资源简介

高考数学考前冲刺押题预测 平面向量及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2024 四川）设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M、N满足，，则（　　）
A．20 B．15 C．9 D．6
2．（2024 大纲版）已知向量（λ+1，1），（λ+2，2），若（）⊥（），则λ＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
3．（2024 新课标Ⅱ）已知（2，3），（3，t），||＝1，则 （　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．（2024 新课标Ⅱ）已知向量（2，3），（3，2），则||＝（　　）
A． B．2 C．5 D．50
5．（2024 天津）在△ABC中，若AB，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024 新课标Ⅲ）已知向量，满足||＝5，||＝6， 6，则cos，（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 新课标Ⅲ）在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 四川）设向量（2，4）与向量（x，6）共线，则实数x＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 湖北模拟）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b﹣2a+4asin20，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．a2+2b2﹣c2＝0
C．3tanA+tanC＝0 D．tanB的最小值为
（多选）10．（2024 钦南区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．（2024 鸡西期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下列结论正确的是（　　）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为
（多选）12．（2024 武昌区期末）如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若λ，μ，3（λ，μ＞0），则（　　）
A． B．λμ
C．的最大值为1 D．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且λ， ，则实数λ的值为 　 　，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则 的最小值为 　 　．
14．（2024 江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， 4， 1，则 的值是 　 　．
15．（2024 乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ 　 　．
16．（2024 新课标Ⅰ）已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S，求角A的大小．
18．（2024 北京）在△ABC中，a2+c2＝b2ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
19．（2024 四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2bc，求tanB．
20．（2024 新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
高考数学考前冲刺押题预测 平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 四川）设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M、N满足，，则（　　）
A．20 B．15 C．9 D．6
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】平面向量及应用．
【答案】C
【分析】根据图形得出，
， （）2，
结合向量结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，
∴根据图形可得：，
，
∴，
∵ （）2，
222，
22，
||＝6，||＝4，
∴22＝12﹣3＝9
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．
2．（2024 大纲版）已知向量（λ+1，1），（λ+2，2），若（）⊥（），则λ＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【答案】B
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴（2λ+3，3），．
∵，
∴0，
∴﹣（2λ+3）﹣3＝0，解得λ＝﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
3．（2024 新课标Ⅱ）已知（2，3），（3，t），||＝1，则 （　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【答案】C
【分析】由先求出的坐标，然后根据||＝1，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．
【解答】解：∵（2，3），（3，t），
∴（1，t﹣3），
∵||＝1，
∴t﹣3＝0即（1，0），
则 2
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题
4．（2024 新课标Ⅱ）已知向量（2，3），（3，2），则||＝（　　）
A． B．2 C．5 D．50
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标减法运算求得的坐标，再由向量模的公式求解．
【解答】解：∵（2，3），（3，2），
∴（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），
∴||．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
5．（2024 天津）在△ABC中，若AB，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形．
【答案】A
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB，BC＝3，∠C＝120°，
AB2＝BC2+AC2﹣2AC BCcosC，
可得：13＝9+AC2+3AC，
解得AC＝1或AC＝﹣4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
6．（2024 新课标Ⅲ）已知向量，满足||＝5，||＝6， 6，则cos，（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；分析法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．
【解答】解：向量，满足||＝5，||＝6， 6，
可得||7，
cos，．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．
7．（2024 新课标Ⅲ）在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；数形结合法；解三角形．
【答案】C
【分析】作出图形，令∠DAC＝θ，依题意，可求得cosθ，sinθ，利用两角和的余弦即可求得答案．
【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，
∵在△ABC中，B，BC边上的高AD＝hBCa，
∴BD＝ADa，CDa，
在Rt△ADC中，cosθ，故sinθ，
∴cosA＝cos（θ）＝coscosθ﹣sinsinθ．
故选：C．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC＝θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
8．（2024 四川）设向量（2，4）与向量（x，6）共线，则实数x＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】平面向量及应用．
【答案】B
【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．
【解答】解；因为向量（2，4）与向量（x，6）共线，
所以4x＝2×6，解得x＝3；
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量（x，y）与向量（m，n）共线，那么xn＝ym．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 湖北模拟）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b﹣2a+4asin20，则下列结论正确的是（　　）
A．角C一定为锐角 B．a2+2b2﹣c2＝0
C．3tanA+tanC＝0 D．tanB的最小值为
【考点】正弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】BC
【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得cosC0，从而知C为钝角；
选项B，由cosC和余弦定理，可得解；
选项C，结合选项B的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出，从而得解；
选项D，结合选项C的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，可推出tanB，然后由基本不等式，得解．
【解答】解：∵b﹣2a+4asin20，
∴b﹣2a+4acos20，即b﹣2a+2a（cosC+1）＝0，
