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高考数学考前冲刺押题预测 抛物线
一．选择题（共8小题）
1．（2024 全国）过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2024 四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
3．（2024 金凤区校级四模）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（　　）
A．y2x B．y2＝9x C．y2x D．y2＝3x
4．（2024 四川）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
5．（2024 四川）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．（2024 北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
7．（2024 新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（　　）
A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1
B．y（x﹣1）或 y（x﹣1）
C．y（x﹣1）或 y（x﹣1）
D．y（x﹣1）或 y（x﹣1）
8．（2024 大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 0，则k＝（　　）
A． B． C． D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 沙坪坝区校级期末）已知点，O为坐标原点，A，B为曲线C：y＝2x2上的两点，F为其焦点．下列说法正确的是（　　）
A．点F的坐标为
B．若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为﹣2
C．若直线AB过点F，且|PO|是|AF|与|BF|的等比中项，则|AB|＝10
D．若直线AB过点F，曲线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，则l1⊥l2
（多选）10．（2024 安丘市期末）已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是（　　）
A． B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD中点
（多选）11．（2024 广东一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2， ，Pn（n≥2且n∈N*）满足∠P1FP2＝∠P2FP3＝…＝∠Pn﹣1 FPn＝∠PnFP1，则下列结论中正确的是（　　）
A．n＝2时，
B．n＝3时，|P1F|+|P2F|+|P3F|的最小值为9
C．n＝4时，
D．n＝4时，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的最小值为8
（多选）12．（2024 市中区校级期末）抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到（t，1）时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．|PM|+|PF|的最小值为6
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．若过A，B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A，B两点的纵坐标之和最小值为2
三．填空题（共4小题）
13．（2024 江西）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　 　．
14．（2024 北京）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为　 　．
15．（2024 珠海期末）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　 　．
16．（2024 广州模拟）已知点及抛物线上一动点P（x0，y0），则y0+|PQ|的最小值为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 北京）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．
18．（2024 浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
19．（2024 新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
20．（2024 乙卷）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值．
高考数学考前冲刺押题预测 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 全国）过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则 （　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x轴的直线方程，将直线方程代入y2＝2x求得y的值，即可求出 ．
【解答】解：y2＝2x的焦点坐标是（，0），
则过焦点且垂直x轴的直线是x，代入y2＝2x得y＝±1，
故 （，1） （）1．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．
2．（2024 四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】方程思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．
【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），
显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．
要求kOM的最大值，设y0＞0，
则（）
（，），
可得kOM，
当且仅当y02＝2p2，取得等号．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
3．（2024 金凤区校级四模）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（　　）
A．y2x B．y2＝9x C．y2x D．y2＝3x
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；压轴题；数形结合；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，根据抛物线定义可知|BD|＝a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，
∴2|AE|＝|AC|
∴3+3a＝6，
从而得a＝1，
∵BD∥FG，
∴求得p，
因此抛物线方程为y2＝3x．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．
4．（2024 四川）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标是（1，0），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
5．（2024 四川）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】B
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由 y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1 y2＝﹣m，
