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高考数学考前冲刺押题预测 圆锥曲线综合
一．选择题（共8小题）
1．（2024 未央区校级期末）F1，F2是椭圆1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．（2024 江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x＝0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，） B．（，0）∪（0，）
C．[，] D．（﹣∞，）∪（，+∞）
3．（2024 安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2024 兴庆区校级期末）方程（x+y﹣1）0所表示的曲线是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 衡水万卷模拟）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．不确定
6．（2024 红桥区一模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
7．（2024 山东）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
8．（2024 兴宁市校级期末）过双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若（），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 无锡模拟）我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）
A．曲线是黄金双曲线
B．如果双曲线是黄金双曲线，那么b2＝ac（c为半焦距）
C．如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点F2到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
D．过双曲线的右焦点F2且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线
（多选）10．（2024 湖北模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝2，sinB＝2sinC，则以下四个命题中正确的是（　　）
A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC面积的最大值为
C．已知点M是边BC的中点，则的最大值为3
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
（多选）11．（2024 青岛模拟）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝﹣3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆（x﹣4）2+y2＝9相切
（多选）12．（2024 德州期末）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（　　）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
三．填空题（共4小题）
13．（2024 山东）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为　 　．
14．（2024 重庆）已知A（，0），B是圆F：（x）2+y2＝4（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为　 　．
15．（2024 城关区校级期末）已知点M在椭圆1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，则P点的轨迹方程是 　 　．
16．（2024 北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，所有正确结论的序号是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
18．（2024 四川）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA| |MB|＝|MC| |MD|
19．（2024 新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．
（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
20．（2024 新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
高考数学考前冲刺押题预测 圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 未央区校级期末）F1，F2是椭圆1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【考点】圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的几何特征．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x2+y2＝a2，由此可得本题答案．
【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1
∴△F1MP中，|PF1|＝|PM|且Q为MF1的中点
由三角形中位线定理，得|OQ||MF2|（|MP|+|PF2|）
∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，（2a是椭圆的长轴）
可得|MP|+|PF2|＝2a，
∴|OQ|（|MP|+|PF2|）＝a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2＝a2
∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．
故选：A．
【点评】本题在椭圆中求动点P的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．
2．（2024 江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x＝0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，） B．（，0）∪（0，）
C．[，] D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【考点】曲线与方程；圆的一般方程．
【专题】压轴题；数形结合．
【答案】B
【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x＝0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）＝0表示两条直线y＝0和y﹣mx﹣m＝0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y＝0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m＝0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m＝0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．
【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x＝0表示一个圆，化为标准方程得：
（x﹣1）2+y2＝1，所以圆心坐标为（1，0），半径r＝1；
C2：y（y﹣mx﹣m）＝0表示两条直线y＝0和y﹣mx﹣m＝0，
由直线y﹣mx﹣m＝0可知：此直线过定点（﹣1，0），
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
直线y＝0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m＝0与圆相交即可满足条件．
当直线y﹣mx﹣m＝0与圆相切时，圆心到直线的距离dr＝1，
化简得：m2，解得m＝±，
而m＝0时，直线方程为y＝0，即为x轴，不合题意，
则直线y﹣mx﹣m＝0与圆相交时，m∈（，0）∪（0，）．
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）＝0表示两条直线．
3．（2024 安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|＝3，可得点A到准线l：x＝﹣1的距离为3，从而cosθ，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，
∵|AF|＝3，
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3
∴2+3cosθ＝3
∴cosθ
∵m＝2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．
4．（2024 兴庆区校级期末）方程（x+y﹣1）0所表示的曲线是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】原方程等价于：，或x2+y2＝4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．
【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2＝4；其中当x+y﹣1＝0需有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1＝0上不在圆x2+y2＝4内的部分，这是极易出错的一个环节．
