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高考数学考前冲刺押题预测 直线与方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024 宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 广西校级学业考试）直线2x+y+m＝0和x+2y+n＝0的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
3．（2024 全国卷Ⅱ）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2＝0与x﹣7y﹣4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
4．（2024 贵州）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（　　）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
5．（2024 湘西州模拟）已知点P在直线x+3y﹣2＝0上，点Q在直线x+3y+6＝0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（　　）
A．[，0） B．（，0）
C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（0，+∞）
6．（2024 安丘市模拟）已知直线l1：x sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 葫芦岛二模）当点P（3，2）到直线mx﹣y+1﹣2m＝0的距离最大值时，m的值为（　　）
A． B．0 C．﹣1 D．1
8．（2024 黄浦区校级三模）直线（a2+1）x﹣2ay+1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[0，]∪[，π）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 浮山县校级月考）下列说法错误的是（　　）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，]∪[，π）
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
（多选）10．（2024 宝安区期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或﹣3
C．若l1⊥l2，则a＝0或2
D．当a＞0时，l1始终不过第三象限
（多选）11．（2024 惠州期末）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　）
A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α1
（多选）12．（2024 博兴县期中）已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝0
三．填空题（共4小题）
13．（2024 广西校级学业考试）过点P（1，2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是　 　．
14．（2024 浙江）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝　 　．
15．（2024 南岸区期末）设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4＝0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为　 　．
16．（2024 上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 启东市期末）在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．
（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；
（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．
（3）当PA PB取最小值时，求直线AB的方程．
18．（2024 全国）已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．
19．（2024秋 巴楚县期中）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
20．（2024 宝安区期末）已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；
（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
高考数学考前冲刺押题预测 直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】B
【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．
【解答】解：由l1∥l2得：，
解得：a＝﹣1，
∴l1与l2间的距离d，
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0的条件A1B2﹣A2B1＝0的应用，及两平行线间的距离公式d的应用．
2．（2024 广西校级学业考试）直线2x+y+m＝0和x+2y+n＝0的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】由方程组 有唯一解可得两直线相交，再由斜率之积不等于﹣1，可得两直线不垂直，由此得出结论．
【解答】解：由方程组 可得 3x+4m﹣n＝0，由于3x+4m﹣n＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交．
再由两直线的斜率分别为﹣2和，斜率之积不等于﹣1，故两直线不垂直．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用方程组解的个数判断两直线的位置关系，两直线垂直的条件，属于基础题．
3．（2024 全国卷Ⅱ）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2＝0与x﹣7y﹣4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】压轴题．
【答案】A
【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y＝kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可．
【解答】解：l1：x+y﹣2＝0，k1＝﹣1，，设底边为l3：y＝kx
由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k＝3或k，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以k＝3．
k，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），
故选：A．
【点评】两直线成角的概念及公式；本题是由教材的一个例题改编而成．（人教版P49例7）解题过程值得学习．
4．（2024 贵州）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（　　）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3＝0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3＝0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
5．（2024 湘西州模拟）已知点P在直线x+3y﹣2＝0上，点Q在直线x+3y+6＝0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（　　）
A．[，0） B．（，0）
C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（0，+∞）
【考点】直线的斜率；点到直线的距离公式．
【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．
【答案】D
【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2＝0．
