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第10章《 二元一次方程组》 章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知方程组的解x与y的值互为相反数，则k的值是（ ）
A．5 B． C．3 D．4
2．小玲解方程组的解为，由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了两个数（用“a”和“b”表示），则这两个数分别为（ ）
A．，5 B．，4 C．，6 D．8，
3．下列关于，的方程组的说法中，正确的是(　　)
①是方程组的解；
②无论取什么实数，的值始终不变；
③当时，与相等．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论I：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．（3分）
A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错
5．方程在正整数范围内的解有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个
6．用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　)
A． B． C． D．
10．某药店以同样的价格卖出同样的口罩和酒精，以下是4天的记录：第1天，卖出13包口罩和7瓶酒精，收入222元；第2天，卖出18包口罩和11瓶酒精，收入327元；第3天，卖出7包口罩和11瓶酒精，收入228元；第4天，卖出23包口罩和20瓶酒精，收入468元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知是方程组的一个解，则_________．
12．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ．
13．如果关于x、y的二元一次方程组的解满足，那么k的值是 ．
14．古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为 只．
15．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ．
16．一个圆盘里摆12颗糖，一个方盘里摆13颗糖，小张发现他有110颗糖恰好可以摆满所有的盘子，请问这时圆盘有 个．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程组：
(1) (2) (3)
18．（6分）在解方程组时，小颖、小明、小丽、小亮四位同学的解法各不相同：
A、小颖的解法：由①得③，把③代入②得，；
B、小明的解法：由①得③，把③代入②得，；
C、小丽的解法：由①②，得；
D、小亮的解法：由②得③，把①代入③得，．
(1)反思：上述四人解方程组的部分过程中，你发现______的解题过程有错误（从A、B、C、D中选择）；请直接写出此方程组的正确解______．
(2)请选择你喜欢的方法解方程组
19．（8分）已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
20．（8分）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．
请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：
(1)；
(2)．
21．（8分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称是正整数的最佳分解．并规定：．例如42可以分解成，，或，因为，所以是42的最佳分解，所以．
(1)求的值；
(2)如果一个两位正整数(个位数不为0），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为2376，那么我们称这个两位正整数为“最美数”．当为“最美数”时，求的最大值．
22．（8分）探究奖项设置和奖品采购的方案．
素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高元，盒水笔和本笔记本的总价为元．

素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如下表：
获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖
调整前人数(单位：个)
调整后人数(单位：个)
调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为分、分、分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为分、分、分．
素材：调整后开始采购，学校有活动经费元和张吉祥超市的兑换券，一张兑换券兑换盒水笔或者本笔记本(一张兑换券只能兑换一种商品)．
【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．
【任务2】求，的值．
【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．
23．（8分）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表：
甲 乙
成本 1.2元/只 0.4元/只
售价 1.8元/只 0.6元/只
(1)直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示）
(2)当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(3)小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案．
参考答案
选择题
1．B
【分析】利用加减消元法解方程组，得到，，再根据相反数的定义，即可求出k的值．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
将代入④得：，
解得：，
x与y的值互为相反数，
，
解得：，
故选：B．
2．D
【分析】把代入原方程组得到关于a、b得方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴
得：，解得，
把代入①得：，解得，
故选D．
3．C
【分析】①将代入，判断的值是否相等即可；②将和分别用表示出来，然后求出的值即可判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可判断．
【详解】①将代入方程组得：
，解得
两个方程的值不相等，所以①错误；
②解方程组，得
，
，
的值和的取值无关，始终为，所以②正确；
③将代入方程组得，
，
因此③正确；
本题②③正确，故选C．
4．B
【分析】先由题意得到，，然后解方程组得到，当时，，则此时，即可判断I；得，即可判断②；根据1的任何次方为1，的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ．
