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高考数学考前冲刺押题预测 空间直角坐标系
一．选择题（共8小题）
1．（2024 南阳月考）点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，﹣3）
2．（2024 临夏市校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 白沙县校级期中）点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（　　）
A．（﹣3，﹣2，﹣1） B．（﹣3，2，1）
C．（3，﹣2，1） D．（3，2，﹣1）
4．（2024 高安市校级期末）已知空间中点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（　　）
A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或4
5．（2024 达州期末）如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，，O是AB中点，面PAB⊥面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O平行于AD的直线为y轴、以直线OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，E为线段PD中点，则点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．（﹣1，2，2）
6．（2024春 秦州区校级月考）若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
7．（2024 陕西期末）点P（﹣2，0，3）位于（　　）
A．y轴上 B．z轴上
C．xoz三平面内 D．yoz平面内
8．（2024 广州期末）已知空间直角坐标系中两点A（6，0，1）、B（3，5，7），则|AB|＝（　　）
A．6 B．7 C． D．5
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 台山市校级期中）关于点P（1，﹣1，2），下列说法正确的是（　　）
A．点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，﹣1，﹣2）
B．点P关于x轴的对称点P2的坐标为（﹣1，﹣1，2）
C．点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为（﹣1，﹣1，2）
D．点P关于y轴的对称点P4的坐标为（﹣1，﹣1，﹣2）
（多选）10．（2024 德化县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，设（1，2，a），（2，3，4），若||，则实数a的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
（多选）11．（2024 红安县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，以下结论正确的是（　　）
A．点A（1，3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣3，4）
B．点P（﹣1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（﹣1，2，﹣3）
C．已知点A（﹣3，1，5）与点B（4，3，1），则AB的中点坐标是（，2，3）
D．两点M（﹣1，1，2），N（1，3，3）间的距离为3
（多选）12．（2024 西湖区校级期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（﹣1，2，3），B（0，﹣2，4），C（2，1，2），若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为（　　）
A．（﹣12，﹣3，0） B．（7，2，﹣4）
C．（6，3，5） D．（﹣5，﹣1，1）
三．填空题（共4小题）
13．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（2，3，4）在平面xOy内的射影的坐标为　 　；点P（2，3，4）关于平面xOy的对称点的坐标为　 　．
14．（2024 晋城一模）已知空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体P﹣ABC的棱长为2，点A（m，0，0），B（0，n，0），mn≠0，则|OP|的取值范围为　 　．
15．（2024 东湖区校级期末）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是　 　．
16．（2024 武邑县校级月考）已知A（﹣2，3，4），在y轴上求一点B，使|AB|＝3，则点B的坐标为　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 枣阳市月考）已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），求△ABC的面积．
18．（2024 黄州区校级期中）如图在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz，
（I）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标并写出P关于平面Oxz的对称点P′的坐标；
（Ⅱ）线段C1D中点为M，求点M到点P的距离．
19．（2024 武平县校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°∠BAA1＝∠DAA1＝60°E是DD的中点，设，，．
（Ⅰ）用，，表示；
（Ⅱ）求BE的长．
20．（2024 东莞市校级期中）（1）在z轴上求与点A（﹣4，1，7）和B（3，5，﹣2）等距离的点的坐标．
（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，﹣2，﹣2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．
高考数学考前冲刺押题预测 空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 南阳月考）点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，﹣3）
【考点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，
则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数，
∴点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（1，﹣2，﹣3）
故选：C．
【点评】本题考查空间中点的坐标，本题解题的关键是理解空间中的点关于横轴，纵轴和竖轴对称的特点，本题是一个基础题．
2．（2024 临夏市校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．
【答案】B
【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．
【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），
则|AB|．
故选：B．
【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．
3．（2024 白沙县校级期中）点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（　　）
A．（﹣3，﹣2，﹣1） B．（﹣3，2，1）
C．（3，﹣2，1） D．（3，2，﹣1）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】D
【分析】根据点A（a，b，c）关于xOy平面的对称点为A′（a，b，﹣c），写出即可．