又y0＜x0+2，设kOM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．
【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2＝0上，点Q在直线x+3y+6＝0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），
∴，化为x0+3y0+2＝0．
又y0＜x0+2，
设kOM，
当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM．
∴的取值范围是（﹣∞，）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．
6．（2024 安丘市模拟）已知直线l1：x sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；对应思想；转化法；解三角形．
【答案】D
【分析】根据直线的垂直，即可求出tanα＝3，再根据二倍角公式即可求出．
【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα＝0，
所以tanα＝3，
所以sin2α＝2sinαcosα．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，属于基础题
7．（2024 葫芦岛二模）当点P（3，2）到直线mx﹣y+1﹣2m＝0的距离最大值时，m的值为（　　）
A． B．0 C．﹣1 D．1
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆．
【答案】C
【分析】可得直线过定点，Q（2，1），结合图象可知当PQ与直线垂直时，点到直线距离最大，由直线的垂直关系可得m．
【解答】解：直线mx﹣y+1﹣2m＝0可化为y﹣1＝m（x﹣2），
由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，
结合图象可知当PQ与直线mx﹣y+1﹣2m＝0垂直时，点到直线距离最大，
此时m 1，解得m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，得出垂直时点到直线距离最大是解决问题的关键，属基础题．
8．（2024 黄浦区校级三模）直线（a2+1）x﹣2ay+1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[0，]∪[，π）
【考点】直线的倾斜角．
【专题】直线与圆．
【答案】C
【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：①当a＝0时，斜率不存在，即倾斜角为；
②当a＞0时，直线的斜率k，
∴k≥1，
即直线的倾斜角的取值范围为[）．
③当a＜0时，直线的斜率，
∴k≤﹣1，
即直线的倾斜角的取值范围为（]．
综上，直线的倾斜角的取值范围为，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 浮山县校级月考）下列说法错误的是（　　）
A．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，]∪[，π）
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
【考点】直线的两点式方程；直线的截距式方程；命题的真假判断与应用；直线的倾斜角．
【专题】分类讨论；分类法；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据斜率为k＝tanθ＝﹣sinθ∈[﹣1，1]，求得θ的范围可判断A；根据两直线垂直的等价条件和充分条件必要条件的定义可判断B；当x1＝x2或y1＝y2时可判断C；当横纵截距都为0时，所求直线方程为x﹣y＝0可判断D．
【解答】解：对于A：直线xsinα+y+2＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣sinθ∈[﹣1，1]，
因为0≤θ＜π，所以，故选项A说法正确；
对于B：当a＝﹣1时，x﹣y+1＝0与直线x+y﹣2＝0斜率乘积等于﹣1，
两直线互相垂直，所以充分性成立，
若“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”，则a2+a＝0，可得a＝0或a＝﹣1，
所以得不出a＝﹣1，故必要性不成立，
“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件，
故选项B说法不正确；
对于C：当x1＝x2或y1＝y2时，直线的方程为x＝x1或y＝y1，
此时直线的方程不成立，故选项C说法不正确；
对于D：当过（1，1）且横纵截距都为0时，所求直线方程为x﹣y＝0，
当过（1，1）且横纵截距相等不为0时，
设所求直线方程为，即，可得a＝2，
所以直线的方程为x+y﹣2＝0，故选项D说法不正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查了直线的倾斜角和两直线垂直的性质，考查充分必要条件以及转化思想，是中档题．
（多选）10．（2024 宝安区期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或﹣3
C．若l1⊥l2，则a＝0或2
D．当a＞0时，l1始终不过第三象限
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由直线系方程求出直线所过定点判定A与D；举例说明B错误；由两直线垂直与系数的关系列式求得a值判断C．
【解答】解：l2：a（x﹣2y）+3y﹣1＝0过点，A正确；
当a＝1时，l1，l2重合，故B错误；
由1×a+a×（3﹣2a）＝0，得a＝0或2，故C正确；
始终过（0，1），斜率为负，不会过第三象限，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（2024 惠州期末）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　）
A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α1
【考点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数据分析．
【答案】AD
【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．
【解答】解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，
则 k2＞k3＞0，k1＜0，
故α2＞α3＞0，且α1为钝角，∴α3＜α2＜α1，
故选：AD．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的图象特征，属于基础题．
（多选）12．（2024 博兴县期中）已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝0
【考点】直线的斜截式方程．
【专题】方程思想；分类法；直线与圆；运算求解．
【答案】BD
【分析】分直线l过原点与不过原点两类讨论，当直线过原点时，直接写出直线方程，当直线不过原点时，设出直线的截距式方程x+y＝m，代入P点坐标求得m值，则直线方程可求．
【解答】解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，
∴直线方程为x+y﹣6＝0．
∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．
故选：BD．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 广西校级学业考试）过点P（1，2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是　x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0　．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】分类讨论：当直线过原点时，可设直线的方程为y＝kx，当直线不过原点时，可设直线的方程为1，代点分别可得k，a的值，可得方程．
【解答】解：当直线过原点时，可设直线的方程为y＝kx，
代点P（1，2）可得k＝2，故方程为y＝2x，
化为一般式可得2x﹣y＝0；
当直线不过原点时，可设直线的方程为1，
代点P（1，2）可得a＝3，故方程为1，
化为一般式可得x+y﹣3＝0，
综上可得所求直线的方程为：x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0．
故答案为：x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0