∵ 2，∴x1 x2+y1 y2＝2，
结合及，得，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1 y2＝﹣2，故m＝2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO+S△AFO2×（y1﹣y2）y1，
．
当且仅当，即时，取“＝”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，
故选：B．
【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．
6．（2024 北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象．
【答案】B
【分析】本题属于选择题，不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．
【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，
不妨设P（1，2），
∴Q（﹣1，2），
设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），
可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，
故选：B．
另解：由抛物线的定义知，|PF|＝|PQ|，
所以△PQF为等腰三角形，且FQ为等腰三角形PQF的底边，
所以线段FQ的垂直平分线经过点P．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于中档题．
7．（2024 新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（　　）
A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1
B．y（x﹣1）或 y（x﹣1）
C．y（x﹣1）或 y（x﹣1）
D．y（x﹣1）或 y（x﹣1）
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．
【解答】解：
法一：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y＝k（x﹣1）
由消去x，得y﹣k＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2，y1y2＝﹣4…（*）
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2且﹣3y22＝﹣4，
消去y2得k2＝3，解之得k
∴直线l方程为y（x﹣1）或y（x﹣1）
法二：
做出抛物线的准线，以及A、B到准线的垂线段AA'、BB'，并设直线l交准线与M，
设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB'|＝m，|AA'|＝|AF|＝3m，
由BB'∥AA'可知，，即，
所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，
故∠AMA'＝30°，根据斜率与角度的关系可得选C选项．
故选：C．
【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
8．（2024 大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 0，则k＝（　　）
A． B． C． D．2
【考点】抛物线的焦点与准线；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），代入抛物线方程，利用（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）＝0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，Δ＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2＝4，x1x2＝4．
∴y1+y2，y1y2＝﹣16，
又0，
∴（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）0
∴k＝2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 沙坪坝区校级期末）已知点，O为坐标原点，A，B为曲线C：y＝2x2上的两点，F为其焦点．下列说法正确的是（　　）
A．点F的坐标为
B．若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为﹣2
C．若直线AB过点F，且|PO|是|AF|与|BF|的等比中项，则|AB|＝10
D．若直线AB过点F，曲线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，则l1⊥l2
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；设而不求法；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的性质，利用直线和抛物线联立方程，结合设而不求思想进行转化求解判断即可．
【解答】解：由y＝2x2得x2y＝4y，则焦点坐标F（0，），故A错误，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y＝kx+b，代入y＝2x2得kx+b＝2x2，
即2x2﹣kx﹣b＝0，
则x1+x2，
∵P为线段AB的中点，∴，
即x1+x21，得k＝﹣2，故B正确，
若直线AB过点F，且|PO|是|AF|与|BF|的等比中项，
则|AF||BF|＝|PO|2＝（）2+1＝1，
由抛物线的准线方程为y＝kx，代入y＝2x2得2x2﹣kx0，
则x1+x2，x1x2，
则|AF|＝y1，|BF|＝y2，
|AF||BF|＝（y1）（y2）＝y1y2（y1+y2），
∵y1+y2＝k（x1+x2），y1y2＝4（x1x2）2＝4，
代入y1y2（y1+y2），
得（），
得k2＝19，满足判别式Δ＞0，
则|AB|＝|AF|+|BF|＝y1y210，故C正确，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＝2x12得y1＝2x12，
函数y＝2x2的导数f′（x）＝4x，
即在A处切线斜率k1＝f′（x1）＝4x1，在B处切线斜率k2＝f′（x2）＝4x2，
则k1k2＝4x14x2＝16x1x2，由选项C知，x1x2，
则k1k2＝16×（）＝﹣1，即l1⊥l2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，结合直线和抛物线的位置关系，利用设而不求思想转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键，是难题．
（多选）10．（2024 安丘市期末）已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是（　　）
A． B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD中点
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】方法一：由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案；
方法二：利用抛物线的焦点弦公式，即可分别判断答案．
【解答】解：方法一：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：xA，xB
由|AB|＝|AF|+|BF|＝xA+xB+p8，得p＝3．
所以抛物线方程为y2＝6x．
则|AF|＝xA2p＝6，故B正确；
所以|BF|＝2，
|BD|4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确；
所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点．