【解答】解：点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为A′（3，2，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，是基础题．
4．（2024 高安市校级期末）已知空间中点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（　　）
A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或4
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离．
【答案】A
【分析】根据空间中两点间的距离公式，列出方程求出实数x的值．
【解答】解：点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，
∴2，
化简得（x﹣2）2＝16，
解得x＝6或x＝﹣2，
∴实数x的值是6或﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式与应用问题，是基础题目．
5．（2024 达州期末）如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，，O是AB中点，面PAB⊥面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O平行于AD的直线为y轴、以直线OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，E为线段PD中点，则点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．（﹣1，2，2）
【考点】空间直角坐标系．
【专题】数形结合．
【答案】B
【分析】由题意直接写出P的坐标，利用四边形ABCD是正方形以及中点坐标公式分别求出D、E的坐标．
【解答】解：如图所示，△PAB是正三角形，P点的坐标为（0，0，2），
因为四边形ABCD是正方形，，得D（﹣2，4，0），
又P（0，0，2），E为PD的中点，
由中点坐标公式可得E（﹣1，2，）．
故选：B．
【点评】本题考查空间点的坐标的求法，中点坐标公式的应用，对称知识的应用，考查计算能力．
6．（2024春 秦州区校级月考）若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
【考点】空间直角坐标系．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】C
【分析】设D点为边BC的中点，连接AD．利用中点坐标公式即可得出点D的坐标，利用两点间的距离公式即可得出|AD|．
【解答】解：如图所示．设D点为边BC的中点，连接AD．
∵A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），
∴D（1，1，0）．
∴|AD|．
故选：C．
【点评】熟练掌握中点坐标公式、两点间的距离公式是解题的关键．
7．（2024 陕西期末）点P（﹣2，0，3）位于（　　）
A．y轴上 B．z轴上
C．xoz三平面内 D．yoz平面内
【考点】空间直角坐标系．
【专题】数形结合．
【答案】C
【分析】由所给坐标的特点，它的第二个坐标为0知：它必在某一个坐标平面内，结合空间坐标的意义即可作出判断．
【解答】解：∵P（﹣2，0，3）的第二个坐标为0，
故点P到xoz三平面内的距离为0，
∴点P在xoz三平面内．
故选：C．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系的应用、空间直角坐标中点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
8．（2024 广州期末）已知空间直角坐标系中两点A（6，0，1）、B（3，5，7），则|AB|＝（　　）
A．6 B．7 C． D．5
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用两点间距离公式直接求解．
【解答】解：∵空间直角坐标系中两点A（6，0，1）、B（3，5，7），
∴|AB|．
故选：C．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 台山市校级期中）关于点P（1，﹣1，2），下列说法正确的是（　　）
A．点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，﹣1，﹣2）
B．点P关于x轴的对称点P2的坐标为（﹣1，﹣1，2）
C．点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为（﹣1，﹣1，2）
D．点P关于y轴的对称点P4的坐标为（﹣1，﹣1，﹣2）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据“关于谁对称，谁不变”的规律结合选项逐项分析即可求出结果．
【解答】解：点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，﹣1，﹣2），故A正确；
点P关于x轴的对称点P2的坐标为（1，1，﹣2），故B错误；
点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为（﹣1，﹣1，2），故C正确；
点P关于y轴的对称点P4的坐标为（﹣1，﹣1，﹣2），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
（多选）10．（2024 德化县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，设（1，2，a），（2，3，4），若||，则实数a的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：（1，2，a），（2，3，4），
则，
∵||，
∴1+1+（4﹣a）2＝3，解得a＝3或5．
故选：CD．
【点评】本题主要考查空间向量模公式，属于基础题．
（多选）11．（2024 红安县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，以下结论正确的是（　　）
A．点A（1，3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣3，4）
B．点P（﹣1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（﹣1，2，﹣3）
C．已知点A（﹣3，1，5）与点B（4，3，1），则AB的中点坐标是（，2，3）
D．两点M（﹣1，1，2），N（1，3，3）间的距离为3
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B；结合中点坐标公式和两点间距离公式可求C，D．
【解答】解：点
A
（1，3，﹣4）关于
x
轴的对称点的坐标为（1，﹣3，4），故A错误；
点
P
（﹣1，2，3）关于
xOy
平面对称的点的坐标为（﹣1，2，﹣3），故B正确；
A
（﹣3，1，5）与
B
（4，3，1）的中点坐标为（，2，3），故C正确；
M
（﹣1，1，2），
N
（1，3，3）间的距离为3，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，是基础题．
（多选）12．（2024 西湖区校级期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（﹣1，2，3），B（0，﹣2，4），C（2，1，2），若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为（　　）
A．（﹣12，﹣3，0） B．（7，2，﹣4）
C．（6，3，5） D．（﹣5，﹣1，1）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合法向量的定义，列出方程组，再将选项依次代入验证，即可求解．
【解答】解：设P（x，y，z），
则，，，
若CP⊥平面OAB，
则CP⊥OA，CP⊥OB，
故，即①，
将（﹣12，﹣3，0）代入①方程组，满足方程组，故A正确，
将（7，2，﹣4）代入①方程组，不满足方程组，故B错误，
将（6，3，5）代入①方程组，不满足方程组，故C错误，
