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高考数学考前冲刺押题预测 三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 新课标Ⅲ）函数f（x）sin（x）+cos（x）的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
3．（2024 天津）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）
A．ω，φ B．ω，φ
C．ω，φ D．ω，φ
4．（2024 新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ）＝1，则sin（θ）＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 甲卷）若α∈（0，），tan2α，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 天津）将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A．在区间[，]上单调递增
B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，2π]上单调递减
7．（2024 新课标Ⅰ）tan255°＝（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．2
8．（2024 新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（　　）
A．3α﹣β B．3α+β C．2α﹣β D．2α+β
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 昌乐县模拟）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于 （x1，y1）∈M， （x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{（x，y）|y＝x2+1}；M2；M3＝{（x，y）|y＝ex}；M4＝{（x，y）|y＝sinx+1}．其中是“互垂点集”集合的为（　　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
（多选）10．（2024 天河区校级模拟）已知函数，则（　　）
A．2π为f（x）的一个周期
B．y＝f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上单调递减
D．f（x+π）的一个零点为
（多选）11．（2024秋 镇江校级期末）已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）12．（2023秋 扶风县校级期末）已知α是第二象限角，则可以是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
三．填空题（共4小题）
13．（2024 甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为 　 　．
14．（2024 北京）设函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　 　．
15．（2024 甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝　 　．
16．（2024 新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x）的图象重合，则φ＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 重庆）已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，φ）的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）（α），求cos（α）的值．
18．（2024 浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β），求cosβ的值．
19．（2024 天津）已知函数f（x）＝cosx sin（x）cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[，]上的最大值和最小值．
20．（2024 北京）已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当x∈[，]时，f（x）．
高考数学考前冲刺押题预测 三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．
【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，
即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
则sinα．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．
2．（2024 新课标Ⅲ）函数f（x）sin（x）+cos（x）的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
【解答】解：函数f（x）sin（x）+cos（x）sin（x）+cos（﹣x）sin（x）+sin（x）
sin（x）．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
3．（2024 天津）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）
A．ω，φ B．ω，φ
C．ω，φ D．ω，φ
【考点】三角函数的周期性．
【专题】计算题；对应思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【答案】A
【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）＝2求得φ值．
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，
又f（）＝2，f（）＝0，得，
∴T＝3π，则，即．
∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），
由f（），得sin（φ）＝1．
∴φ，k∈Z．
取k＝0，得φπ．
∴，φ．
故选：A．
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．
4．（2024 新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ）＝1，则sin（θ）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
【解答】解：∵sinθ+sin（）＝1，
∴sinθsinθcosθ＝1，
即sinθcosθ＝1，
得（cosθsinθ）＝1，
即sin（）＝1，
得sin（）
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．
5．（2024 甲卷）若α∈（0，），tan2α，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值．
【解答】解：由tan2α，得，
即，
∵α∈（0，），∴cosα≠0，
则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα，
则cosα，
∴tanα．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
6．（2024 天津）将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A．在区间[，]上单调递增
B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，2π]上单调递减
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【答案】A
【分析】将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y＝sin2x，增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，由此能求出结果．
【解答】解：将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度，
得到的函数为：y＝sin2x，
增区间满足：2kπ≤2x，k∈Z，
减区间满足：2x，k∈Z，
∴增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
∴将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．（2024 新课标Ⅰ）tan255°＝（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．2
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．
【答案】D
【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．
8．（2024 新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（　　）
A．3α﹣β B．3α+β C．2α﹣β D．2α+β
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【答案】C
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）＝cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）＝cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα，得：
，
即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），
∵α∈（0，），β∈（0，），
∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 昌乐县模拟）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于 （x1，y1）∈M， （x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{（x，y）|y＝x2+1}；M2；M3＝{（x，y）|y＝ex}；M4＝{（x，y）|y＝sinx+1}．其中是“互垂点集”集合的为（　　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【考点】三角函数应用；元素与集合关系的判断．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；推理和证明；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】根据题意即对于任意点P （x1，y1），在M中存在另一个点P′，使得．结合函数图象进行判断．