故选：D．
【点评】本题主要考查了曲线与方程的问题．考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力．
5．（2024 衡水万卷模拟）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．不确定
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【专题】计算题；压轴题；数学建模；运算求解．
【答案】C
【分析】设椭圆和双曲线的方程为：和．由题设条件可知 ，，结合，由此可以求出的值．
【解答】解：设椭圆和双曲线的方程为：
和．
∵，，
∴，，
∵满足，
∴△PF1F2是直角三角形，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2．
即m+a＝2c2
则2
故选：C．
【点评】本题综合考查双曲线和椭圆的性质，解题时注意不要把二者弄混了．
6．（2024 红桥区一模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK||AF|及AF＝AB＝x0﹣（﹣3）＝x0+3，进而可求得A点坐标．
【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．
∴抛物线C：y2＝12x，准线为x＝﹣3，
∴K（﹣3，0）
设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）
∵|AK||AF|，又AF＝AB＝x0﹣（﹣3）＝x0+3，
∴由BK2＝AK2﹣AB2得BK2＝AB2，从而y02＝（x0+3）2，即12x0＝（x0+3）2，
解得x0＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．
7．（2024 山东）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：1．利用，即可求得椭圆方程．
【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：1（a＞b＞0）上
∴
又∵
∴
∴a2＝4b2
∴a2＝20，b2＝5
∴椭圆方程为：1
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．
8．（2024 兴宁市校级期末）过双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若（），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】综合题；压轴题．
【答案】C
【分析】由题设知|EF|，|PF|＝2，|PF′|＝a，再由|PF|﹣|PF′|＝2a，知2a＝2a，由此能求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵|OF|＝c，|OE|，∴|EF|，
∵，∴|PF|＝2，|PF'|＝a，
∵|PF|﹣|PF′|＝2a，∴2a＝2a，∴，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 无锡模拟）我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）
A．曲线是黄金双曲线
B．如果双曲线是黄金双曲线，那么b2＝ac（c为半焦距）
C．如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点F2到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
D．过双曲线的右焦点F2且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】求得双曲线的a，b，c，e，即可判断A；由黄金双曲线的定义，可得e，结合二次方程可得可判断B；由点到直线的距离公式和黄金双曲线的定义，可判断C；令x＝c，求得M，N的坐标，再由两直线垂直的性质，结合黄金双曲线的定义，可判断D．
【解答】解：对于A，曲线为双曲线的方程，且a2＝3，b2＝1，c2＝4，
则e2，可得e，故A错误；
对于B，如果双曲线是黄金双曲线，则e，
可得e2﹣e﹣1＝0，即为1＝0，即c2﹣ac﹣a2＝0，即b2＝ac，故B正确；
对于C，如果双曲线是黄金双曲线，可得b2＝ac，
那么右焦点F2到一条渐近线bx﹣ay＝0的距离等于b，
若bc，可得c＝4a，这与e矛盾，故C错误；
对于D，设F2（c，0），令x＝c，可得M（c，），N（c，），
若∠MON＝90°，可得c20，可得b2＝ac，由选项B可得D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及新定义“黄金双曲线”的理解和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）10．（2024 湖北模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝2，sinB＝2sinC，则以下四个命题中正确的是（　　）
A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC面积的最大值为
C．已知点M是边BC的中点，则的最大值为3
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
【考点】轨迹方程；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；向量法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑；运算求解．
【答案】BD
【分析】判断三角形是否可能为直角三角形判断A；求出轨迹方程，然后求解三角形的面积的最大值判断B；求出A的轨迹方程，判断的最大值判断C；通过两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理，转化求解△AOB的面积判断D即可．
【解答】解：A：∵a＝2，sinB＝2sinC即b＝2c，设b＝2t，c＝t，由4+t2＝4t2，可得t，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故A错误；
B：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（1，0），C（﹣1，0），
∵sinB＝2sinC，可得b＝2c，
设A（x，y），可得2，
化简得x2+y2x+1＝0，化为（x）2+y2＝（）2，
则A的轨迹为以（，0），半径为的圆，可得△ABC的面积的最大值为2，故B对；
C：a＝2，sinB＝2sinC，即b＝2c，由B可知
则的最大值为（）×1＝3，因为y≠0，所以没有最大值，所以C不正确；
D：∵a＝2，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，
由正弦定理可得：b＝2c，
由sin（π﹣3C）＝2sinC，可得：sinCcos2C+cosCsin2C＝2sinC，
由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝2，解得：cos2C，故cosC，
sinC，可得sinA＝2sinCcosC＝2，
由a＝2可得：c，b，则a+b+c＝2+2，
S△ABCbcsinA，
设△ABC的内切圆半径为R，则R，
S△ABOcR．故D对．
故选：BD．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查新来的 数量积，正弦定理以及余弦定理的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想体积计算能力，是难题．
（多选）11．（2024 青岛模拟）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝﹣3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆（x﹣4）2+y2＝9相切
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求得k＝8时，曲线C的方程和焦距，即可判断A；求得k＝2时，曲线C的方程，可得a，b，c，e，即可判断B；若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得k的不等式组，解不等式可得k的范围，即可判断C；求得k＝﹣3时，曲线C的方程和渐近线方程，圆的圆心和半径，结合直线和圆的位置关系，即可判断D．
【解答】解：当k＝8时，曲线C的方程为1，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，c2，焦距为2c＝4，故A正确；
当k＝2时，曲线C的方程为1，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，且a，b＝2，c，可得e，故B正确；
若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得，即，k无实数解，故C错误；
当k＝﹣3时，曲线C的方程为1，曲线C为双曲线，其渐近线为y＝±x，
而圆（x﹣4）2+y2＝9的圆心为（4，0），半径为3，圆心到渐近线的距离为d3，可得渐近线与圆相切，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024 德州期末）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（　　）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】由椭圆方程和双曲线方程、抛物线方程的特点，可判断结论．
【解答】解：方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，