，故A错误，
方法二：设直线AB的倾斜角为θ
利用抛物线的焦点弦的性质，由8，则p＝3，
6，2，
，
在Rt△DBB′中，cosθ，所以|BD|＝4，因此F为AD中点．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦的性质，熟练掌握抛物线焦点弦的几何性质，在平常的练习中起到重要作用，同学们可以在练习中自己推导并熟练掌握，属于中档题．
（多选）11．（2024 广东一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2， ，Pn（n≥2且n∈N*）满足∠P1FP2＝∠P2FP3＝…＝∠Pn﹣1 FPn＝∠PnFP1，则下列结论中正确的是（　　）
A．n＝2时，
B．n＝3时，|P1F|+|P2F|+|P3F|的最小值为9
C．n＝4时，
D．n＝4时，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的最小值为8
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】以P1P2为抛物线的通径，可求得的值，判断A；n＝3时，写出焦半径|P1F|，|P2F|，|P3F|的表达式，利用换元法，结合导数求函数的最值，判断B，n＝4时，写出焦半径|P1F|，|P2F|，|P3F|，|P4F|的表达式，利用三角函数的知识，可判断CD．
【解答】解：当n＝2时，∠P1FP2＝∠P2FP1＝π，此时不妨到P1P2过焦点垂直于x轴，
不妨取P1（1，2），P2（1，﹣2），则1，故A错误；
n＝3时，∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP1，
此时不妨设P1，P2，P3在抛物线上逆时针排列，设∠P1Fx＝α，α∈（0，），
则|P1F|，则|P2F|，|P3F|，
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|，
令t＝cosα，t∈（，），则|P1F|+|P2F|+P3F|，
令f（t），则f′（t），
当t＜1时，f′（t）＞0，f（t）递增，当1＜t时，f′（t）＜0，f（t）递减，
故f（t）min＝f（1）＝9，
故t＝1，即cosα，α时，∴|P1F|+|P2F|+P3F|取到最小值9，故B正确；
n＝4时，∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4+∠P4FP1，
此时不妨设P1，P2，P3，P4在抛物线上逆时针排列，设∠P1Fx＝θ，θ∈（0，），
|P1F|，则|P2F|，|P3F|，|P4F|，
|P1F|+|P3F|，
|P2F|+|P4F|，
∴，故C正确；
由C的分析可知|P1F|+|P3F|+|P2F|+|P4F|16，
当sin22θ＝1时，取等号，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性强，以及利用导数求最值，和三角函数的相关知识，属难题．
（多选）12．（2024 市中区校级期末）抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到（t，1）时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．|PM|+|PF|的最小值为6
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．若过A，B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A，B两点的纵坐标之和最小值为2
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】CD
【分析】由抛物线的定义、性质根据题设条件逐个选项验证正误即可．
【解答】解：由题设知：|PF|＝12，解得：p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，故选项A错误；
连接FM交抛物线于点P，此时|PM|+|PF|的值最小为4，故选项B错误；
如右图所示，
设G为AF的中点，过点A作AC⊥抛物线的准线l′于点C，交x轴于点Q，过点G作GD⊥x轴于点D，
∴|DG|（|OF|+|AQ|）|AC||AF|，故以AF为直径的圆与x轴相切，故选项C正确；
设点A（x1，y1），B（x2，y2），由x2＝4y即yx2得：y1x，则切线AT的方程为y﹣y1x1（x﹣x1），
即yx1xx12，同理可得切线BT的方程为yx2xx22，由解得：，
由题意知T在准线y＝﹣1上，∴x1x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，∴y1+y2（x12+x22）[（x1+x2）2﹣2x1x2]（x1+x2）2+2，
∴当x1+x2＝0时，y1+y2＝2为最小值，∴选项D正确，
故选：CD．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质、直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 江西）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　6　．
【考点】抛物线的焦点与准线；双曲线的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y，
准线方程与双曲线联立可得：，
解得x＝±，
因为△ABF为等边三角形，所以，即p2＝3x2，
即，解得p＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．
14．（2024 北京）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为　（x﹣1）2+y2＝4　．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．
【解答】解：如图，
抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），
∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1相切，∴圆的半径为2．
则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝4．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
15．（2024 珠海期末）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　．
【考点】抛物线的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得M的纵坐标．
【解答】解：根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1．
又∵抛物线的准线为y，
∴M点的纵坐标为1．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及点到焦点，准线的距离问题时，一般是利用抛物线的定义来解决．
16．（2024 广州模拟）已知点及抛物线上一动点P（x0，y0），则y0+|PQ|的最小值为　2　．
【考点】抛物线的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y0+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1最后利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y0+|PQ|的最小值是2．
【解答】解：用抛物线的定义：
焦点F（0，1），准线 y＝﹣1，设P到准线的距离为d
y0+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1＝2
（当且仅当F、Q、P共线时取等号）