【详解】解：由题意得，，，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴方程组的解为，
∵，
∴当时，，则此时，故结论I正确；
得，
∴，故结论Ⅱ正确；
当时，，此时满足；
当时，则，此时，
∴，，此时满足；
当时，则，
此时，
∴，此时满足，
综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，
故选B．
5．B
【分析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定y一个正整数的值，计算x的值即可．
【详解】解：∵方程可变形为x=7 2y，
∴当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1，
∴方程x+2y=7的正整数解有：，，，
故选：B．
6．A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．（8分）
故选：A．
7．D
【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．
【详解】解：将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组 得，
若，则，解得，故②正确；
∵，，
∴两方程相加得，
∴，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵，
∴x，y都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：D
8．B
【分析】可得，从而可得，即可求解．
【详解】解：由得
，
方程组的解是，
，
解得：；
故选：B．
9．B
【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵对于任意实数都成立，
∴，
∴为．
故选：B．
10．D
【分析】设口罩的单价为x元，酒精的单价为y元，假设第1天、第2天的记录无误，根据题意列二元一次方程组求解，再分别计算第3天和第4天的收入，比较即可得到答案．
【详解】解：设口罩的单价为x元，酒精的单价为y元，
若第1天、第2天的记录无误时，依题意得：，
解得：，
第3天收入元，符合记录，
第4天收入元，不符合记录，
第4天的记录有误，
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】把代入方程组可得关于的二元一次方程，根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解．
【详解】解：把代入方程组可得，整理得，
∴，
得，，整理得，，解得，，
把代入得，，解得，，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程利用加减法求出，可得，然后结合已知可得答案．
【详解】解：，
得：，
∴，
∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案．
【详解】解：，
②-①，得，
解方程组，得，
∴，
故答案为：．
14．45
【分析】设甲放只羊，乙放只羊，根据“如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同”列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲放只羊，乙放只羊，
由题意得：，
解得：，
即：乙的羊数量45只．
故答案为：45．
15．
【分析】根据两个方程组共解可得到方程组的解即为原方程组的解，解方程组后，将x，y的值代入计算出m，n的值即可计算代数式的值．
【详解】解：解方程组可得：，
将代入可得解得：，
∴，
故答案为：
16．7
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设圆盘有x个，方盘有y个，列出方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设圆盘有x个，方盘有y个，
由题意可得：，
整理得：，
解得：当时，，且无其他正整数解，
∴圆盘有7个，
故答案为：7．
三．解答题
17．（1），
可得：，解得：，
将代入可得：，
∴原方程组的解是；
（2）化简原方程组可得：，
可得：，解得：，
将代入可得：
∴原方程组的解是；
（3），
可得：，
可得：，解得：，
将代入可得：，
将，代入可得：，
∴原方程组的解是：．
18．（1）解：小丽的解法错误：
，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：；
故答案为：C；
（2）
由① 得：，
∴③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入，
∴，
∴方程组的解为：．
19．（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．（3分）
20．（1）解：，
设，，则原方程组可化为，
得，解得，
将代入②，得，解得，
解得，即，
解得；
（2）解：，
设，，则原方程组可化为，
得，解得，
将代入②，得，解得，
解得，即，
解得．
21．（1）∵，且，
∴是的最佳分解，
∴；
（2）设原来的两位正整数十位数字为x，个位数字为y， 且， x， y为自然数．则原来的这个两位整数表示为．由题意可知：，
，
∴，
∴ ，即 ，
∵为自然数，且，
∴ ，
解得：，
∵为自然数，且，
∴或，
∴或，
即“最美数”为57和15；
当时，∵
∴；
当时，∵，
∴，
∵，
∴的最大值为：．
22．解：[任务1]设一盒水笔为元，一本笔记本的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：一盒水笔的单价为元，一本笔记本的单价为元；
[任务2]解：由题意得：，
解得：，
，；
[任务3]解：共需要水笔：盒，笔记本：本，
张“吉祥超市”的兑换券可兑换盒水笔，
元，
所以最佳采购方案为：用张兑换券兑换盒水笔，再花元购买本笔记本．
23．（1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元），
故答案为：；
（2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只，
由题意可得：
，
解得：，
答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只；
（3）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，
根据题意得：，
．
又，均为正整数，
或，
该同学共有2种购买方案，
方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩；
方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩．

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