∴cosC0，
又C∈（0，π），∴C一定为钝角，即选项A错误；
由余弦定理知，cosC，
化简得，a2+2b2﹣c2＝0，即选项B正确；
∵ ，
∴3tanA+tanC＝0，即选项C正确；
∵A+B+C＝π，
∴tanB＝﹣tan（A+C）
∵C为钝角，∴A∈（0，），tanA＞0，
∴3tanA≥22，当且仅当3tanA，即tanA时，等号成立，
此时tanB取得最大值，即选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，还涉及利用基本不等式求最值，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查学生的转化与化归思想、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（2024 钦南区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据向量加法的平行四边形法则、向量加法的几何意义以及相反向量的定义即可判断每个选项的正误．
【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则知，∴A正确；
，∴B错误；
，∴C正确；
，∴D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
（多选）11．（2024 鸡西期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下列结论正确的是（　　）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】方程思想；分析法；解三角形．
【答案】ACD
【分析】由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D．
【解答】解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，
解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，
可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；
由c为最大边，可得cosC0，即C为锐角，故B错误；
由cosA，由cos2A＝2cos2A﹣1＝21cosC，
由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；
若c＝6，可得2R，△ABC外接圆半径为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024 武昌区期末）如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若λ，μ，3（λ，μ＞0），则（　　）
A． B．λμ
C．的最大值为1 D．
【考点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】探究型；数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由3，利用向量的线性运算可得3（），从而可判断选项A；过点B作BG∥FD，交AE于点G，由平行关系可得由向量关系可知，，，从而可得 1，由向量关系可知4λμ＝1，从而可判断选项B；由λμ，及基本不等式即可判断选项C；利用向量的数量积及基本不等式即可判断选项D．
【解答】解：对于A，因为3，所以3（），
整理得，故A正确；
对于B，过点B作BG∥FD，交AE于点G，
则，，
所以 1，
因为λ，μ，3，
所以4，λ，μ，
所以4λμ＝1，所以λμ，故B正确；
对于C，由B知，4（λ+μ）≥84，当且仅当λ＝μ时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，因为λ，μ，
所以（λ+1），（μ+1）（μ+1），
所以，当且仅当λ＝μ时取等号，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且λ， ，则实数λ的值为 　　，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则 的最小值为 　　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；平面向量及应用；数学建模．
【答案】见试题解答内容
【分析】以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴A（，），
∵BC＝6，
∴C（6，0），
∵λ，
∴AD∥BC，
设D（x0，），
∴（x0，0），（，），
∴ （x0）+0，解得x0，
∴D（，），
∴（1，0），（6，0），
∴，
∴λ，
∵||＝1，
设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，
∴（x，），（x，），
∴ （x）（x）x2﹣4x（x﹣2）2，当x＝2时取得最小值，最小值为，
故答案为：，．
【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
14．（2024 江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， 4， 1，则 的值是 　　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知可得，，3，3，2，2，结合已知求出2，2，可得答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
∴，，
3，3，
∴ 22＝﹣1，
922＝4，
∴2，2，
又∵2，2，
∴ 422，
故答案为：
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
15．（2024 乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ 　2　．
【考点】余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】2．
【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，
∴acsinB ac ac＝4 a2+c2＝12，
又cosB b＝2，（负值舍）
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
16．（2024 新课标Ⅰ）已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝　7　．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．
【解答】解：∵向量（﹣1，2），（m，1），
∴（﹣1+m，3），
∵向量与垂直，
∴（） （﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，
解得m＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S，求角A的大小．
【考点】正弦定理．
【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A＝2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S，则bcsinA，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB
∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B＝A﹣B，
∴A＝2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S，
∴bcsinA，
∴2bcsinA＝a2，
∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，
∴sinC＝cosB，
∴B+C＝90°，或C＝B+90°，
∴A＝90°或A＝45°．
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．
18．（2024 北京）在△ABC中，a2+c2＝b2ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：CA，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2＝b2ac．
∴a2+c2﹣b2ac．
∴cosB，
∴B
（Ⅱ）由（I）得：CA，
∴cosA+cosCcosA+cos（A）
cosAcosAsinA
cosAsinA
＝sin（A）．
∵A∈（0，），
∴A∈（，π），
故当A时，sin（A）取最大值1，
即cosA+cosC的最大值为1．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．
19．（2024 四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2bc，求tanB．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
∵sin（A+B）＝sinC．
∴整理可得：sinAsinB＝sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2bc，由余弦定理可得cosA．
sinA，
1，，
tanB＝4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
20．（2024 新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA＝sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB＝cosB，即tanB＝1，
∵B为三角形的内角，
∴B；
（Ⅱ）S△ABCacsinBac，
由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，
整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，
则△ABC面积为ac1．
即△ABC面积的最大值为1．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