故y0+|PQ|的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本小题主要考查抛物线的定义、不等式的性质等基础知识，考考查数形结合思想、化归与转化思想，解答关键是合理利用定义，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 北京）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入抛物线方程，由Δ＞0，即可求得k的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直线PA的方程，令x＝0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，
设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2，x1x2，
又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则（0，yM﹣1），（0，﹣1）
因为λ，所以yM﹣1＝﹣λ，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，
直线PA的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），
令x＝0，得yM，同理可得yN，
因为
2，
∴2，∴为定值．
【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
18．（2024 浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合；直线与椭圆的综合．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2＝0的两根，由韦达定理即可得到结论；
（Ⅱ）由题意可得m21，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB面积为S|PM| |y1﹣y2|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），
AB中点为M的坐标为（，），
抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得（）2＝4 ，
（）2＝4 ，
化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2＝0的两根，
可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，
可得n，
则PM垂直于y轴；
（另解：设PA，PB的中点分别为E，F，
EF交PM于G，EF为△PAB的中位线，
EF∥AB，又M为AB的中点，
G为EF的中点，
设AB：y＝kx+b1，EF：y＝kx+b2，
由y2＝4x，y＝kx+b1，y＝kx+b2，
解得yM＝yP，所以PM垂直于y轴）
（Ⅱ）若P是半椭圆x21（x＜0）上的动点，
可得m21，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，
由（Ⅰ）可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，
由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S|PM| |y1﹣y2|
（m）
＝[ （4n2﹣16m+2n2）m]
（n2﹣4m），
可令t
，
可得m时，t取得最大值；
m＝﹣1时，t取得最小值2，
即2≤t，
则St3在2≤t递增，可得S∈[6，]，
△PAB面积的取值范围为[6，]．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题．
19．（2024 新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（1）证明见解答；
（2）（x）2+（y）2，或（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．
【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 0，则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x＝my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 0，则坐标原点O在圆M上；
方法三：设抛物线的参数方程，根据直线的截距式的应用，即可求得ab＝﹣1，根据向量的运算，即可证明坐标原点O在圆M上；
（2）由题意可知： 0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r＝|MP|，即可求得圆的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则（2，2），（2，﹣2），则 0，
∴⊥，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，
则x1x2＝4，4x1x2y22＝（y1y2）2，由y1y2＜0，
则y1y2＝﹣4，
由 x1x2+y1y2＝0，
则⊥，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x＝my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2＝﹣4，
则（y1y2）2＝4x1x2，则x1x2＝4，则 x1x2+y1y2＝0，
则⊥，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
方法三：设A（2a2，2a），B（2b2，2b），则，
所以ab＝﹣1，
因此，
所以坐标原点O在圆M上；
注：其中过点（x1，y1）和（x2，y2）的直线的横截距a和纵截距为b分别为
，．
（2）由（1）可知：x1x2＝4，x1+x2，y1+y2，y1y2＝﹣4，
圆M过点P（4，﹣2），则（4﹣x1，﹣2﹣y1），（4﹣x2，﹣2﹣y2），
由 0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）＝0，
整理得：k2+k﹣2＝0，解得：k＝﹣2，k＝1，
当k＝﹣2时，直线l的方程为y＝﹣2x+4，
则x1+x2，y1+y2＝﹣1，
则M（，），半径为r＝|MP|，
∴圆M的方程（x）2+（y）2．
当直线斜率k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r＝|MP|，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，
综上可知：直线l的方程为y＝﹣2x+4，圆M的方程（x）2+（y）2，
或直线l的方程为y＝x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
20．（2024 乙卷）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9，求直线OQ斜率的最大值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】压轴题；函数思想；向量法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据焦点F到准线的距离为2求出p，进而得到抛物线方程，
（2）设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．
【解答】（1）解：由题意知，p＝2，
∴y2＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0），
设点Q的坐标为（m，n），
则（1﹣m，﹣n），
∴P点坐标为（10m﹣9，10n），
将点P代入C得100n2＝40m﹣36，
整理得，
当n≤0时，K，
当n＞0时，，当且仅当25n，即n时，等号成立，取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．
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