【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，解题时易漏解，属易错题．
14．（2024 浙江）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝　1　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．
【解答】解：直线x﹣2y+5＝0的斜率为
直线2x+my﹣6＝0的斜率为
∵两直线垂直
∴
解得m＝1
故答案为：1
【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1．
15．（2024 南岸区期末）设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4＝0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为　5　．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为A′（a，b），求出A′．可得|PA|+|PB|的最小值＝|A′B|．
【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为A′（a，b），
则，解得A′（3，﹣3）．
则|PA|+|PB|的最小值＝|A′B|＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（2024 上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是　（2，+∞）　．
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b的关系，再使用基本不等式得出答案．
【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，
∴直线ax+y﹣1＝0与直线x+by﹣1＝0平行，
∴﹣a，且．
即a且b≠1．
∵a＞0，b＞0．∴a+b＝b2．
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 启东市期末）在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．
（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；
（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．
（3）当PA PB取最小值时，求直线AB的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【专题】分类讨论；方程思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．可得20，，联立解出a，b，即可得出．
（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a＝b＝1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB|OP|×|AB|．a，b≠1时，S△OAB|OP|×（a+2b）（a+2b），又，化为a+2b＝3ab，利用基本不等式的性质可得a+2b的取值范围．
（3）设直线AB的方程为：my＝x﹣1.．联立，解得A，可得|PA|．同理可得|PB|．可得|PA||PB|．进而得出最小值．
【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．
∴20，，
分别化为：a＝5b，a+2b﹣3ab＝0．
解得：，
∴直线AB的方程为：y﹣0（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7＝0．
（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．
a＝b＝1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB|OP|×|AB|．
a，b≠1时，S△OAB|OP|×（a+2b）（a+2b），
又，化为a+2b＝3ab，
∴a+2b＝3ab，解得：a+2b．
∴S△OAB，
当且仅当a＝2b时取等号．
综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y（x﹣1），化为：4x﹣y﹣4＝0．
（3）设直线AB的方程为：my＝x﹣1.．
联立，解得A，可得|PA|．
联立，解得B，可得|PB|．
∴|PA| |PB|f（m），
m＝﹣3时，f（﹣3）＝1；
令m+3＝k≠0，f（m）＝g（k），
k＜0时，g（k）．
k＞0时，g（k），
而，
∴g（k）的最小值为：．
当且仅当k时取等号．
∴m3．
∴直线AB的方程为：（3）y＝x﹣1．
【点评】本题考查了中点坐标公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的方程，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
18．（2024 全国）已知点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设P的坐标为（x，y），由题意点P到两定点M（﹣1，0）、N（1，0）距离的比为，可得，结合两点间的距离，化简整理得x2+y2﹣6x+1＝0，又由点N到PM的距离为1，即|MN|＝2，可得直线PM的斜率，进而可得直线PM的方程，并将方程代入x2+y2﹣6x+1＝0整理得x2﹣4x+1＝0，解可得x的值，进而得P的坐标，由直线的方程代入点的坐标可得答案．
【解答】解：设P的坐标为（x，y），由题意有，
即，
整理得x2+y2﹣6x+1＝0，
因为点N到PM的距离为1，|MN|＝2
所以PMN＝30°，直线PM的斜率为
直线PM的方程为
将代入x2+y2﹣6x+1＝0整理得x2﹣4x+1＝0
解得，
则点P坐标为或或或
直线PN的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点评】本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．
19．（2024秋 巴楚县期中）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x﹣2y﹣1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；
（Ⅱ）分别令x＝0和y＝0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．
则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．
把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．
所求直线l的方程为2x+y+2＝0．
（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．
20．（2024 宝安区期末）已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；
（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
【考点】直线的点斜式方程．
【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出点A的坐标，写出直线AB的方程，利用基本不等式求出a+b＝|OA|+|OB|的最小值，写出对应的直线方程；
（2）设出直线方程为y﹣1＝k（x﹣1）（k＜0），求出|MA|2+|MB|2的最小值，写出对应的直线方程．
【解答】解：（1）设点A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，
直线l的方程为：1，
且直线l过点M（1，1），∴1①；
∴a+b＝（a+b） （）＝22+24，
当且仅当，即a＝b时取“＝”，
将a＝b代入①式得a＝2，b＝2；
∴直线l的方程为x+y﹣2＝0，
即|OA|+|OB|取最小值4时，l的方程为x+y﹣2＝0；
（2）设直线方程为y﹣1＝k（x﹣1）（k＜0），
则A（1，0），B（0，1﹣k），
∴|MA|2+|MB|2＝[（）2+1]+[1+（﹣k）2]＝2+k22+2 k2 4，
当且仅当k＝﹣1时取“＝”；
∴当|MA|2+|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查了两点间的距离公式及基本不等式和直线方法的应用问题，是综合性题目．
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