【解答】解：由题意，对于 （x1，y1）∈M， （x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立
即对于任意点P （x1，y1），在M中存在另一个点P′，使得．
y＝x2+1中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P′．
所以所以M1不是“互垂点集”集合，
的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在M2中的任意点P （x1，y1），在M2中存在另一个点P′，使得．
所以M2是“互垂点集”集合，
y＝ex中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P′．
所以M3不是“互垂点集”集合，
y＝sinx+1的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以所以M4是“互垂点集”集合，
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，考查对新定义的理解与应用，属于难题．
（多选）10．（2024 天河区校级模拟）已知函数，则（　　）
A．2π为f（x）的一个周期
B．y＝f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上单调递减
D．f（x+π）的一个零点为
【考点】余弦函数的图象．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；数学抽象．
【答案】AD
【分析】根据题意，结合余弦函数的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数，其周期T2π，A正确；
对于B，函数，令xkπ可得x＝kπ，即f（x）的对称轴为x＝kπ，则y＝f（x）的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，当x∈时，x∈（，），则f（x）在上先减后增，C错误；
对于D，当x时，f（x+π）＝cos（π）＝f（）＝0，即f（x+π）的一个零点为，D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查余弦函数的性质以及应用，涉及余弦函数的图象变化，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 镇江校级期末）已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】先对两边平方求出sinθcosθ的值，即可判断出θ所在的象限，再求出（sinθ﹣cosθ）2的值，从而求出sinθ，cosθ，tanθ的值．
【解答】解：∵，∴两边平方得：1+2sinθcosθ，∴，
∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈（0，π），∴，
∴sinθ＞cosθ，
∴，∴，
又∵，
∴，，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系，是基础题．
（多选）12．（2023秋 扶风县校级期末）已知α是第二象限角，则可以是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【考点】象限角、轴线角．
【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据α是第二象限角，写出α的取值范围，再求的取值范围，即可得出是第几象限角．
【解答】解：因为α是第二象限角，即k 360°+90°＜α＜k 360°+180°，k∈Z；
所以k 180°+45°k 180°+90°，k∈Z；
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
故选：AC．
【点评】本题考查了象限角的定义与应用问题，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为 　2　．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象．
【专题】综合题；图表型；转化思想；分析法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】2．
【分析】观察图像，，即周期为π，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知x，即最小正整数为2．
【解答】解：由图像可得，即周期为π，
∵，T＝π，
∴，
观察图像可知当，
，，
∵2∈（），且，
∴x＝2时最小，且满足题意，
故答案为：2．
【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．
14．（2024 北京）设函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
可得：，k∈Z，解得ω，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
15．（2024 甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝　　．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象可得f（x）的最小正周期，从而求得ω，然后利用五点作图法可求得φ，得到f（x）的解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T（）＝π，
所以ω2，因为f（）＝0，
所以由五点作图法可得2φ，解得φ，
所以f（x）＝2cos（2x），
所以f（）＝2cos（2）＝﹣2cos．
故答案为：．
【点评】本题主要考查由y＝Acos（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
16．（2024 新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x）的图象重合，则φ＝　　．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；压轴题；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y＝cos[2（x）+φ]的图象，即y＝cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y＝sin（2x）的图象与y＝cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．
【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，得平移后的图象的函数解析式为
y＝cos[2（x）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），
而函数y＝sin（2x），
由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，与函数y＝sin（2x）的图象重合，得
2x+φ﹣π，解得：φ．
符合﹣π≤φ＜π．
故答案为．
【点评】本题给出函数y＝cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 重庆）已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，φ）的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）（α），求cos（α）的值．
【考点】两角和与差的三角函数；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω＝2．再根据图象关于直线x对称，结合φ可得 φ 的值．
（Ⅱ）由条件求得sin（α）．再根据α的范围求得cos（α）的值，再根据cos（α）＝sinα＝sin[（α）]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴π，∴ω＝2．
再根据图象关于直线x对称，可得 2φ＝kπ，k∈z．
结合φ可得 φ．
（Ⅱ）∵f（）（α），
∴sin（α），∴sin（α）．
再根据 0＜α，
∴cos（α），
∴cos（α）＝sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin
．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．
18．（2024 浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β），求cosβ的值．
【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（，）．
∴x，y，r＝|OP|，
∴sin（α+π）＝﹣sinα；
（Ⅱ）由x，y，r＝|OP|＝1，
得，，
又由sin（α+β），
得，
则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，
或cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．
∴cosβ的值为或．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．
19．（2024 天津）已知函数f（x）＝cosx sin（x）cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[，]上的最大值和最小值．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性．
【专题】三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）＝cosx （sinxcosx）
所以，f（x）的最小正周期π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x），
由x∈[，]得，2x∈[，]，则∈[，]，
∴当时，即1时，函数f（x）取到最小值是：，
当时，即时，f（x）取到最大值是：，
所以，所求的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．
20．（2024 北京）已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当x∈[，]时，f（x）．
【考点】三角函数的周期性；三角函数中的恒等变换应用；三角函数线．
【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x），根据周期的定义即可求出，
（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx，
（cos2xsin2x）﹣sin2x，
cos2xsin2x，
＝sin（2x），
∴Tπ，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴sin（2x）≤1，
∴f（x）
【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题
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