝6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y的值．
【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是（2，4，x），（2，y，2），||＝6且l1⊥l2，
∴，解得，
∴或，
∴x+y＝1或x+y＝﹣3．
故选：AC．
【点评】本题考查两数和的求法，考查向量的模、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（2024 苏州期末）已知向量（1，2，3），（3，0，﹣1），（﹣1，5，﹣3），下列等式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】综合法；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A．左边为向量，右边为实数，显然不相等．
B．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．
C．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．
D．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．
【解答】解：A．左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B．左边＝（4，2，2） （﹣1，5，﹣3）＝0，右边＝（1，2，3） （2，5，﹣4）＝2+10﹣12＝0，∴左边＝右边，因此正确．
C．（3，7，﹣1），左边＝32+72+（﹣1）2＝59，右边＝12+22+32+32+0+（﹣1）2+（﹣1）2+52+（﹣3）2＝59，∴左边＝右边，因此正确．
D．由C可得：左边；∵（﹣1，﹣3，7），∴||，∴左边＝右边，因此正确．
综上可得：BCD正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了向量运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）11．（2024 新化县校级期末）已知空间中三点A（2，1，﹣1），B（1，0，2），C（0，3，﹣1），则（　　）
A． B．AB⊥AC
C．cos∠ABC D．A，B，C三点共线
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据题意，求出向量、、的坐标，由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，空间中三点A（2，1，﹣1），B（1，0，2），C（0，3，﹣1），
则（﹣1，﹣1，3），（﹣2，2，0），（﹣1，3，﹣3），
依次分析选项：
对于A，（﹣1，﹣1，3），则||，A正确；
对于B， 2﹣2+0＝0，则AB⊥AC，B正确；
对于C，cos∠ABC＝cos，，C错误；
对于D，由B的结论，AB⊥AC，则A、B、C不共线，D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查空间向量的数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
（多选）12．（2024 福州期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，，，．若，，则（　　）
A． B．
C．A，P，D′三点共线 D．A，P，M，D四点共面
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的加法，共线性量的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，，，．若，，
对于A：由向量的线性运算，则，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由平行六面体知：A，P，C′三点共线，故C错误；
对于D：由于点P和点M为CA′和CD′的中点，故PM∥A′D′，由于A′D′∥AD，故PM∥AD，所以A，P，M，D四点共面，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法，共线性量的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 上海）已知向量（1，0，2），（2，1，0），则与的夹角为　　．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】转化思想；平面向量及应用．
【答案】．
【分析】直接利用向量的夹角公式求出结果．
【解答】解：向量（1，0，2），（2，1，0），
则，，
所以：cos，
故：与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
14．（2024 未央区校级期末）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝　　．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．
【解答】解：由题意得，，且P，A，B，C四点共面，
∴t＝1
∴t，
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量基本定理，考查用向量表示四点共面的条件，属于简单题．
15．（2024 吉林校级二模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝2，3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为　2　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知得，，从而由（） （）＝﹣3，得|（）|＝2，从而，由此入手能求出的最小值．
【解答】解：∵在三棱锥D﹣ABC中，AB＝2， 3，设，，
∴，，
∴（） （）
3，
∴3，
又，
∴|（）|＝2，①
∴，②
将①两边平方得，
∴，
∴，
代入②中，得，
∴1
＝1（），
∴，
又c2，，，
∴2．
∴的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形中关于边长的代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．
16．（2024 松江区二模）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若xyz，则x+y+z＝　2　．
【考点】空间向量及其线性运算；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】在平行六面体中把向量用表示，然后利用向量相等，得到x，y，z的值．
【解答】解：因为
，
又xyz，
所以，
则x+y+z＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间向量基本定理的理解和应用，考查了化简运算能力与转化回归能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 太原期末）如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且λ，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求DE的最小值．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，根据题意，连接OD，CD，由空间向量的运算方法可得λ（），即可得答案；
（2）根据题意，由正三棱锥的几何结构分析可得|OD|，且cos∠DOE，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，变形可得||2＝λ2﹣λ，由二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，
且λ，记，，．
∴λ（）＝λ，
（2）根据题意，点D是棱AB的中点，则|OD|，且cos∠DOE，
||2＝||22﹣2 2＝（λ）2﹣2×λ×1cos∠DOEλ2﹣λ（λ）2，
则当λ时，||2取得最小值，
则||的最小值为．
【点评】本题考查空间向量的计算，涉及空间向量模的计算，属于基础题．
18．（2024 合肥期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若∥，求；
（Ⅱ）若⊥，求cos，的值．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；
（Ⅱ）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1），
因为∥，
所以存在实数k，使得，
所以，解得x＝1，
则；
（Ⅱ）因为⊥，
则，解得x＝﹣2，
所以，
故cos，．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共线定理的应用，向量数量积的坐标运算以及空间向量夹角公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
19．（2024 闵行区校级期末）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，3，4，设，，．
（1）试用、、表示；
（2）求MN的长度．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（）（），由此能求出结果．
（2）由．AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，由此能求出MN的长度．
【解答】解：（1）
（）（）
（）（）
．
（2）∵，
∴（）2
．
∴MN的长度为||．
【点评】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2024 静安区二模）设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
（1）求向量与的数量积；
（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在给定空间直角坐标系中，求出，，由此能求出向量与的数量积．
（2）若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出点M，N的坐标．
【解答】解：（1）在给定空间直角坐标系中，
相关点及向量坐标为C1（0，0，2），F（2，2，1），（2，2，﹣1），
（2分）…（4分
所以． …（6分）
（2）存在唯一直线MN，MN⊥平面ABCD． …（8分）
若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，
所以设（10分）
又因为点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，
所以，即，…（12分）
（a﹣2，a，m﹣2）＝（﹣λ，2λ，﹣2λ），（a，a，n﹣2）＝（2t，2t，﹣t），
所以且，解得
所以点M，N的坐标分别是，． …（14分）
【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