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第8章《 实数》期末知识点复习题
【题型1 算术平方根的双重非负性】
1.若，其中a，b均为整数，则 ．
2.已知实数满足，那么的值是( )
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
3.已知为实数，且，求的值.
4.若满足关系式 ，则 ．
【题型2 无理数的估算】
1.如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
2.已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
3.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
4.若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型3 探究平方根和立方根的规律】
1.为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表．
第组 第组 第组 第组 第组 第组 第组
______ ______ ______
(2)请你仿照表中的规律，将表补充完整．
表．
第组 第组 第组 第组 第组 第组
______ ______ ______
(3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果）．
2.已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ．
3.观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．
4.若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为
【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】
1.我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
2.已知的整数部分是，的小数部分是，则 ．
3.阅读下列材料：
∵，
∴，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，解答下列问题．
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的立方根；
(3)若的整数部分为5，直接写出的取值范围．
4.材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．
料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是 _____；
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．
【题型5 与实数运算有关的规律问题】
1.阅读下列解题过程：
；
；
；
……
(1)计算：________；
(2)按照你所发现的规律，猜想：_______；（n为正整数）
(3)计算：．
2.观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为 ．
3.观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)写出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上规律，计算的值．
4.探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.
,
,
……
（1）用,,表示上述规律为：____________；
（2）利用（1）中的结论，求的值
（3）设，试用含,的式子表示
【题型6 程序框图中的实数运算】
1.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
2.如图，是一个计算程序．若输入的值为，则输出的结果为 ．
3.如图是一个数值转换器的工作原理．
(1)当输入的值为时，求输出的值；
(2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由；
(3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值．
4.给出下列程序：若输入的值为1时，输出值为1；若输入的值为时，输出值为；则当输入的值为8时，输出值为 ．
【题型7 新定义中的实数运算】
1.对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.对于任意不为0的有理数，定义一种新运算“”，规则如下：．
例如：．
(1)若，求的值；
(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律，并说明理由．
3.任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1．
4.材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为，所以234是“尚美数”；
材料二：若（，且均为整数），记．已知是两个不同的“尚美数”，且能被13整除，则 ． ．
【题型8 实数运算的应用】
1.“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
2.已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
3.如图，长方形的长为，宽为．
（1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
4.阅读材料，回答问题：
（1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________．
（2）2024年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：
里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上
收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元
①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；
②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？
参考答案
【题型1 算术平方根的双重非负性】
1.0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
2.C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：，
，即，
∴ ，
即，
∴，即，
∴，
故选：C．
3.-2
【分析】由已知条件得到，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据有理数的乘方运算计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵1-b≥0，
∴1+a=0，1-b=0，
解得a=-1，b=1，
∴a2015-b2016
=（-1）2015-12016
=-1-1
=-2．
4.201
【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值．
【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，
∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．
∴=0，
∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，
联立①②③得，，
②×2-③×3得，y=4-m，
将y=4-m代入③，解得x=2m-6，
将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．
故答案为：201．
【题型2 无理数的估算】
1.B
【分析】根据数轴上的点处于3.5和4之间，即和之间，逐一判定比较即可.
【详解】解：设点表示的数为，
得，
∴，
∴，
∵，
∴A选项不符合题意，
∵，
∴选项B符合题意，
∵，
∴C选项不符合题意，
∵，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
2.B
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【详解】∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
3.C
【详解】解： ，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
所以应在③段上．
故选：C
4.B
【分析】先估算、的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
【详解】∵，∴2．
∵a，a为正整数，
∴a的最小值为3．
∵，∴12．
∵b，b为正整数，
∴b的最小值为1，
∴a+b的最小值为3+1=4．
故选B．
【题型3 探究平方根和立方根的规律】
1.（1）解：根据题意，得．
故答案为：；；．
（2）解：已知，
，．
已知，
．
故答案为：；；．
（3）解：通过观察表和表可发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动位．
2.
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．
【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，…
这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
这一列数中的第个数应是，
故答案为：．
3.（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵2.35，
∴0.235，23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵1.913，
∴19.13，191.3．
故答案为：19.13，191.3．
4.
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，
∴即时，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案为：-22．
【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】
1.（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
2.
【分析】先估算出的取值范围，再求出，的值，进而可得出结论．
【详解】解：，
，
的整数部分是，
；
，
，
，
的小数部分是，
，
．
故答案为：．
3.（1）解：，
，
的整数部分是3，
的小数部分是，
故答案为：3，；
（2）解：，，
，
的小数部分为，的整数部分为，
，
，
的立方根为：；
（3）解：∵的整数部分是5，，，
∴．
4.（1）解：，
的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
（2），
，
也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，
，，
，
的算术平方根为；
【题型5 与实数运算有关的规律问题】
1.（1）解：
；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
＝；
（3）解：原式
．
2.
【分析】观察规律可直接得到规律．
【详解】解：∵，
，
，…，
∴．
故答案为：
3.（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据规律可知， ，
故答案为： ；
（3）
．
4.（1） ，，
，
，
，
，
，
故答案为=，=，=，=，（，）；
（2）；
（3） ，，
【题型6 程序框图中的实数运算】
1.D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
2.
【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：输入的值为，取立方根为，是有理数，
则取的算术平方根为，是有理数，
则取的立方根为，是无理数，
所以输出的的结果为，
故答案为：．
3.（1）解：，16的算术平方根是4，
4不是无理数，4的算术平方根是2，
2不是无理数，2的算术平方根是，是无理数，
故输出的值是．
故答案是：．
（2）解：存在输入值后，始终输不出值的情况．
∵0和1的算术平方根是0和1，
∴当或时，始终输不出值，
∴或或．
（3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是，
∴当或，
即或或或时，输出的值是，(答案不唯一)．
4.解：设输出的值为，根据图示可得计算法则为，
若输入的值为1时，输出值为1；若输入的值为时，输出值为，
，解得，
，
当时，，
故答案为：3．
【题型7 新定义中的实数运算】
1.B
【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．
【详解】解：，
，
解得：，故①正确；
若，，
则，故②正确；
，
解得：，故③错误；
，
当时，有最小值，故④错误．
故选：B．
2.（1）解：，
，
解得：，
的值为；
（2）解：根据题意得：
左边，
右边，
左边右边，
这种新运算“※”不满足分配律．
3.4
【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
经过4次操作可以变为1；
故答案为：4．
4.解：∵是两个不同的“尚美数，
得，即，
∴，
∵（，且均为整数），记，
．
，
∴．
∵能被整除，
∴
解得，
故，
故答案为：．
【题型8 实数运算的应用】
1.（1）由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．
故答案为：，，，；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
2.解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
3.（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为，根据题意得，
∴（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为．
4.（1）∵
∴
∵
∴
故答案为：；．
（2）①∵
∴3.07公里需要2元
∵
∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元
∴7.93公里所需费用为：（元）
∵
∴公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；
∴公里所需费用为：（元）
故答案为：2；3；6．
②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；
∴乘坐24公里所需费用为：（元）
∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里
∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里）
∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里
答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里．

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