将（﹣5，﹣1，1）代入①方程组，满足方程组，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（2，3，4）在平面xOy内的射影的坐标为　（2，3，0）　；点P（2，3，4）关于平面xOy的对称点的坐标为　（2，3，﹣4）　．
【考点】空间直角坐标系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一个点在平面xOy内的射影的坐标与该点坐标的横纵坐标均相等，竖坐标变为0，由已知中点P（2，3，4）的坐标，得到在平面xOy内的射影的坐标；再根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可得到关于平面xOy的对称点的坐标．
【解答】解：设P（2，3，4）在平面xOy内射影为P′，
则P′与P的横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标为0，
故P′的坐标为（2，3，0）；
由题意可得：点P（2，3，4）关于xoy平面的对称点的坐标是（2，3，﹣4）．
故答案为：（2，3，0），（2，3，﹣4）．
【点评】本题考查的知识点是空间中的点的坐标，其中解答的关键是一个点在平面xOy内的射影的坐标与该点坐标的横纵坐标均相等，竖坐标变为0．空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．空间直角坐标系中任一点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为P4（a，b，﹣c）；关于坐标平面yOz的对称点为P5（﹣a，b，c）；关于坐标平面xOz的对称点为P6（a，﹣b，c）．
14．（2024 晋城一模）已知空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体P﹣ABC的棱长为2，点A（m，0，0），B（0，n，0），mn≠0，则|OP|的取值范围为　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，原点O到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．
【解答】解：如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
设AB的中点为M，则PM，
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，
最大距离是PM加上球M的半径；
所以1≤|OP|1，
即|OP|的取值范围是[1，1]．
故答案为：[1，1]．
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
15．（2024 东湖区校级期末）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是　（﹣2，﹣1，﹣4）　．
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】计算题；转化思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：
（﹣2，﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣1，﹣4）．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
16．（2024 武邑县校级月考）已知A（﹣2，3，4），在y轴上求一点B，使|AB|＝3，则点B的坐标为　（0，8，0）或（0，2，0）　 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设出点B的坐标，利用两点间的距离公式，列方程求解即可．
【解答】解：设y轴上的点为B（0，y，0），
∵点A（﹣2，3，4），|AB|＝3，
∴3，
解得y＝8或﹣2；
∴点B（0，8，0）或（0，﹣2，0）．
故答案为：（0，8，0）或 （0，﹣2，0）．
【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式与应用问题，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 枣阳市月考）已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），求△ABC的面积．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】解三角形；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用坐标表示、，求出与夹角的余弦值，从而得出A的正弦值，再计算△ABC的面积．
【解答】解：∵A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），
∴（1，1，1），（2，1，3），
∴ 1×2+1×1+1×3＝6，
||，
||；
∴cos，；
即cosA，
∴sinA；
△ABC的面积为
S△ABC||||sinA．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，是基础题目．
18．（2024 黄州区校级期中）如图在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz，
（I）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标并写出P关于平面Oxz的对称点P′的坐标；
（Ⅱ）线段C1D中点为M，求点M到点P的距离．
【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）利用点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，求出点P的坐标，然后写出P关于平面Oxz的对称点P′的坐标；
（Ⅱ）求出线段C1D中点M的坐标，利用距离公式求点M到点P的距离．
【解答】解：（I）由题意知P的坐标为，…（3分）
P关于平面Oxz的对称点P′的坐标为；…（6分）
（Ⅱ）设线段C1D中点M坐标为，则有
|PM|．…（12分）
【点评】本题考查空间点的坐标的求法距离的求法，基本知识的考查．
19．（2024 武平县校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°∠BAA1＝∠DAA1＝60°E是DD的中点，设，，．
（Ⅰ）用，，表示；
（Ⅱ）求BE的长．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用向量的加法，即可用，，表示；
（Ⅱ），即可求BE的长．
【解答】解：（Ⅰ） …（5分）
（Ⅱ）（7分）
（9分）
＝25+9+4﹣0+6﹣10＝34…（11分）
即BE的长为 …（12分）
【点评】本题考查向量的加法，考查BE的长，正确用，，表示是关键．
20．（2024 东莞市校级期中）（1）在z轴上求与点A（﹣4，1，7）和B（3，5，﹣2）等距离的点的坐标．
（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，﹣2，﹣2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．
【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．
（2）根据点在坐标面yOz内，设出点的坐标（0，y，z），根据点到A、B、C的距离相等，写出关于y、z的方程，解方程即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，
∴|AC|＝|BC|，
∴，
∴18z＝28，
∴z，
∴C点的坐标是（0，0，）．
（2）解：设yOz平面内一点D（0，y，z）与A，B，C三点距离相等，
则有|AP|2＝9+（1﹣y）2+（2﹣z）2，
|BP|2＝16+（2+y）2+（2+z）2，
|CP|2＝（5﹣y）2+（1﹣z）2，
由|AP|＝|BP|，及|AP|＝|CP|，
得
化简可得
解得
∴点P（0，1，﹣2）为yOz平面内到A，B，C三点等距离的点．
【点评】本题考查两点之间的距离公式，应用两点之间的距离相等，得到方程，应用方程的思想来解题，本题是一个中档题．
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