当m＜0，n＜0时，方程不表示椭圆，故A错；
当mn＜0时，方程表示双曲线，故B对；
当n＝0时，mx2＝1，m＞0，方程表示两条直线；m≤0时，不表示任何图象，故C错；
n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．
故选：BD．
【点评】本题考查方程表示的曲线，注意运用分类讨论思想，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 山东）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为　　．
【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a＝2，即可求双曲线的方程．
【解答】解：由题得，双曲线的焦点坐标为（，0），（，0），c：
且双曲线的离心率为2 a＝2． b2＝c2﹣a2＝3，
双曲线的方程为1．
故答案为：1．
【点评】本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a最大，而双曲线中c最大．
14．（2024 重庆）已知A（，0），B是圆F：（x）2+y2＝4（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为　x21　．
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意可知|BP|+|PF|正好为圆的半径，而PB|＝|PA|，进而可知|AP|+|PF|＝2．根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，根据A，F求得a，c，进而求得b，答案可得．
【解答】解：依题意可知|BP|+|PF|＝2，|PB|＝|PA|
∴|AP|+|PF|＝2
根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，
a＝1，c，则有b
故点P的轨迹方程为
故答案为
【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
15．（2024 城关区校级期末）已知点M在椭圆1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，则P点的轨迹方程是 　x2+y2＝36　．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】确定P，M坐标之间的关系，利用点M在椭圆1上，可求P点的轨迹方程．
【解答】解：设P（x，y），则M（x，）．
∵点M在椭圆1上，
∴1，
即P点的轨迹方程为x2+y2＝36．
故答案为：x2+y2＝36．
【点评】本题考查椭圆方程，考查代入法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（2024 北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，所有正确结论的序号是 　②③　．
【考点】轨迹方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），即可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则根据题意及两点间的距离公式的得： [（x+1）2+y2] [（x﹣1）2+y2]＝a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积a2sin∠F1PF2a2，所以③正确．
故答案为：②③．
【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D＝m，F＝﹣2，代入（0，1），可得E＝1，再令x＝0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2＝﹣2，
若AC⊥BC，则kAC kBC＝﹣1，
即有 1，
即为x1x2＝﹣1这与x1x2＝﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，
可得D＝m，F＝﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，
解得y＝1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
18．（2024 四川）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA| |MB|＝|MC| |MD|
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把|MA| |MB|化为（|AB|）2，再由两点间的距离公式求得|MC| |MD|的值得答案．
【解答】（Ⅰ）解：如图，
由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y（m≠0），
联立，得x2+2mx+2m2﹣2＝0，①
∴Δ＝4m2﹣4（2m2﹣2）＝8﹣4m2＞0，即．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则，
∴x0＝﹣m，，即M（），
则OM所在直线方程为y，
联立，得或．
∴C（，），D（，）．
则|MC| |MD|．
而|MA| |MB|
．
∴|MA| |MB|＝|MC| |MD|．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
19．（2024 新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．
（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设圆的方程为⊙M的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），然后根据圆与直线x+2＝0相切和圆心到直线x+y＝0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
（2）设M的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y2＝4x，然后根据抛物线的定义即可得到定点．
【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，
∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，
设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则
圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d，
又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，
d2+（|AB|）2＝R2，
即①
又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②
由①②解得或，
∴⊙M的半径为2或6；
（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，
设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，
∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，
∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，
∴y2＝4x，
∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，
∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|
＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），
∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题．
20．（2024 新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2＝b2+c2联立即可得到a，b，c．
（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y＝x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y0得c+00，解得c．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则，，相减得，
∴，
∴，又，
∴，即a2＝2b2．
联立得，解得，
∴M的方程为．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x+t，
联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6＝0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝16t2﹣12（2t2﹣6）＝72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3，
由C，D在椭圆上，可得﹣3＜t＜3．
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∴，．
∴|CD|．
联立，得到3x2﹣4x＝0，
解得x＝0或，
∴交点为A（0，），B，
∴|AB|．
∴S四边形ACBD，
∴当且仅当t＝0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为．
【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
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